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高一数学 月考
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目
要求．）
1. 已知向量 ，则与向量 同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
3. 已知函数 的图象相邻的两条对称轴间的距离为 ，为得到 的图象，可将
的图象上所有的点（ ）
A. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
B. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
C. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移 个单位长度，再将所得点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
4. 若向量 ， ， ，则 可用向量 ， 表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的
嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 、 间的圆弧长为 ，嘴角间的距离为 ，圆弧所对的圆心角为 （ 为弧度
角），则 、 和 所满足的恒等关系为（ ）A. B. C. D.
. 函数 的部分图象如图所示，则 =
A. 6 B. 14 C. 3 D. 6
7. 如图，在 中， 为线段 的中点， ， 为线段 的中点，
为线段 上的动点，则 的最大值与最小值的差为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
8. 设函数 ，若对于任意实数 在区间 上至少有2个零点，至多有3
个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 任意向量 ，满足
B. 若 且 ，则
C. 若非零向量 满足 ，则
D. 任意两个非零向量 和 ，向量 与向量 垂直
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）．
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的值域为
C. 函数 是周期为 的周期函数 D. 函数 在 上单调递减
11. 函数 ， 的反函数称为反正弦函数，记为 ， ；函数 ，
的反函数称为反余弦函数，记为 ， ．则下列等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三．填空题（共3小题，5×3=15分）
12. 函数 的定义域为______．
13. 如图，角 的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为 ，半径 绕原点 逆时针旋转 后与单位
圆交于点 关于x轴的对称点为 ，角 的终边在 上，则 ______．14. 如图，在等腰 中，底边 ， 是腰 上 的两个动点，且 ，则当
取得最小值时， 的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟．
15. 已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 值的．
16. 从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b．
（1）求 为偶数的概率；
（2）求 为整数的概率．
17. 已知扇形的圆心角是 ，半径为R，弧长为l．
（1）若 ，求扇形的弧长l；
（2）若 ，求扇形 的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？18. 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入
了部分数据，如下表：
0
0 3 0 0
（1）请将上表数据补充完整，并写出函数 的解析式（直接写出结果即可）；
（2）根据表格中的数据作出 在一个周期内的图象；
（3）将函数 图像上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左
平移 个单位长度得到 的图像，求 在区间 上的值域．
19. 已知函数 （ ， ），若 的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，且过
点 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）记方程 在 上的根从小到大依次为 ， ，…， ，试确定n的值，并求的值．
BAAAB DDB 9ACD 10ABD 11BCD
12
13 14 7
15
．
2详解
．
16 样本空间可记为
，共包含20个样本点．
设事件 “ 为偶数”， ，
包含8个样本点，则 ．
2详解
由（1）得样本空间共包含20个样本点，
设事件 “ 为整数”，
因为 ， ， ，所以 ，包含3个样本点，
则 ．
17 1详解
．
2详解
设弓形面积为 ．由题知 ．
．
3详解
由已知得， ，
所以 ．
所以当 时，S取得最大值 ，
此时 ．
18 【小问1详解】
由题可知 ， ，所以 ，
， ，
，
则数据补全如下表：0
0 3 0 0
【小问2详解】
由（1）， 在一个周期内的图象如图所示，
；
【
小问3详解】
，
当 时， ，
则 ，则 ，
即 在区间 上的值域为 .
19 【小问1详解】
的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，故 ，故 ，故 ，
因为图象过点 ，故 ，
故 ，故 .
当 时， ， ，
故函数 的值域为 .【小问2详解】
在 上的图象如图所示：
因此 与 的图象在 上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， , 故n=5.
令 ，则 ，
故 的图象在 内的对称轴分别为：
， ， ， ， ，
结合图象可得 ， ， ，
，
故 .
