文档内容
5.3.1 函数的单调性与导数
重点练
一、单选题
1．若 在 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．若定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 (其中 为
自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知函数 ，则使得 成立的 范围是_______.
6．已知函数 在 上有增区间，则a的取值范围是_______.
三、解答题7．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.参考答案
1．【答案】A
【解析】 ，由 在 单调递减，
∴ ，∴ ，∴ .
故选A
2．【答案】C
【解析】由 知， ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 ，则 在 上恒成立，
令 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 .
故选C.
3．【答案】C
【解析】由题意可得： 恒成立，所以函数 在 上递增，
又 ，所以函数 是奇函数，当 时，即 ，所以 ，即 ；
当 时，即 ，所以 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选C.
4．【答案】C
【解析】令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以 ，
即不等式的解集是 ，
故选C
5．【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， ，
所以，函数 为偶函数，
当 时， ，则 ，
所以，函数 在区间 为增函数，
由 可得 ，所以 ，
则有 ，可得 ，解得 .因此，使得 成立的 范围是 .
故填 .
6．【答案】
【解析】由题得 ，
因为函数 在 上有增区间，
所以存在 使得 成立，
即 成立，
因为 时， ，
所以 .
故填
7．【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；（2） .
【解析】（1） 的定义域是 ，
当 时， ，
，当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）函数 有两个零点等价于方程 有两个不等的实数根，
又函数 的定义域为 ，
所以 有两个不等的实数跟，
设 ，
则 ，
，
设 ，
易知 在 上单调递减，且 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
所以 ，
又 时， ，时， ，
所以实数 的取值范围是 .
