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期中检测卷 03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.在等比数列{a}中，若a＝3，a＝96，则a＝（ ）
n 4 9 1
A． B． C． D．
2.函数 的导函数为f'（x），则f'（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
3.已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（ ）
A．f（x）在（3，+∞）上单调递增
B．f（x）的最大值为f（1）
C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）
D．f（x）的一个减区间为（1，3）
4.已知等差数列{a}，其前n项和为S，若a+a＝12，S＝S，则S 的最大值为（ ）
n n 3 4 3 9 n
A．12 B．24 C．36 D．48
5.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠
也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6.已知函数f（x）＝ ，若对任意x ＞x ＞0，f（x ）＞f（x ）恒成立，则a的取值范围
1 2 1 2
为（ ）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[e，+∞） D．[1，e]
7.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f（x），则 的
取值范围为（ ）
A．（e，2e） B． C．（e，e3） D．
8.已知数集 S＝{a ，a ，a ，…，a}（1≤a ＜a ＜…＜a ，n≥2）具有性质 P：对任意的 i，j
1 2 3 n 1 2 n
（1≤i≤j≤n），aa S或 ∈S成立，则（ ）
i j
∈
A．若n＝3，则a，a，a 成等差数列
1 2 3
B．若n＝4，则a，a，a，a 成等比数列
1 2 3 4
C．若n＝5，则a，a，a，a，a 成等差数列
1 2 3 4 5
D．若n＝7，则a，a，a，a，a，a，a 成等比数列
1 2 3 4 5 6 7
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求的；错选或多选不得分。
9.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）
A．（ ）′＝ B．（cos2x）'＝﹣2sin2x
C． D．（lgx）′＝10.已知定义在 R上的函数 f（x），其导函数 f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是
（ ）
A．f （a）＞f （e）＞f （d）
B．函数f （x）在[a，b]上递增，在[b，d]上递减
C．函数f （x）的极值点为c，e
D．函数f （x）的极大值为f （b）
11.无穷数列{a}的前n项和S＝an2+bn+c，其中a，b，c为实数，则（ ）
n n
A．{a}可能为等差数列 B．{a}可能为等比数列
n n
C．{a}中一定存在连续三项构成等差数列 D．{a}中一定存在连续三项构成等比数列
n n
12.等比数列{a}中，公比为q，其前n项积为T，并且满足a＞1．a •a ﹣1＞0， ＜0，下列选项
n n 1 99 100
中，正确的结论有（ ）
A．0＜q＜1
B．a •a ﹣1＜0
99 101
C．T 的值是T 中最大的
100 n
D．使T＞1成立的最大自然数n等于198
n
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知数列{a}是公比为2的等比数列，其前n项和为S，且S﹣2S＝1，则a+a＝ ．
n n 7 6 1 5
14.设等差数列{a}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S ，若数列 也是公差为d的等差数列，
n n
则{a}的前6项和为 ．
n15.规定 ，其中x R，m N*，且 ，这是排列数 （n，m N*，且m≤n）的
∈ ∈ ∈
一种推广．则 ＝ ，则函数 的单调减区间为 ．
16.已知函数f（x）＝lgx，g（x）＝x3+3ax2+a+6，若存在x ＞0，x ＞0，x≠x ，使得f（g（x ））＝f（g
1 2 1 2 1
（x））＜0，则a的取值范围是 ﹣ ﹣ ．
2
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知函数f（x）＝xex+a（x+1）2（a R）．
（1）若a＝﹣1，求f′（x）的单调区间∈ ；
（2）若a＞0，证明f（x）有且仅有两个零点．
18.已知等差数列{a}的前n项和为S，且a＝﹣5，S＝﹣20．
n n 2 5
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）求S 取得最小值时n的取值．
n19.已知等差数列{a}的前n项和为S，a+a＝12，S＝16．
n n 2 5 4
（1）求{a}的通项公式；
n
（2）数列{b}满足b ＝ 为数列{b}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T
n n n k
＝3T 2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
m
20.已知函数 ，且f（x）不恒为0．
（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若g（x）＝ef（x），且函数g（x）在（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围．21.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发
以8v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，以3v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，
落点记为F．记∠AOE＝ ．
（1）用 表示小球从A到Fθ所用的时间f（ ）；
（2）当小θ球从A到F所用的时间最短时，求θcos 的值．
θ
22.已知数列{a}中，a＝3，na ＝（n+1）a﹣1．
n 1 n+1 n
（1）求a，a，a 的值；
2 3 4
（2）猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明；
n
（3）求证：数列| 的前n项和 ．
