文档内容
高二年级下学期期末仿真卷 04
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.已知等差数列{a}的前n项和为S，若a＝3，S＝54，则a+a ＝（ ）
n n 6 9 1 10
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a}的公差为d，∵a＝3，S＝54，
n 6 9
∴a+5d＝3，9a+36d＝54，
1 1
解得a＝18，d＝﹣3．
1
则a+a ＝2×18﹣9×3＝9．
1 10
故选：C．
【知识点】等差数列的性质
2.设复数 是虚数单位），则 ＝（ ）
A．1+i B．﹣i C．i D．0
【答案】D
【分析】先化简1+x，再根据所求式子为 （1+x）2020﹣1，从而求得结果．
【解答】解：复数 是虚数单位），而 ＝（1+x）
2020﹣1，
而 1+x＝ ＝ ＝ ＝i，
故 ＝（1+x）2020﹣1＝i2020﹣1＝1﹣1＝0，
故选：D．
【知识点】二项式定理
3.在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则 ＝（ ）A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【分析】写出最大的二项式系数和含x5项的系数，做商就可以了．
【解答】解：在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为 ＝70，
含x5项的为 x5，
即系数为﹣448，
因此 ．
故选：B．
【知识点】二项式定理
4.随机变量X～B（4， ），则D（3X+1）等于（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】判断随机变量X的概率类型，利用二项分布求解方差，然后求解D（3X+1）．
【解答】解：由二项分布的概念可知：n＝4，p＝ ，则：D（X）＝np（1﹣p）＝ ＝ ，
D（3X+1）＝32D（X）＝9× ＝8．
故选：D．
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型、离散型随机变量的期望与方差
5.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且 ＝0.6x+ ，则 ＝（ ）
x 1 2 3 4 5
y 5.5 6 7 7 8
A．4.2 B．4.6 C．4.7 D．4.9
【答案】D
【分析】根据样本中心点在线性回归直线方程上即可得解．
【解答】解：由表中数据可知， ＝ ＝3，
＝ ＝6.7，
因为样本中心点（3，6.7）在线性回归方程上，所以6.7＝0.6×3+ ，
所以 ＝4.9．
故选：D．【知识点】线性回归方程
6.已知函数y＝f（x）（x R）的图象如图所示，则不等式 ＜0的解集为（ ）
∈
A．（﹣∞，0）∪（ ，2） B．（﹣1，1）∪（1，3）
C．（﹣∞， ）∪（ ，2） D．（﹣∞， ）（1，2）
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用数形结合即可解不等式．
【解答】解：∵ ＜0，即（x﹣1）•f′（x）＜0，
∴不等式等价为x＞1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知此时解集为：（1，
2）．
当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知x＜ ，
即不等式的解集为（﹣∞， ）∪（1，2）．
故选：D．
【知识点】函数的图象与图象的变换、其他不等式的解法、利用导数研究函数的单调性
7.已知等比数列{a}的前n项和为S ，若a+2a ＝0， ，且a≤S≤a+2，则实数a的取值范围是（
n n 1 2 n
）
A．[﹣1，0] B． C． D．[0，1]
【答案】B
【分析】设等比数列{a}的公比为q，由a+2a ＝0， ，可得a （1+2q）＝0，a （1+q+q2）＝ ，联
n 1 2 1 1
立解出：a，q，利用求和公式及其单调性即可得出．
1
【解答】解：设等比数列{a}的公比为q，∵a+2a＝0， ，
n 1 2
∴a（1+2q）＝0，a（1+q+q2）＝ ，
1 1
解得：a＝1，q＝﹣ ，
1∴S＝ ＝ ．
n
当n＝1时，S 取最大值1，当n＝2时，S 取最小值 ，
n n
∴ ，﹣1≤a ，
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
8.已知函数f（x）＝ x2+ +a（x＜0），g（x）＝lnx（x＞0），其中a R．若f（x）的图象在点A（x，f
1
∈
（x））处的切线与g（x）的图象在点B（x，f（x））处的切线重合，则a的取值范围是（ ）
1 2 2
A．（﹣1+ln2，+∞） B．（﹣1﹣ln2，+∞）
C． D．（ln2﹣ln3，+∞）
【答案】A
【分析】由题意知，x ＜0＜x ，分别求出函数f（x）在点A处的切线方程与g（x）在点B处的切线方程，
1 2
整理后由斜率相等且在y轴上的截距相等可得a＝lnx +（ ）2﹣1＝﹣ln +（ ）2﹣
2
1，令t＝ ，则t＞0，且a＝t2﹣t﹣lnt ，然后利用导数求h（t）＝t2﹣t﹣lnt 的最小值，则
答案可求．
【解答】解：由题意知，x＜0＜x，
1 2
当x＜0时，函数f（x）在点A（x，f（x））处的切线方程为y﹣（ x2+ x+a）＝（ x+
1 1 1 1 1 1
）（x﹣x）；
1
当x＞0时，函数g（x）在点B（x，g（x））处的切线方程为y﹣lnx ＝ （x﹣x）．
2 2 2 2 2
两直线重合的充要条件是 ＝ x+ ①，lnx ﹣1＝﹣ x2+a ，
1 2 1
②
得a＝lnx +（ ）2﹣1＝﹣ln +（ ）2﹣1，
2
令t＝ ，由①及x＜0＜x 知，则0＜t＜ ，且a＝t2﹣t﹣lnt ，
1 2
设h（t）＝t2﹣t﹣lnt （0＜t＜ ），
则h′（t）＝2t﹣1﹣ ＝ ＝ ，
当t （0， ）时，h′（t）＜0，h（t）在（0， ）为减函数，
∈则h（t）＞h（ ）＝ln2﹣1，又t→0时，h（t）→+∞．
∴a＞ln2﹣1，
则a的取值范围是（ln2﹣1，+∞）．
故选：A．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求
的，选对得分，错选或漏选不得分。
9.已知数列{a}是等差数列，前n项和为S，满足a+5a＝S，下列选项正确的有（ ）
n n 1 3 8
