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定远育才学校 2025-2026 学年高一（上）12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|log x<1}，则A∩B=( )
2
A. {x|00.
是( )
A. (−4,e) B. (−∞,e] C. [−4,l] D. [−4,e]
7.已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围为( )
f(x)=21+ax−x(a>0) y=f(f(x))−x a1 1
A. (0, ) B. ( ,2) C. (0,1) D. (1,2)
eln2 eln2
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积
⏜
的计算方法.弧田是由圆弧 和其对弦AB围成的图形，如图中阴影部分所示.若
AB
弧田所在圆的半径为√3，O为圆心，弦AB的长是3，则弧田的面积是( )
2√3π 3√3 π 3√3 3√3
A. B. 2π− C. − D. π−
3 2 2 8 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x>0，y>0，且x+2y=2，则( )
4
A. xy的最小值是1 B. x2+ y2的最小值是
5
1 2
C. 2x+4y的最小值是4 D. + 的最小值是5
x y
10.已知函数y=f(x+1)是R上的偶函数，且f(x)在[1,+∞)上单调递增，a=f(log 8)，b=f(−ln2)，
2
，则下列说法正确的是( )
c=f(eln2
)
A. 函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
B. a，b，c的大小关系是：b0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示，则( )
2
π
A. φ=
6
π
B. f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x
3
4π
C. f(x)的图象关于直线x=− 对称
3
3 10π
D. 若方程f(x)= 在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π, ]
2 3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 2
12.设正数a，b满足a+b=2，则 + 的最小值为 ．
a b+1
x−a
13.已知f(x)= 是定义在R上的奇函数，则a= ．
x2+4
14.已知奇函数 的定义域为 ，且为减函数，若满足 (3) ，则 的取值范围
f (x) (−2,2) f (x−1)+f <0 x
2
是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|a−20，
h(2)=f(2)−g(2)=5.980−5.241=0.738>0，
h(3)=f(3)−g(3)=7.651−6.892=0.759>0，
∴h(0)⋅h(1)<0，
由零点存在定理，得函数h(x)=f(x)−g(x)的零点存在区间为(0,1)，故选：B．
π π 2π
5.D 【解析】若a=2kπ− ，b=2kπ+ ，k∈Z，则b−a取最小值为 ，A对，
2 6 3
5π π 4π
若a=2kπ− ，b=2kπ+ ，k∈Z，则b−a取最大值为 ，C对，
6 6 3
π 1
若a=2kπ− ，k∈Z，则sina=− ，若存在x∈[a,b]，使f(x)=−1，则存在x∈[a,b]，使
6 2
π
f(x)=1，与值域矛盾，则a不可能等于2kπ− ，k∈Z，B对，
67π π 1
若a=− ，b=− ，则值域为[−1, ]，则D错，故选：D．
6 6 2
6.D 【解析】依题意，当x=0时，f(0)=1≥a×0=0恒成立，此时a∈R；①
1
当x<0时，f(x)=x2−2x+1≥ax恒成立，可转化为a≥(x+ −2) ，
x max
又当x<0时，−x>0，
1 √ 1 1 当且仅当 1，即 时取等号 ，
−x− ≥2 (−x)⋅ =2⇒x+ ≤−2( −x=− x=−1 )
x (−x) x x
1
所以当x<0时，(x+ −2) =−4，故a≥−4；②
x max
ex
当x>0时，f(x)=ex≥ax恒成立，可转化为a≤( ) ；
x min
令 ex ，则 (x−1)ex ，
g(x)= (x>0) g'(x)= (x>0)
x x2
当01时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，又g(1)=e，
即a≤e；③
由①②③，即−4≤a≤e．故选：D．
7. 【解析】由 ，得 ，
A f(f(x))−x=0 21+af(x)−f(x)−x=0
则 ，则 ，
21+af(x)−(21+ax−x)−x=0 21+af(x)=21+ax
所以1+af(x)=1+ax，
lnx
因为a>0，所以21+ax−x=x，所以a= ．
xln2
lnx 1−lnx
令函数g(x)= ，则g'(x)= ．
xln2 x2ln21−lnx
令g'(x)=0得，即 =0，解得x=e，
x2ln2
且当x∈(0,e)时，g'(x)>0；
当x∈(e,+∞)时，g'(x)<0．
所以g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减．
所以g(x)在x=e处取得极大值，也是最大值，
1
即g(x) =g(e)= ，
max eln2
又x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，且当x>e时，g(x)>0，
1
所以g(x)的值域是(−∞, )．
eln2
lnx
函数y=f(f(x))−x恰有两个零点，即方程a= 有两根，
xln2
即y=a与y=g(x)的图象有两个交点，
1
所以a的取值范围是(0, )．故选：A．
eln2
8.D 【解析】依题意，AO=BO=√3，AB=3，
AO2+BO2−AB2 3+3−9 1
所以cos∠AOB= = =− ，
2AO⋅BO 2×√3×√3 2
