定远育才学校 2025-2026 学年高一（上）12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|log x<1}，则A∩B=( )
2
A. {x|0<x<2} B. {x|0≤x<2} C. {x|0<x<1} D. {x|0≤x<1}
2.幂函数 的图象过点 ，那么函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
3.已知定义在区间[−2,2]上的偶函数f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)单调递增，若f(2+m)<f(2m)，则实
数m的取值范围为( )
2 2 2
A. (−1,− ) B. [−1,− ) C. (−1,0) D. (−∞,− )
3 3 3
4.根据下表，能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是( )
x −1 0 1 2 3
f(x) −0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) −0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A. (−1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
1
5.设函数f(x)=sinx，x∈[a,b]，值域为[−1, ]，则以下结论错误的是( )
2
2π π
A. b−a的最小值为 B. a不可能等于2kπ− ，k∈Z
3 6
4π π
C. b−a的最大值为 D. b不可能等于2kπ− ，k∈Z
3 6
6.已知函数 {x2−2x+1, x≤0,若对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
f(x)= x f(x)≥ax a
ex, x>0.
是( )
A. (−4,e) B. (−∞,e] C. [−4,l] D. [−4,e]
7.已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围为( )
f(x)=21+ax−x(a>0) y=f(f(x))−x a1 1
A. (0, ) B. ( ,2) C. (0,1) D. (1,2)
eln2 eln2
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积
⏜
的计算方法.弧田是由圆弧 和其对弦AB围成的图形，如图中阴影部分所示.若
AB
弧田所在圆的半径为√3，O为圆心，弦AB的长是3，则弧田的面积是( )
2√3π 3√3 π 3√3 3√3
A. B. 2π− C. − D. π−
3 2 2 8 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x>0，y>0，且x+2y=2，则( )
4
A. xy的最小值是1 B. x2+ y2的最小值是
5
1 2
C. 2x+4y的最小值是4 D. + 的最小值是5
x y
10.已知函数y=f(x+1)是R上的偶函数，且f(x)在[1,+∞)上单调递增，a=f(log 8)，b=f(−ln2)，
2
，则下列说法正确的是( )
c=f(eln2
)
A. 函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
B. a，b，c的大小关系是：b<c<a
C. 函数y=f(x)在区间(−∞,1]上单调递减
1
D. 关于x的不等式f(2x)<f(x+1)解集为( ,1)
3
π
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示，则( )
2
π
A. φ=
6
π
B. f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x
3
4π
C. f(x)的图象关于直线x=− 对称
3
3 10π
D. 若方程f(x)= 在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π, ]
2 3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 2
12.设正数a，b满足a+b=2，则 + 的最小值为 ．
a b+1
x−a
13.已知f(x)= 是定义在R上的奇函数，则a= ．
x2+4
14.已知奇函数 的定义域为 ，且为减函数，若满足 (3) ，则 的取值范围
f (x) (−2,2) f (x−1)+f <0 x
2
是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|a−2<x<2a+1}，B={x|0<x<7}，U=R．
(1)若a=1，求A∪B，A∩(∁ B)；
U
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每
年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的√2倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林多少年(精确到整数)？
(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知角 的终边与单位圆交于点 ( 3 )，将角 的终边顺时针旋转π后得到角 ，
α P − ,m α β
5 2
记角β的终边与单位圆的交点为Q．
4
(1)若m=− ，求Q点的坐标；
5
7
(2)若sinβ+cosβ= ，求tanα的值．
5
18.(本小题17分)
x−1
已知函数f(x)=log ．