A．a ＝0 B．S 最小 C．S＝S D．S ＝0
10 10 7 12 20
【答案】AC
【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{a}是等差数列，若a+5a ＝S ，即a+5a+10d＝8a+28d，变形可得a ＝﹣
n 1 3 8 1 1 1 1
9d，
又由a＝a+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a ＝0，故A一定正确，
n 1 10
不能确定a 和d的符号，不能确定S 最小，故B不正确；
1 10
又由S＝na+ ＝﹣9nd+ ＝ ×（n2﹣19n），则有S＝S ，故C一定正确，
n 1 7 12
则S ＝20a+ d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S ≠0，则D不正确，
20 1 20
故选：AC．
【知识点】等差数列的前n项和
10.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（ ）
A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种
B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种
C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种
D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种
【答案】AC
【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
【解答】解：选取的3个学生都是女生的不同的选法共有C 3＝4，故A正确；
4
恰有1个女生的不同选法共有C 2C 1＝12种，故B错误；
3 4
至少有1个女生的不同选法共有C 3﹣C 3＝34种，故C正确；
7 3
选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共C 1C 2+C 3＝22种，故D错误．
3 4 4
故选：AC．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
11.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（ ）
A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4
C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2
【答案】CD
【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出p＝0.1，由此能求出E（X），D（X），再由离散型随
机变量Y满足Y＝2X+1，能求出E（Y）和D（Y）．
【解答】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：
p＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，
∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，
D（Y）＝4D（X）＝7.2．
故选：CD．
【知识点】离散型随机变量及其分布列
12.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x＜x，则下列选项正确的是（ ）
1 2
A．
B．x+f（x）＜x+f（x）
1 1 2 2
C．xf（x）＜xf（x）
2 1 1 2
D．当lnx＞﹣1时，xf（x）+xf（x）＞xf（x）+xf（x）
1 1 2 2 2 1 1 2
【答案】CD
【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：f′（x）＝lnx+1，
x （0， ）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0， ）上单调递减，
∈
x （ ，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（ ，+∞）上单调递增．
对∈于A，令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，
则g′（x）＝lnx，设x，x （1，+∞），
1 2
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∈
∴由x＞x 得g（x）＞g（x）；
2 1 2 1
∴f（x）﹣x＞f（x）﹣x，∴ ＞1，故A错误；
2 2 1 1
对于B，令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，
∴g′（x）＝lnx+2，
∴x （e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x （0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∈
∴x+f（x）与x+f（x）无法比较大小．
1 1 2 2
∈故B错误；
对于C，令g（x）＝ ＝lnx，则g′（x）＝ ，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x＞x＞0，∴g（x）＞g（x），∴x•f（x）＜x•f（x），即C正确；
2 1 2 1 2 1 1 2
对于D，∵lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞，∴f（x）单调递增，
∴x•f（x ）+x•f（x ）﹣[xf（x ）+xf（x ）]＝x[f（x ）﹣f（x ）]+x[f（x ）﹣f（x ）]＝（x
1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1
﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0，故D正确．
2 1 2
故选：CD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{a}的前n项和为S，若S＝6，S＝﹣8，则S＝ ﹣ ．
n n 3 6 9
【答案】-36
