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5.5 三角恒等变换
1. 公式的正用与逆用；2. 给值求值；3. 给值求角；4. 辅助角公式及其运用；5. 两角和与差的正切变
形应用；6. 二倍（半角）角公式的变形用；7. 三角恒等式的证明；8. 利用三角恒等变换进行化简证明；
9. 三角恒等变形的综合应用.
一、单选题
1．（2021·四川南充·高二期末（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由二倍角公式得 ，
故选：A
2.（2021·安徽高考模拟（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得， ，则 .，故选 .
3．（2021·四川内江·高一期末（理））设 ， ，
，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
， ，
因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，即可 ，
故选：B
4．（2021·山东潍坊·高一期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ，
由 .
故选：D.
5．（2021·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））设 为锐角，若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为设 为锐角，则 ， ，
，所以 ，
所以 ，故选B．
6．（2021·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对于选项A： ；对于选项B： ；对于选项
C： ；对于选项D：；故选C
7．（2021·全国高三其他）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，
又 ，
所以 ，故选B.
8．（2021·河南林州一中高一月考）若 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ，则 ， ，， ，
因此，
.
故选：D.
9．（2021·山东聊城·高一期末）角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将 的终边绕原点顺时
针旋转 ，得到角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由角 的终边经过点 ，得 ，
因为角 的终边是由角 的终边顺时针旋转 得到的，
所以
，
故选： .10．（2021·河南开封·高一期末）已知 （ ）在区间 上单调递
增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
由 ， ，
得 ， ，
即，即函数的单调递增区间为 ， ，
在区间 上单调递增，
，即 ，
即 ，
，
当 时 ，此时 ，当 时， ，
当 时， ，此时不成立，
综上 的范围是 或 ，
即 ，
故选：B．
二、多选题
11．（2021·夏津第一中学高一月考）下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
对A， ，故A错误；
对B， ，故B正确；
对C， ，故C正确；
对D， ，故D错误；
故选：BC.
12．（2021·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与 相等的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【解析】
对于A： ，由 解得
，即 ，解得 ，故A错误；
对于B：因为 所以
， 故B正确；
对于C：
对于D：
故选：BC
13．（2021·江苏盐城·高一期末）设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值为
D． 的图象关于点 对称
【答案】ABCD【解析】
，
最小正周期为 ，最大值为 ，故A、C正确；
令 （ ），则 （ ），当 时， ，故B正确；
令 （ ），则 （ ），当 时， ，图象关于点 对
称，故D正确；
故选：ABCD.
14．（2021·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知函数 的定义域为
，值域为 ，则 的值不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】.
作出函数 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，
易得 或 满足题意，
所以 的值可能为区间 内的任意实数.
所以A,B可能，C,D不可能.
故选CD.
三、填空题
15．（2021·四川内江·高一期末（理）） __________．
【答案】
【解析】
.
16．（2021·山东高三其他）已知 ， ，则 ______.【答案】
【解析】
17．（2021·山东临沂·高一期末）已知 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
，
故答案为：
18．（2021·浙江省平阳中学高三一模）若 ，则 ________，
________.
【答案】
【解析】，故 .
故答案为： ； .
19．（2021·浙江高一期末）已知 ，若 ，则 __； __.
【答案】7
【解析】
因为 ，若 ，
故可得sin ，cos .
则tan ；
.
故答案为：7； .
20．（2021·江苏省海头高级中学高一月考）已知 ， ，则 __________，若
， 都是锐角，则 ________.
【答案】
【解析】，
；
，
又 ， 都是锐角且 ，
.
故答案为： ； .
21．（2021·浙江高三月考）已知 ， 为锐角，且 ， ，则 ______，
______．
【答案】
【解析】
∵ 是锐角， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 是锐角，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
.
综上： ， .
五、解答题
22．（2021·阜新市第二高级中学高一期末）已知 ， ，且 ，
，求 ， .
【答案】 ； .
【解析】
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
.
23．（2021·河南林州一中高一月考）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经
过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2
【解析】
（Ⅰ）由题意得：
原式
（Ⅱ） ，= ．
24．（2021·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知0<α< <β<π,cos ,sin(α+β)= .
(1)求sin 2β的值;(2)求cos 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
(1)sin 2β=cos =cos =2cos2 -1=2× -1= .
(2)因为0<α< <β<π,所以 <α+β< ,所以sin >0,cos(α+β)<0,
又因为cos ,sin(α+β)= ,
所以sin ,cos(α+β)=- ,
所以cos =cos =cos(α+β)cos +sin(α+β)sin =-
.
25．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；（2）当 时，求 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）
，
,
即 的最小正周期为 ；
（2） ， ，
，
，
的值域为 .
26．（2021·镇原中学高一期末）已知 ， ，且 ，求 的值
【答案】【解析】
， ，
，
，
， ， 、 ，
，又 ， ，
，又 ， .
27．（2021·浙江永康·高三其他）已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设方程 在 上恰有5个实数解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）.
令 ，
解得 .
故 的单调增区间为：
（2） ，根据（1）中所求，即为 ，
该方程在 上恰有5个实数解，故 ，
令 ，则 ，
即方程 有 个实数解.
故只需 ，
解得 .
故方程 在 上恰有5个实数解，则 .
