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2.3.2 两点间的距离公式 -B提高练
一、选择题
1．（2020全国高二课时练）已知点 ， ， ，且 ，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 ， ， ，且 ，
所以 .解得 .
2．（2020福建三明一中高二期中）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中
点，则 =( )
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】D
【解析】将直角三角形的直角顶点 与原点重合，设 ， ，那么 ， 那么
，故选D．
3．（2020宁夏银川一中高二月考）已知 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B【解析】∵ ， ，∴
.
∵ ，∴ .故选B.
4．（2020湖南师大附中高二月考）已知 的三个顶点分别是 ， ， ，M
是边BC上的一点，且 的面积等于 面积的 ，那么线段AM的长等于（ ）．
A．5 B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 的面积等于 面积的 ，故 ，设 ，由 得
，解得 ，即 ，
所以 .故选A.
5．（多选题）（2020全国高二课时练）一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则
它的另一个端点B的坐标可能是 ( )
A．(－3,1) B．(2,7) C． (7,1) D．(2，－3)【答案】AC
【解析】∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5 ，∴a＝－3或7.故答案为AC.
6.（多选题）（2020青岛八中高二月考）等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为
(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )
A． (6,4) B．(2,0) C．(4,6) D．(0,2)
【答案】BC
【解析】设 ，则
解得 或 ，故选BC
二、填空题
7．（2020上海高二课时练）若直线 过定点 ，直线 过定点
，则 两点间的距离是____________．
【答案】
【解析】由 得 ，所以 ，直线 方程变形为： ，由
解得 ，即 ，所以 ．
8．（2020山东菏泽三中高二月考）在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离
相等，则点P的坐标为________.
【答案】
【解析】设直线 上一点 ，则 到点 ， 的距离相等，∴ ，解得 ，∴ ，
∴点 的坐标为 .
9．（2020上海高二课时练）复数 在复平面中所对应点到原点的距离是________.
【答案】
【解析】 ，所以，复数 在复平面内，对应点
的坐标为 ，所以，复数 在复平面中所对应点到原点的距离为 .
10．（2020·广东东莞四中高二月考）已知点 . 若从点 射出的光线经直线
反射后过点 ，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点 射出
的光线经直线 反射，再经直线 反射后回到点 ，则光线所经过的路程是__________（结果用
表示）.
【答案】
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，直线 ： ，
所以 解得 ， ，故 ，由
： ，即 .点 关于 轴对称点 ，设关于直线 对称点 ，
由 解得 ， ，故 .
故
三、解答题
11．（2020上海高二课时练）已知：四边形 是等腰梯形， 且 ，
求梯形各边所在直线的方程．
【解析】 过点 且一个方向向量是 ，则 ，即 ；
过点 且一个方向向量是 ，则 ；
过点 且一个方向向量是 ，则 ，即 ；
设点 的坐标为 ，由于点 在直线 上，且 ，则
或 ，
当 时，四边形 是平行四边形，舍去，
所以点 的坐标是 ．过点 且一个方向向量是 ，
则 ，即 ．
12．（2020福建莆田一中高二月考）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路
l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．
规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别
为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【解析】解法一：
（1）过A作 ，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形， .
因为PB⊥AB，
所以 ，所以 .
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知 ，
从而 ，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半
径，点P符合规划要求.
设 为l上一点，且 ，由（1）知， ，
此时 ；
当∠OBP>90°时，在 中， .
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ= 时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+ .
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ （百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为 .
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为 ，直线PB的方程为 .
所以P（−13，9）， .
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD： .
在线段AD上取点M（3， ），因为 ，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半
径，点P符合规划要求.
设 为l上一点，且 ，由（1）知， ，此时 ；
当∠OBP>90°时，在 中， .由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由 ，
得a= ，所以Q（ ，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（ ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 （百米）.