【分析】利用等差数列的前n项和的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S﹣（﹣8），解得S＝﹣36．
9 9
故答案为：﹣36．
【知识点】等差数列的性质
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜
的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
【答案】0.18
【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，
第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四
场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．
【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以4：1获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，
1
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，
2
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
3
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
3
则甲队以4：1获胜的概率为：
p＝p+p+p+p＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．
1 2 3 4
故答案为：0.18．
【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
15.已知（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝ ，（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中的常数
项为 ．
【答案】【第1空】2
【第2空】8【分析】把（1﹣x）4按照二项式定理展开，可得（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中x2的系数和常数项．
【解答】解：∵（x﹣ ）（1﹣x）4＝（x﹣ ）（ ﹣ •x+ •x2﹣ •x3+ •x4），
故展开式中x2的系数为﹣4+a× ＝4，则a＝2．
常数项为﹣a×（﹣ ）＝4a＝8，
故答案为：2；8．
【知识点】二项式定理
16.已知函数 ，当x [0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，则a
∈
的取值范围是 ．
【分析】求出原函数的导函数，对a分类，根据函数在[0，1]上的单调性逐一分析求解．
【解答】解：f′（x）＝2ax2+（2a﹣1）x．
若a＝0，则f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
若a＜0，由f′（x）＝0，得 ＜0，x＝0，
2
f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
若a＞0，当a 时， ，f（x）在[0，1]上单调递增，符合题意；
当0＜a≤ 时， ，f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
当 ＜a＜ 时，0＜ ＜1，
f（x）在[0， ）上单调递减，在（ ，1]上单调递增，
要使当x [0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，
则f（1）∈＝ ，即a ．
综上，实数a的取值范围为（ ，+∞）．
故答案为：（ ）．
【知识点】利用导数研究函数的最值
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。
17.在 （n≥3，n N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
∈
（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．
【分析】（1）由题意可得 2 ＝ + ，由此求得n的值．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式
中的含x2的项．
【解答】解：（1）∵在 （n≥3，n N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等
∈
差数列，
即 2 ＝ + ，求得n＝7，或n＝2（舍去）．
（2）展开式的通项公式为 T ＝ • • ，令 ＝2，求得r＝2，
r+1
可得展开式中含x2的项为T＝ • •x2＝ •x2．
3
【知识点】二项式定理、等差数列的通项公式
18.已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；
（2）方法一：不等式等价于ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx，令g（t）＝et+t，根据函数单
调性可得lna＞lnx﹣x+1，再构造函数h（x）＝lnx﹣x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出
a的范围；
方法二：构造两个基本不等式ex＞x﹣1，x﹣1≥lnx，则原不等式转化为x（a﹣1）≥﹣lna，再
分类讨论即可求出a的取值范围，
方法三：利用分类讨论的思想，当0＜a＜1，此时不符合题意，当a≥1时，f（x）≥ex﹣1﹣
lnx，令g（x）＝ex﹣1﹣lnx，
再根据导数和函数最值的关系即可证明，
方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f（x）≥f（x ）＝ ﹣2lnx +1﹣x≥1，lna＝1
0 0 0
﹣x﹣lnx ，再求出x 的范围，再利用导数求1﹣x﹣lnx 的范围，即可求出a的范围．
0 0 0 0 0
方法五：f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，构造函数hg（a）＝a+lna﹣1，利用导数求出