2π
因为0<∠AOB<π，所以∠AOB= ，
3
⏜ 2π 2√3π
故AB=√3× = ，
3 3
1 2√3π 1 √3 3√3
则扇形AOB的面积为 × ×√3=π，△AOB的面积为 ×√3×√3× = ，
2 3 2 2 4
3√3
所以弧田的面积为π− ．故选：D．
4
9.BC 【解析】对于A，由x>0，y>0，可得x+2y=2≥2√2xy，
1 1
化为xy≤ ，当且仅当x=2y=1，xy取得最大值 ，故A错误，
2 2对于B，x>0，y>0，且x+2y=2，
则x=2−2y，
4
x2+ y2=(2−2y) 2+ y2=5 y2−8 y+4≥ ，故B正确，
5
对于 ， ， ，且 ，则 ，
C x>0 y>0 x+2y=2 2x+4y≥2√2x ⋅4y=2√2x+2y=4
1
当且仅当x=1，y= 时等号成立，
2
∴2x+4y的最小值为4，故C正确，
对于D，∵x>0，y>0，x+2y=2，
1 2 1 1 2 2y 2x √2y 2x
∴ + = ( + )(x+2y)=5+ + ≥5+2 ⋅ =9，
x y 2 x y x y x y
2 2
当且仅当x= ，y= 时，等号成立，
3 3
1 2
∴ + 的最小值为9，故D错误．故选：BC．
x y
10.ACD 【解析】A中，由函数是y=f(x+1)上的偶函数，所以函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，
则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(x)=f(2−x)，A正确；
C中，因为f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在(−∞,1]上单调递减，所以C正确；
D中，由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且在[1,+∞)上单调递增，在(−∞,1]上单调递减，
故f(2x)2+ln2>2>1 f(2) ，即 > ，解得0<ω< ，
2 12 2ω 12 5
24k π
结合ω=2+ ，取k=0得ω=2，f(x)=3sin(2x+ )，所以A正确，
5 6
π π
将f(x)的图象向左平移 个单位长度后，可得f(x+ )的图象，
3 3
π π π 5π
根据f(x+ )=3sin[2(x+ )+ ]=3sin(2x+ )≠3cos2x，可知B不正确；
3 3 6 6
4π 4π π 5π
根据f(− )=3sin[2×(− )+ ]=3sin(− )=−3，达到最小值，
3 3 6 2
4π
可知f(x)的图象关于直线x=− 对称，所以C正确，
3
2π
根据f(x)的周期T= =π，
ω
π 4π 7π 10π 3
且f(0)=f( )=f(π)=f( )=f(2π)=f( )=f(3π)=f( )= ，
3 3 3 3 2
3 10π
可知：若f(x)= 在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π, ]，所以D正确．
2 3
故选：ACD．
3+2√2
12. 【解析】由a+b=2，可得a+(b+1)=3(因a，b>0，故a>0，b+1>1)
31 2 1 1 2 1 b+1 2a
则 + = [a+(b+1)]( + )= (3+ + )，
a b+1 3 a b+1 3 a b+1
b+1 2a √b+1 2a
其中 + ≥2 ⋅ =2√2，
a b+1 a b+1
b+1 2a
当且仅当 = (即(b+1) 2=2a2 )时取等号，
a b+1
结合a+b=2，解得a=3(√2−1)，b=5−3√2，
1 2 3+2√2 3+2√2
故 + 的最小值为 ．故答案为： ．
a b+1 3 3
x−a
13.0 【解析】因为f(x)= 是定义在R上的奇函数，
x2+4
−a
所以f(0)= =0，解得a=0，
4
−x
当a=0时，f(−x)= =−f(x)，即f(x)为奇函数．
(−x) 2+4
故答案为：0．
14.( 1 ) 【解析】 是奇函数，且满足 3 ，
− ,3 ∵f(x) f(x−1)+f( )<0
2 2
3 3
∴f(x−1)<−f( )=f(− )
2 2
∵f(x)在(−2,2)上是单调递减函数，
3 1
∴x−1>− ，且−20，解得： 或 ，所以定义域为 ．
(1) x+1 x>1 x<−1 (−∞,−1)∪(1,+∞)
x+1≠0
(2)f(x)为奇函数，证明如下：
由(1)可知，定义域关于原点对称
−x−1 x+1 x−1 x−1
又f(−x)=log =log =log ( ) −1=−log =−f(x)，
2 −x+1 2 x−1 2 x+1 2 x+1
所以f(x)为奇函数；
x−1 x+1−2 2
(3)因为f(x)=log =log =log (1− )，
2 x+1 2 x+1 2 x+1
2
又外部函数y=log u为增函数，内部函数y=1− 在[3,+∞)上为增函数，
2 x+1
由复合函数的单调性知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数，3−1 1
所以f(x) =f(3)=log =log =−1，
min 2 3+1 22
又f(x)≥m对于x∈[3,+∞)恒成立，所以m≤[f(x)] ，所以m≤−1，
min
所以实数m的范围是(−∞,−1]．
2ax
19.【解析】(1)因为f(x)= 在定义域[2b,b+3]上为奇函数，
x2+4
所以2b+b+3=0，解得b=−1，
a 2
1 2 = 1
又f( )= ，所以1 17，解得a= ；
2 17 +4 2
4
x
(2)由(1)得f(x)= ，x∈[−2,2]，
x2+4
则f(x)在[−2,2]上单调递增，证明如下：
任取x ，x ∈[−2,2]，且x 0,x2+4>0,x2+4>0
1 2 1 2 1 2
x x x (x2+4)−x (x2+4) (x −x )(4−x x )
则 f(x )−f(x )= 1 − 2 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 <0 ，
1 2 x2+4 x2+4 (x2+4)(x2+4) (x2+4)(x2+4)
1 2 1 2 1 2
所以f(x )−f(x )<0，即f(x )
