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第一章 空间向量与立体几何（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项， ， ，所以点 与 、 、 三点不共面；
对于B选项， ， ，所以点 与 、 、 三点不共面；
对于C选项， ， ，所以点 与 、 、 三点不共面；
对于D选项， ， ，所以点 与 、 、 三点共面．
故选：D．
2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近
的三等分点，设 ， ， ，则用 ， ， 表示 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A
3．（2022·河南许昌·高二期末（文））如图，在长方体 中，M，N分别为棱 ， 的
中点，下列判断中正确的个数为（ ）
①直线 ；
② 平面 ；
③ 平面ADM．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】设长方体棱长为 ，
以D为坐标原点， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则故 ， ，
故直线 不成立，①不正确；
在长方体 中， 平面 ，②正确，
因为 ，
设平面ADM的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，则 ，
而 ，故 ，
故 平面ADM．不成立，故③错误，
故选：B
4．（2022·湖南·长沙一中高一期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形且 平面 ，
连接 与 ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【解析】对于A，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为底面 为矩形，所
以 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，即 ，所以 ，故A不正确；
对于B， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为底面 为矩形，所以
， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，即 ，所以 ，故B不正确；
对于C，因为底面 为矩形，所以 与 不垂直，所以 与 不一定垂直，所以 与 不一
定垂直，所以 与 的数量积不一定为0，故C正确．
对于D，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为底面 为矩形，所以
， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，即 ，所以 ，故D不正确．
故选：C．
5．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体 中， ， ， ，
当直线 与平面 所成的角最大时， （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为1，
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，令 ，可得 ，
又 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则，又 ，
∴当 时， 有最大值，即直线 与平面 所成的角最大．
故选：C．
6．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形， 为圆 的直
径， 为圆 上的点，则 的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】如图所示
由题意可知 ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值，此时 取最大值 ，
所以 的最大值为4．
故选：A．
7．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成的角为
B．二面角 的正切值为
C．直线 与平面 所成的角为
D．四面体 的外接球体积为
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
A选项，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，
故异面直线 与 所成的角为 ，A正确；
B选项，设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 得： ，
则 ，平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，显然 为锐角，则 ，
所以 ， ，故二面角 的正切值为 ，B正确；
C选项，设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
则 ，C错误；
D选项，四面体 的外接球即为正方体 的外接球，
设外接球半径为R，则 ，则外接球体积为 ，D正确．故选：C
8．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底
面 上的动点，满足 的点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，即 ，由于 ，所以 ， ，
所以点 的轨迹为面 上的直线： ， ，即图中的线段 ，
由图知： ，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 ，若 ，则
B．若空间四个点 ， ，则 三点共线
C．已知向量 ，若 ，则 为钝角
D．任意向量 满足
【答案】AB
【解析】对于A：因为 ， ，则 ，故A正确；
对于B：因为 ，则 ，即 ，
又 与 有公共点，所以 三点共线，故B正确；
对于C： ，若 为钝角：则 ，且 与 不共线，
由 得 ，
当 时， ，即 ，由 与 不共线得 ，
于是得当 且 时， 为钝角，故C错误；
对于D： 是 的共线向量，而 是 的共线向量，故D错误，
故选：AB
10．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知正方体 的棱长为1， 分别在 上，
并满足 ，设 ，设 的重心为G，下列说法正确的是
（ ）
A．向量 可以构成一组基底
B．当 时，
C．当 时， 在平面 上的投影向量的模长为
D．对任意实数 ，总有
【答案】AD
【解析】 ，显然 不共面，∴向量 可以构成一组基底，A正确；
如图建立空间直角坐标系，则 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，Ｂ不正确；，
当 时， ， 在平面 上的投影向量为 ， ，Ｃ不
正确；
对任意实数 ， ，则 ，
， ， ，D正确．
故选：AD．
11．（2022·山东德州·高一期末）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE
沿DE折起，使A到 ，连接 ， ，且 ，平面 与平面 的交线为l，则下列结论
中正确的是（ ）A．平面 平面 B．
C．ВС与平面 所成角的余弦值为 D．二面角 的余弦值为
【答案】ABD
【解析】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以 ，因为 ，
所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以 平面A′DE，
因为 ，所以 平面A′DE，因为 平面A′BE，
所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确；
因为 ， 平面A′BE， 平面A′BE ，所以 平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD
的交线为l，所以CD∥l ，故B正确；
由A知， 平面A′DE，则 A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以
A′E，又BE∩DE=E，所以A′E 平面BED，，以E为原点，分别以EB，ED，E A′为x，y，z轴，建立
如图所示空间直角坐标系：
则 ，
所以 ，
由上可知： 平面A′DE，
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，
所以有 ，因此选项C不正确；显然平面 的一个法向量为： ，