2 x+1(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若f(x)≥m对于x∈[3,+∞)恒成立，求实数m的范围．
19.(本小题17分)
2ax 1 2
已知f(x)= 在定义域[2b,b+3]上为奇函数，且f( )= ．
x2+4 2 17
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明函数f(x)在定义域内的单调性；
若 ，求实数 的取值范围．
(3) f(t2−3)+f(1−t)<0 t答案和解析
1.A 【解析】∵A={x|x≥0}，B={x|log x<1}={x|0<x<2}，
2
∴A∩B={x|0<x<2}．故选：A．
2.B 【解析】试题分析：根据题意，由于幂函数 的图象过点 ，则可知， ，
那么可知函数为 ，结合二次函数的性质可知，函数递增区间为 ，故选B．
3.B 【解析】由函数f(x)是[−2,2]上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)单调递增，
则f(2+m)<f(2m)⇔f(|2+m|)<f(|2m|)⇔|m+2|<|2m|≤2，
2 2
解得−1≤m<− ，所以实数m的取值范围为[−1,− )．故选：B．
3 3
4.B 【解析】设函数h(x)=f(x)−g(x)，
则h(−1)=f(−1)−g(−1)
=−0.677−(−0.530)=−0.147<0，
h(0)=f(0)−g(0)=3.011−3.451=−0.440<0，
h(1)=f(1)−g(1)=5.432−4.890=0.542>0，
h(2)=f(2)−g(2)=5.980−5.241=0.738>0，
h(3)=f(3)−g(3)=7.651−6.892=0.759>0，
∴h(0)⋅h(1)<0，
由零点存在定理，得函数h(x)=f(x)−g(x)的零点存在区间为(0,1)，故选：B．
π π 2π
5.D 【解析】若a=2kπ− ，b=2kπ+ ，k∈Z，则b−a取最小值为 ，A对，
2 6 3
5π π 4π
若a=2kπ− ，b=2kπ+ ，k∈Z，则b−a取最大值为 ，C对，
6 6 3
π 1
若a=2kπ− ，k∈Z，则sina=− ，若存在x∈[a,b]，使f(x)=−1，则存在x∈[a,b]，使
6 2
π
f(x)=1，与值域矛盾，则a不可能等于2kπ− ，k∈Z，B对，
67π π 1
若a=− ，b=− ，则值域为[−1, ]，则D错，故选：D．
6 6 2
6.D 【解析】依题意，当x=0时，f(0)=1≥a×0=0恒成立，此时a∈R；①
1
当x<0时，f(x)=x2−2x+1≥ax恒成立，可转化为a≥(x+ −2) ，
x max
又当x<0时，−x>0，
1 √ 1 1 当且仅当 1，即 时取等号 ，
−x− ≥2 (−x)⋅ =2⇒x+ ≤−2( −x=− x=−1 )
x (−x) x x
1
所以当x<0时，(x+ −2) =−4，故a≥−4；②
x max
ex
当x>0时，f(x)=ex≥ax恒成立，可转化为a≤( ) ；
x min
令 ex ，则 (x−1)ex ，
g(x)= (x>0) g'(x)= (x>0)
x x2
当0<x<1时，g'(x)<0，当x>1时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，又g(1)=e，
即a≤e；③
由①②③，即−4≤a≤e．故选：D．
7. 【解析】由 ，得 ，
A f(f(x))−x=0 21+af(x)−f(x)−x=0
则 ，则 ，
21+af(x)−(21+ax−x)−x=0 21+af(x)=21+ax
所以1+af(x)=1+ax，
lnx
因为a>0，所以21+ax−x=x，所以a= ．
xln2
lnx 1−lnx
令函数g(x)= ，则g'(x)= ．
xln2 x2ln21−lnx
令g'(x)=0得，即 =0，解得x=e，
x2ln2
且当x∈(0,e)时，g'(x)>0；
当x∈(e,+∞)时，g'(x)<0．
所以g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减．
所以g(x)在x=e处取得极大值，也是最大值，
1
即g(x) =g(e)= ，
max eln2
又x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，且当x>e时，g(x)>0，
1
所以g(x)的值域是(−∞, )．
eln2
lnx
函数y=f(f(x))−x恰有两个零点，即方程a= 有两根，
xln2
即y=a与y=g(x)的图象有两个交点，
1
所以a的取值范围是(0, )．故选：A．
eln2
8.D 【解析】依题意，AO=BO=√3，AB=3，
AO2+BO2−AB2 3+3−9 1
所以cos∠AOB= = =− ，
2AO⋅BO 2×√3×√3 2
2π
因为0<∠AOB<π，所以∠AOB= ，
3
⏜ 2π 2√3π
故AB=√3× = ，
3 3
1 2√3π 1 √3 3√3
则扇形AOB的面积为 × ×√3=π，△AOB的面积为 ×√3×√3× = ，
2 3 2 2 4
3√3
所以弧田的面积为π− ．故选：D．
4
9.BC 【解析】对于A，由x>0，y>0，可得x+2y=2≥2√2xy，
1 1
化为xy≤ ，当且仅当x=2y=1，xy取得最大值 ，故A错误，
2 2对于B，x>0，y>0，且x+2y=2，
则x=2−2y，
4
x2+ y2=(2−2y) 2+ y2=5 y2−8 y+4≥ ，故B正确，
5
对于 ， ， ，且 ，则 ，
C x>0 y>0 x+2y=2 2x+4y≥2√2x ⋅4y=2√2x+2y=4
1
当且仅当x=1，y= 时等号成立，
2
∴2x+4y的最小值为4，故C正确，
对于D，∵x>0，y>0，x+2y=2，
