8.2立体图形的直观图（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_02.同步练习_同步练习（第三套）_8.2立体图形的直观图新教材

第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
一、基础巩固
1.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ ，
那么原△ABC的面积是( )
A． B．2
C． D．
【答案】A
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝ ，
∴S ＝ ×BC×OA＝ ×2× ＝ ，故答案为A
△ABC
2．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方
形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】
由斜二测画法的规则可知：
因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；
因为直角变为 或 ，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；
因为平行于 轴的线段长度减半，平行于 轴的线段长度不变，所以④是错误，
3．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形
ABCD的面积为 cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm2 B． cm2 C．8 cm2 D． cm2
【答案】C
【解析】
详解：设斜二测画法中梯形的上底为长度 ，下底长度为 ， ，
则梯形的面积为： ，则 ，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度 ，下底长度为 ，高为 ，
其面积为： .
4.已知边长为1的菱形 中， ，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
菱形 中， ， ，则菱形的面积为 ；
所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为 .
5.如图，正方形 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原
图形的周长是（ ）
A．8cm B．6cm C． D．
【答案】A
【详解】
解：将直观图还原为平面图形，如图所示.
＝ ， ，所以 ，
所以原图形的周长为8cm，
6．已知正 的边长为 ，那么 的平面直观图 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知， ， ，
在图②中作 于 ，则 .
所以 .
7．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 ，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形
的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以 .
8．如图，已知 的直观图 是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么 的面积是（
）
A． B． C．1 D．
【答案】 D
【详解】
平面直观图 与其原图形如图，
直观图 是直角边长为 的等腰直角三角形，
还原回原图形后，边 还原为 长度不变，仍为 ，
直观图中的 在原图形中还原为 长度，且长度为 ，所以原图形的面积为 ，故选D.
9.下列说法正确的是（ ）
A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
【答案】D
【详解】
A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误．B项，原图形中平行的两条线
段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误．C项，
原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中
仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形．
故C项错误．D项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的
两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以
正方形的直观图可能是平行四边形．故D项正确．选D
10．如图所示，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是
（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】B
【详解】
作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 轴，
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变，
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的2倍，则 ，所以 ，则四边形的长度为8．
11．用斜二测画法画水平放置的 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 .已知点 是
斜边 的中点，且 ，则 的边 边上的高为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
∵直观图是等腰直角三角形 ， ，∴ ，根据直观图中平行于
轴的长度变为原来的一半,
∴△ 的边 上的高 .故选D.
12.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是
( )A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【解析】
因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC
为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.
二、拓展提升
13.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【答案】见解析
【详解】
由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，
其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
OABC
14．如图,正方形 的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.
8cm 2 2cm2
【答案】原图见解析, ,
【详解】
OAOA 1cm OB2OB 2 2cm
如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取 ;在y轴上取 ;在过点B
BC  BC 1cm
的x轴的平行线上取 .
OC  OB2 BC  813cm
连接O,A,B,C各点,即得到原图形.易知,四边形OABC为平行四边形, ,
3128cm S 12 2 2 2  cm2
平行四边形OABC的周长为 ,面积 .
5cm 10cm AB 20cm AB M
15．圆台的上、下底面半径分别为 、 ，母线长 ，从圆台母线 的中点 拉一条
绳子绕圆台侧面转到B点（B在下底面），求：（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题解析：（1）画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为 ．
有图得：所求的最短距离是 ，设 ，圆心角是 ，则由题意知，
①， ②，由①②解得， ， ，
∴ ，则 ．故绳子最短的长度为： ．
（2）作 垂直于 交于 ， 是顶点 到 的最短距离，
则 是 与弧 的最短距离， ，
即上底面圆周上各点到绳子的最短距离是 ．