函数的最值，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣lnx+1，
∴f′（x）＝ex﹣ ，
∴f′（1）＝e﹣1，
∵f（1）＝e+1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1），
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝ ，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝ ×2× ＝．
（2）方法一：由f（x）≥1，可得aex﹣1﹣lnx+lna≥1，即ex﹣1+lna﹣lnx+lna≥1，
即ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx，
令g（t）＝et+t，
则g′（t）＝et+1＞0，
∴g（t）在R上单调递增，
∵g（lna+x﹣1）≥g（lnx）
∴lna+x﹣1≥lnx，
即lna≥lnx﹣x+1，
令h（x）＝lnx﹣x+1，
∴h′（x）＝ ﹣1＝ ，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
当x＞1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（1）＝0，
∴lna≥0，
∴a≥1，
故a的范围为[1，+∞）．
方法二：由f（x）≥1可得aex﹣1﹣lnx+lna≥1，x＞0，a＞0，
即aex﹣1﹣1≥lnx﹣lna，
设g（x）＝ex﹣x﹣1，
∴g′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，
∴ex﹣x﹣1＞0，
即ex＞x+1，
再设h（x）＝x﹣1﹣lnx，
∴h′（x）＝1﹣ ＝ ，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）≥h（1）＝0，
∴x﹣1﹣lnx≥0，
即x﹣1≥lnx
∴ex﹣1≥x，则aex﹣1≥ax，
此时只需要证ax≥x﹣lna，
即证x（a﹣1）≥﹣lna，
当a≥1时，
∴x（a﹣1）＞0＞﹣lna恒成立，
当0＜a＜1时，x（a﹣1）＜0＜﹣lna，此时x（a﹣1）≥﹣lna不成立，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．
方法三：由题意可得x （0，+∞），a （0，+∞），
∈ ∈∴f′（x）＝aex﹣1﹣ ，
易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
①当0＜a＜1时，f′（1）＝a﹣1＜0，f′（ ）＝a ﹣a＝a（ ﹣1）＞0，
∴存在x （1， ）使得f′（x）＝0，
0 0
当x （1，∈x）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
0
∴f（x）＜f（1）＝a+lna＜a＜1，不满足题意，
∈
②当a≥1时，ex﹣1＞0，lna＞0，
∴f（x）≥ex﹣1﹣lnx，
令g（x）＝ex﹣1﹣lnx，
∴g′（x）＝ex﹣1﹣ ，
易知g′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵g′（1）＝0，
∴当x （0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x （1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∈
∴g（x）≥g（1）＝1，
∈
即f（x）≥1，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．
方法四：∵f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna，x＞0，a＞0，
∴f′（x）＝aex﹣1﹣ ，易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵y＝aex﹣1在（0，+∞）上为增函数，y＝ 在0，+∞）上为减函数，
∴y＝aex﹣1与y＝ 在0，+∞）上有交点，
∴存在x （0，+∞），使得f′（x）＝a ﹣ ＝0，
0 0
∈
则a ＝ ，则lna+x﹣1＝﹣lnx ，即lna＝1﹣x﹣lnx ，
0 0 0 0
当x （0，x）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
0
当x （x，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
0
∈
∴f（∈x）≥f（x）＝a ﹣lnx +lna
0 0
＝ ﹣lnx +1﹣x﹣lnx ＝ ﹣2lnx +1﹣x≥1
0 0 0 0 0
∴ ﹣2lnx ﹣x≥0
0 0
设g（x）＝ ﹣2lnx﹣x，
易知函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝1﹣0﹣1＝0，
∴当x （0，1]时，g（x）≥0，
∈∴x （0，1]时， ﹣2lnx ﹣x≥0，
0 0 0
设h（∈ x）＝1﹣x﹣lnx，x （0，1]，
∴h′（x）＝﹣1﹣ ＜0∈恒成立，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，
∴h（x）≥h（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，
当x→0时，h（x）→+∞，
∴lna≥0＝ln1，
∴a≥1．
方法五：f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，该不等式恒成立．
当x＝1时，有a+lna≥1，其中a＞0．
设g（a）＝a+lna﹣1，则g'（a）＝1+ ＞0，
则g（a）单调增，且g（1）＝0．
所以若a+lna≥1成立，则必有a≥1．
∴下面证明当a≥1时，f（x）≥1成立．
∵ex≥x+1，
把x换成x﹣1得到ex﹣1≥x，
∵x﹣1≥lnx，∴x﹣lnx≥1．
∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1．
综上，a≥1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
19.已知集合X＝{2，3，4，6，8，15，17}，数列{a}（n N*）是公比为q（q＞l）的等比数列，且等比数