1 2 1 1 2 2y 2x √2y 2x
∴ + = ( + )(x+2y)=5+ + ≥5+2 ⋅ =9，
x y 2 x y x y x y
2 2
当且仅当x= ，y= 时，等号成立，
3 3
1 2
∴ + 的最小值为9，故D错误．故选：BC．
x y
10.ACD 【解析】A中，由函数是y=f(x+1)上的偶函数，所以函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，
则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(x)=f(2−x)，A正确；
C中，因为f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在(−∞,1]上单调递减，所以C正确；
D中，由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且在[1,+∞)上单调递增，在(−∞,1]上单调递减，
故f(2x)<f(x+1)可化为|1−2x|<|1−(x+1)|，即|1−2x|<|x|，
1 1
即(1−2x) 2<x2，解得 <x<1，即f(2x)<f(x+1)的解集为( ,1)，D正确；
3 3
B中，由A选项分析，x∈(1,+∞)上，函数f(x)单调递增，且b=f(−ln2)=f(2+ln2)，
a=f(log 8)=f(3)，
2
，而 ，所以 ，
c=f(eln2 )f(2) 3>2+ln2>2>1 f(2)<f(−ln2)<f(3)
即c<b<a，所以B错误．
故选：ACD．
11.ACD 【解析】由题意知f(x)的最大值为A=3，3 1
根据f(0)=3sinφ= ，可得sinφ= ，
2 2
π π π
结合|φ|< ，可得φ= ，f(x)=3sin(ωx+ )，
2 6 6
5π
因为图象过点( ,0)，且该点在f(x)递减的图象上，
12
5π π 24k
所以ω× + =π+2kπ,k∈Z，解得ω=2+ ,k∈Z，
12 6 5
T 5π 2π 5π 12
而f(x)的最小正周期T满足 > ，即 > ，解得0<ω< ，
2 12 2ω 12 5
24k π
结合ω=2+ ，取k=0得ω=2，f(x)=3sin(2x+ )，所以A正确，
5 6
π π
将f(x)的图象向左平移 个单位长度后，可得f(x+ )的图象，
3 3
π π π 5π
根据f(x+ )=3sin[2(x+ )+ ]=3sin(2x+ )≠3cos2x，可知B不正确；
3 3 6 6
4π 4π π 5π
根据f(− )=3sin[2×(− )+ ]=3sin(− )=−3，达到最小值，
3 3 6 2
4π
可知f(x)的图象关于直线x=− 对称，所以C正确，
3
2π
根据f(x)的周期T= =π，
ω
π 4π 7π 10π 3
且f(0)=f( )=f(π)=f( )=f(2π)=f( )=f(3π)=f( )= ，
3 3 3 3 2
3 10π
可知：若f(x)= 在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π, ]，所以D正确．
2 3
故选：ACD．
3+2√2
12. 【解析】由a+b=2，可得a+(b+1)=3(因a，b>0，故a>0，b+1>1)
31 2 1 1 2 1 b+1 2a
则 + = [a+(b+1)]( + )= (3+ + )，
a b+1 3 a b+1 3 a b+1
b+1 2a √b+1 2a
其中 + ≥2 ⋅ =2√2，
a b+1 a b+1
b+1 2a
当且仅当 = (即(b+1) 2=2a2 )时取等号，
a b+1
结合a+b=2，解得a=3(√2−1)，b=5−3√2，
1 2 3+2√2 3+2√2
故 + 的最小值为 ．故答案为： ．
a b+1 3 3
x−a
13.0 【解析】因为f(x)= 是定义在R上的奇函数，
x2+4
−a
所以f(0)= =0，解得a=0，
4
−x
当a=0时，f(−x)= =−f(x)，即f(x)为奇函数．
(−x) 2+4
故答案为：0．
14.( 1 ) 【解析】 是奇函数，且满足 3 ，
− ,3 ∵f(x) f(x−1)+f( )<0
2 2
3 3
∴f(x−1)<−f( )=f(− )
2 2
∵f(x)在(−2,2)上是单调递减函数，
3 1
∴x−1>− ，且−2<x−1<2，解得− <x<3
2 2
故答案为( 1 )．
− ,3
2
15.(1)当a=1时，集合A={x|−1<x<3}，
∵B={x|0<x<7}，∴∁ B={x|x≤0或x≥7}，
U
∴A∪B={x|−1<x<7}，∴A∩(∁ B)={x|−1<x≤0}．
U
(2)∵集合A={x|a−2<x<2a+1}，B={x|0<x<7}，U=R，
A⊆B，
∴当A=⏜时，a−2≥2a+1，解得a≤−3；
{a−2≥2a+1
当A≠⏜时， a−2≥0 ，解得2≤a≤3．
2a+1≤7
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤−3或2≤a≤3}．
16. 【解析】(1) 设年增长率为 x ，则 a(1+x) 10=2a ，即 (1+x) 10=2 ，解得
x=21
1
0−1
，
因此，森林面积的年增长率为 1 ；
210−1
(2) 设已植树造林n年，则 a(1+21 1 0−1) n=√2a ，即 21 n 0=2 1 2 ，
n 1
∴ = ，解得n=5，
10 2
因此，该地已经植树造林5年；
(3) 设需要植树造林m年，则 a(1+21 1 0−1) m ⩾6a ，可得 21 m 0⩾6 ，
m lg6 lg2+lg3 lg3
所以： ⩾log 6= = =1+ ，
10 2 lg2 lg2 lg2
10lg3 10×0.4771
∴m⩾10+ =10+ ≈25.85，
lg2 0.3010
因此，至少需要植树造林26年.
