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1994 年新疆高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5
分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
(1) 设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则
( )
(A) {0} (B) {0，1}
(C) {0，1，4} (D) {0，1，2，3，4}
(2) 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ( )
(A) (0，+∞) (B) (0，2) (C) (1，+∞) (D) (0，1)
(3) 极坐标方程 所表示的曲线是 ( )
(A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆
(4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，
这种细菌由1个可繁殖成 ( )
(A) 511个 (B) 512个 (C) 1023个 (D) 1024个
(6) 在下列函数中，以 为周期的函数是 ( )
(A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x
(C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x
(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( )
(A) 32 (B) 28 (C) 24 (D) 20
(8) 设F和F为双曲线 －y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF=90°，
1 2 1 2
则△FPF的面积是 ( )
1 2
第1页 | 共10页(A) 1 (B) (C) 2 (D)
(9) 如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 ( )
(A) 1 (B) (C) 2 (D)
(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派
4人承担这三项任务，不同的选法共有 ( )
(A) 1260种 (B) 2025种 (C) 2520种 (D) 5040种
(11) 对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( )
(A) m⊥n，m∥α，n∥β (B) m⊥n，α∩β=m，n α
(C) m∥n，n⊥β，m α (D) m∥n，m⊥α，n⊥β
(12) 设函数f(x)=1－ (－1≤x≤0)，则函数y=f－1(x)的图像是 ( )
(13) 已知过球面上 A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( )
(A) π (B) π (C) 4π (D) π
(14) 函数y=arccos(sinx) 的值域是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶
函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ( )
(A) g(x)=x，h(x)=lg(10x+10－x+2)
(B) g(x)= [lg(10x+1)+x]，h(x)= [lg(10x+1)－x]
(C) g(x)= ，h(x)=lg(10x+1)－
(D) g(x)=－ ，h(x)=lg(10x+1)+
第2页 | 共10页第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横
线上)
(16) 在(3－x)7的展开式中，x5的系数是 (用数字作答)
王新奎新疆屯敞
(17) 抛物线y2=8－4x的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其
准线相切的圆的方程是
王新奎新疆屯敞
(18) 已知sinθ +cosθ = ，θ∈(0，π)，则ctgθ的值是_____________
王新奎新疆屯敞
(19) 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为 ，
AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________
王新奎新疆屯敞
(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a，
1
a，…a，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a是这样一个量：与其
2 n
他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a，a，…，a推出的
1 2 n
a=_________
王新奎新疆屯敞
三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
(21) (本小题满分11分)
已知z=1+i．
(1)设ω=z2+3 －4，求ω的三角形式；
(2)如果 ，求实数a，b的值．
(22) (本小题满分12分)
已知函数 f(x)=tgx，x∈(0， )．若 x，x∈(0， )，且 x≠x，证明
1 2 1 2
[f(x)+f(x)]>f( )
1 2
(23) (本小题满分12分)
如图，已知ABC－ABC是正三棱柱，D是AC中点．
1 1 1
(1)证明AB∥平面DBC；
1 1
(2)假设AB⊥BC，求以BC为棱，DBC与CBC为面的二
1 1 1 1 1
第3页 | 共10页面角α的度数．
(24) (本小题满分12分)
已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴
正半轴上．若点 和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，
求直线l和抛物线C的方程．
(25) (本小题满分14分)
设{a}是正数组成的数列，其前n项和为S，并且对于所有
n n
的自然数n，a与2的等差中项等于S与2的等比中项．
n n
(1)写出数列{a}的前3项；
n
(2)求数列{a}的通项公式(写出推证过程)；
n
(3)令 ，求
参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A
10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
16．－189 17．x=3，(x－2)2+y2=1 18． 19．
20．
三、解答题
21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．