设平面 的一个法向量为：
则有则 ，即 ，所以
所以 ，所以选项D正确，
故选：ABD
12．（2022·湖北武汉·高二期末）如图，直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形，
，点P是经过点 的半圆弧 上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧
上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积是定值
B． 的取值范围是
C．若 与平面ABCD所成的角为 ，则
D．若三棱锥 的外接球表面积为S，则
【答案】BCD【解析】直四棱柱 中，点P到底面ABCD的距离为 ，设点Q到BC的距离为h，则
，因为 不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；
在 中， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，故B正确；
因为 平面ABCD， 所以 是 与平面ABCD所成的角，则 ，
因为 ，所以 ，故C正确；
以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：
则 ，线段BC的中点为 ，线段 的中点为
，设球心为 ， ，则 ，
由 得 ，
化简得 ，
即 ，易知 ，则 ， ，
所以 外接球的表面积为 ，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱 的底面 是正方形，底面边
长和侧棱长均为2， ，则对角线 的长为________．
【答案】
【解析】由题可知四棱柱 为平行六面体， ，
所以
，
所以 ．
故答案为： ．
14．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体 中， ， ，则点B到平面
的距离为________．
【答案】【解析】在长方体 中，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为：
，
，令 得：
又
点B到平面 的距离为： ．
故答案为： ．
15．（2022·江苏泰州·高二期末）如图所示的木质正四棱锥模型 ，过点 作一个平面分别交 ，
， 于点E，F，G，若 ， ，则 的值为___________．【答案】
【解析】在正四棱锥 中，连接 交于 点，连接 ，则 平面 ，
以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
设 ， ， ， ， （a、b>0），则 ，
， ， ，
∴ ， ，
由题意 四点共面，则有 ，其中 ，
设 ，
∴由方程组 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
16．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点
M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有：
， ， ， ， ，
可得：
设 ，且
则有： ，
可得：
则有：
故则当且仅当 时，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，三棱柱 中， ， ， ，
， ， ， 是 中点．
（1）用 ， ， 表示向量 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，说明理由．
【解析】（1） ；
（2）假设存在点 ，使 ，设 ，
显然 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
，
因为 ， ， ，
所以有： ，
即 ，
解得 ，所以当 时， ．
18．（12分）
（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，
， 面 ， ，点 为线段 中点
（1）求证： 面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
【解析】（1）证明： 由 面 建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以 ，垂
直于AD以及 为方向建立 轴，如图所示：由底面是等腰梯形以及 可知： ， ，
，
又由点 为线段 中点，可知
， ，
设 为平面 的法向量，故可知：
，解得
令 ，可知平面 的法向量一个法向量为：
根据线面平行的向量法判断法则可知 面
（2）由题意得：由（1）分析可知 ，
可知向量 互相垂直，故异面直线 与 所成角的大小为
19．（12分）
（2022·福建泉州·高二期末）在四棱锥 中，
，平面 平面 ．（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【解析】（1）作 于点 ，平面 平面 ，平面 平面 ∴ 平面 ，
平面 ，则 又 ， 平面 平面 ，则
， 平面
（2）取 中点为 ，则由 ，得 又 平面 ，得 ，所以 平面
以 为原点， 方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则
设平面 的法向量为 则
，则 今 ，则 设平面 的法向量为
则 ，则 令 ，则 故
故二面角 的正弦值为20．（12分）
（2022·广东·高二期末）四边形ABCD是平行四边形， ，四边形ABEF是梯形， ，且
， ， ，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：因为 ， ， ，
由余弦定理 ，
所以 ，则 ，所以 ，即 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；（2）如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
21．（12分）
（2022·湖南师大附中高一期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD BC，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 ．
（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM 平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不
存在，请说明理由；
（2）若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离．【解析】（1）延长 交直线 于点 ，
点 为 的中点， ，
，
，即 ，
四边形 为平行四边形，即 ．
，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 ，
故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 ．
（2）如图所示， ，即 ，
且异面直线 与 所成的角为 ，即 ，
又 平面 平面 ．
平面 ，
又 平面 ，
平面 ，
平面 ．
因此 是二面角 的平面角，大小为 ．
．
不妨设 ，则 ．以A为坐标原点，平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
，
方向上的单位向量坐标为 ，
则 在 上的投影的绝对值为 ，
所以 到直线 的距离为 ．
22．（12分）
（2022·河南南阳·高一期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，E为边AD上的动点，将 沿
CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．
（1）设 ，当 为何值时， 的面积最小？
（2）当 的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面 平面POF，若存在求出BF的
长，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，所以 ，由于 平面
， ，故在 中， ，在 中， 由余弦定
理可得 ，在 中，
在 中，因为 ，所以 ，当
时，即 ， 最大，此时 ，而 也为最小值，
故
（2）以 为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，
如图，建立空间直角坐标系； 当 时，此时 是
中点，故 ，故 设 ，则
；设平面 的法向量为 ，所以
，取 ，则 同理可得平面 的法向量为
，因为平面 平面POF，所以 ，即 或 ，
故存在点 ，使得平面 平面POF，且 或