n
列的前三项满足a、a、a X． ∈
1 2 3
（1）求通项公式a n ； ∈
（2）若S 是等比数列{a}的前n项和，记A＝S+S+S+…+S ，试用等比数列求和公式化简A（用含n的式
n n 1 2 3 n
子表示）
【分析】（1）求得数列的首项和公比均为2，可得所求通项公式；
（2）求得S＝ ＝2n+1﹣2，再由数列的分组求和和等比数列的求和公式，化简可得所
n
求和．
【解答】解：（1）集合X＝{2，3，4，6，8，15，17}，数列{a}是公比为q（q＞l）的等比数列，
n
且等比数列的前三项满足a、a、a X．可得a＝2，a＝4，a＝8，
1 2 3 1 2 3
即有q＝2，通项公式a＝2n；
n
∈
（2）S＝ ＝2n+1﹣2，
n
A＝S+S+S+…+S＝（4+8+…+2n+1）﹣2n＝ ﹣2n＝2n+2﹣4﹣2n．
1 2 3 n
【知识点】等比数列的前n项和、等比数列的性质
20.设 是正实数，（1+ x）20的二项展开式为a+ax+ax2+……+a x20，其中a，a，……，a 均为常数
0 1 2 20 0 1 20
（1）λ若a
3
＝12a
2
，求 的λ 值；
λ（2）若a≥a 对一切n {0，1，…，20}均成立，求 的取值范围．
5 n
【分析】（1）根据通项∈公式列式可得； λ
（2）假设第r+1项系数最大，依题意得 ，解得 ≤r≤ ，
根据a 最大列式可得．
5
【解答】解：（1）通项公式为T ＝C r•xr，r＝0，1，2，…，20．
r+1
λ
∴由a＝12a 得，C 3＝12C 2，解得 ＝2．
3 2
λ λ λ
（2）假设第r+1项系数最大，依题意得 ，解得 ≤r≤ ，
∴ ∴ ，解得 ≤ ≤ ．
λ
【知识点】二项式定理
21.某中学组织学生参加《网络安全知识竞赛》，在必答环节中，需回答5个问题，竞赛规则规定：每题回
答正确得10分，回答不正确得﹣10分．假设某同学每题回答正确的概率均为 ，且各题回答正确与否
相互之间没有影响．
（Ⅰ）求这名同学总得分X [﹣10，10]的概率；
（Ⅱ）求这名同学回答这5∈个问题的总得分的分布列和数学期望（结果保留一位小数）．
【分析】（Ⅰ）确定X [﹣10，10]的实质是X＝﹣10，10，即对2道错3道或对3道错2道，再利用概率
公式即可求解；
∈
（Ⅱ）先列出总得分的所有可能取值，并求出相对应的概率，再写出分布列，然后计算数学期
望即可．
【解答】解：（Ⅰ）由这名同学总得分X [﹣10，10]，
可得X＝﹣10，10，
∈
由题意可得P（|X|≤10）＝P（X＝﹣10）+P（X＝10）＝C 2×（ ）2×（ ）3+C 3×（ ）2×（
5 5
）3＝ ，
所以这名同学总分X [﹣10，10]的概率为 ；
（Ⅱ）由题可知总得∈分X的所有取值为﹣50，﹣30，﹣10，10，30，50，
P（X＝﹣50）＝C 0×（ ）0×（ ）5＝ ，
5
P（X＝﹣30）＝C 1×（ ）1×（ ）4＝ ，
5P（X＝﹣10）＝C 2×（ ）2×（ ）3＝ ，
5
P（X＝10）＝C 3×（ ）3×（ ）1＝ ，
5
P（X＝30）＝C 4×（ ）4×（ ）1＝ ，
5
P（X＝50）＝C 5×（ ）5×（ ）0＝ ，
5
所以X的分布列为：
X ﹣50 ﹣30 ﹣10 10 30 50
P
E（X）＝（﹣50）× +（﹣30）× +（﹣10）× +30× +50× ＝ ≈16.7，
故这名同学回答这5个问题的总得分的数学期望为16.7分．
【知识点】离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差
22.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018年度全国“最美中学生“寻访活动
结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖
国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中
学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65票以上（包括65
票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握
认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1
人在青春组的概率是多少？
（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4人，用 表
示所选4人中青春组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望． ξ
ξ ξ
附： ；其中n＝a+b+c+d
独立性检验临界表：
P（K2＞k ） 0.100 0.050 0.010
0
K 2.706 3.841 6.635【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组
与性别有关．
（Ⅱ） 用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在
青春组的概率．
（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的
概率为 ，从所有的中学生中抽取 1名学生是甲组学生的概率是 ， 服从二项分布
ξ
．由此能求出 的分布列、数学期望．
【解答】解：（I）作出2×2列联表：ξ
青春组 风华组 合计
男生 7 6 13
女生 5 12 17
合计 12 18 30
由列联表数据代入公式得 ，
因为1.83＜2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．
（Ⅱ） 用A表示“至少有1人在青春组”，
则至少有1人在青春组的概率为 ．
（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的
概率为 ，
那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是 ，
又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是 服从二项分布
． ξ
的取值为0，1，2，3，4．且 ．
ξ所以得 的分布列为：
0 1 2 3 4
ξ
ξP
数学期望 ．
【知识点】独立性检验、离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列