解：(1)由z＝1+i，有
ω=z2+3 －4
=(1+i)2+3 －4
=2i+3(1－i)－4=－1－i，
第4页 | 共10页ω的三角形式是 ．
(2)由z=1+i，有
=
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i．
根据复数相等的定义，得
解得
22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．
证明：
tgx+tgx=
1 2
∵x，x∈(0， )，x≠x，
1 2 1 2
∴2sin(x+x)>0，cos xcosx>0，且0 ，∴ ( tgx+tgx)>tg ，
1 2 1 2
即 [f(x)+f(x)]>f( )
1 2
23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间
第5页 | 共10页想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：
∵ABC－ABC是正三棱柱，∴四边形BBCC是矩形．
1 1 1 1 1
连结BC交BC于E，则BE=EC．连结DE．
1 1 1
在△ABC中，∵AD=DC，∴DE∥AB．
1 1
又AB 平面DBC，DE 平面DBC，∴AB∥平面DBC．
1 1 1 1 1
(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面BBCC，连结EF，则EF是ED在平面BBCC上
1 1 1 1
的射影．
∵AB⊥BC，
1 1
由(1)知AB∥DE，∴DE⊥BC，则BC⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
1 1 1
设AC=1，则DC= ．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC·sinC= ，CF=DC·cosC= ．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF2=BF·GF，又BF=BC－FC= ，GF= ，
∴EF2= · ，即EF= ．∴tg∠DEF= ．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．
24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合
运用知识解决问题的能力．
解法一：依题设抛物线C的方程可写为
y2=2px (p>0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的
方程为
y=kx (k≠0)． ①
设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为
②
第6页 | 共10页由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为 ．
又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为
x = ，
A'
y = ． ③
A'
同理得点B'的坐标为
x = ， y = ． ④
B' B'
又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上，由③得
，由此知k≠±1，
即 ⑤
同理由④得 ．
即 ．
从而 = ，
整理得 k2－k－1=0．
解得
但当 时，由③知 ，
这与A'在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去 ．
第7页 | 共10页设 ，则直线l的方程为 ．
将 代入⑤，求得 ．
所以直线方程为
．
抛物线方程为
．
解法二：设点A、B关于l的对称点分别为A'(x、y)、B'(x，y)，则
1 1 2 2
|OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8．
设由x轴正向到OB'的转角为α，则
x=8cosα，y=8sinα． ①
2 2
因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角，故∠B'OA'为直角，因此
x=cos =sinα，y=sin =－cosα， ②
1 1
由题意知x>0，x>0，故α为第一象限角．
1 2
因为A'、B'都在抛物线y2=2px上，将①、②代入得
cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα．
∴8sin3α=cos3α，
∴2sinα=cosα，
解得 ．
将 代入cos2α=2psinα得
，
∴抛物线C的方程为 ．
因为直线l平分∠B'OB，故l的斜率
第8页 | 共10页∴直线l的方程为 ．
25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析
问题与解决问题的能力．
解：(1)由题意，当n=1时有 ，S=a，
1 1
∴ ，
解得 a=2．
1
当n=2时有 ，S=a+ a，a=2代入，整理得
2 1 2 1
(a－2)2=16．
2
由a>0，解得 a=6．
2 2
当n=3时有 ，S=a+ a+ a，将a=2，a=6代入，整理得
3 1 2 3 1 2
(a－2)2=64．
3
由a>0，解得 a=10．
3 3
故该数列的前3项为2，6，10．
(2)解法一：由(1)猜想数列{a}有通项公式a =4n－2．
n n
下面用数学归纳法证明数列{ a }的通项公式是
n
a =4n－2 (n∈N)．
n
①当n=1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a=2，所以上述结论成立．
1
②假设n=k时结论成立，即有a=4k－2．由题意，有
k
，
将a=4k－2代入上式，得2k= ，解得S=2k2．
k k
由题意，有 ，S =S+a ，
k+1 k k+1
第9页 | 共10页将S=2k2代入，得 =2(a +2k2)，整理得 －4 a +4－16 k2=0．
k k+1 k+1
由a >0，解得a =2+4k．所以a =2+4k=4(k+1)－2．
k+1 k+1 k+1
这就是说，当n=k+1时，上述结论成立．
根据①、②，上述结论对所有的自然数n成立．
解法二：由题意，有 ，整理得S= (a+2)2，
n n
由此得 S = (a +2)2，
n+1 n+1
∴a = S －S = [(a +2)2－(a+2)2]，
n+1 n+1 n n+1 n
整理得(a + a)( a －a－4)=0，
n+1 n n+1 n
由题意知 a +a≠0，∴a －a=4．
n+1 n n+1 n
即数列{ a }为等差数列，其中a=2，公差d=4．∴a =a+(n－1)d=2+4(n－1)，
n 1 n 1
即通项公式为a =4n－2．
n
(3)解：令c=b－1，则
n n
，
b+b+…+b－n=c+c+…+c
1 2 n 1 2 n
=
．
∴
第10页 | 共10页