3
17. 【解析】因为角α的终边与单位圆交于点P(− ,m)，
5
3
所以sinα=m，cosα=− ．
5
π
因为角α的终边顺时针旋转 后得到角β，
2
π 3 3
所以sinβ=sin(α− )=−cosα=−(− )= ，
2 5 5π
cosβ=cos(α− )=sinα=m．
2
4
(1)当m=− 时，因为角β的终边与单位圆的交点为Q，
5
所以点 的坐标为( 4 3)
Q − , ;
5 5
7 3
(2)因为sinβ+cosβ= ，sinβ= ，
5 5
4 4
所以cosβ= ，即sinα= ．
5 5
3
因为cosα=− ，
5
4
sinα 5 4
所以tanα= = =− ．
cosα 3 3
−
5
{x−1
18.【解析】 由 >0，解得： 或 ，所以定义域为 ．
(1) x+1 x>1 x<−1 (−∞,−1)∪(1,+∞)
x+1≠0
(2)f(x)为奇函数，证明如下：
由(1)可知，定义域关于原点对称
−x−1 x+1 x−1 x−1
又f(−x)=log =log =log ( ) −1=−log =−f(x)，
2 −x+1 2 x−1 2 x+1 2 x+1
所以f(x)为奇函数；
x−1 x+1−2 2
(3)因为f(x)=log =log =log (1− )，
2 x+1 2 x+1 2 x+1
2
又外部函数y=log u为增函数，内部函数y=1− 在[3,+∞)上为增函数，
2 x+1
由复合函数的单调性知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数，3−1 1
所以f(x) =f(3)=log =log =−1，
min 2 3+1 22
又f(x)≥m对于x∈[3,+∞)恒成立，所以m≤[f(x)] ，所以m≤−1，
min
所以实数m的范围是(−∞,−1]．
2ax
19.【解析】(1)因为f(x)= 在定义域[2b,b+3]上为奇函数，
x2+4
所以2b+b+3=0，解得b=−1，
a 2
1 2 = 1
又f( )= ，所以1 17，解得a= ；
2 17 +4 2
4
x
(2)由(1)得f(x)= ，x∈[−2,2]，
x2+4
则f(x)在[−2,2]上单调递增，证明如下：
任取x ，x ∈[−2,2]，且x <x ，
1 2 1 2
所以 ，
x −x <0,4−x x >0,x2+4>0,x2+4>0
1 2 1 2 1 2
x x x (x2+4)−x (x2+4) (x −x )(4−x x )
则 f(x )−f(x )= 1 − 2 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 <0 ，
1 2 x2+4 x2+4 (x2+4)(x2+4) (x2+4)(x2+4)
1 2 1 2 1 2
所以f(x )−f(x )<0，即f(x )<f(x )，
1 2 1 2
x
所以f(x)= 在[−2,2]上单调递增；
x2+4
(3)因为f(x)在[−2,2]上单调递增，且为奇函数，
由 ，得 ，
f(t2−3)+f(1−t)<0 f(t2−3)<−f(1−t)=f(t−1)
{
t2−3<t−1
所以 ，解得 ，
−2≤t2−3≤2 1≤t<2
−2≤1−t≤2故t的范围为[1,2)．
