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1．由集合的混合运算结果求变量
在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进
行验证，以保证满足集合中元素的互异性．
2．集合与方程的综合
集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数
的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值
范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．
3．与集合有关的新定义问题
(1)定义新集合要与集合定义类比解决．
(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．
(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．
4．充分条件与必要条件的理解及判定
(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：
①确定条件是什么，结论是什么；
②把复杂的条件(结论)化简；
③尝试从条件推结论，从结论推条件；
④确定是什么条件．
(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆
命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条
件的必要性．
5．全称量词命题与存在量词命题
(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要
点．
有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词
命题．
(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证
p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，
只需举出一个反例即可．
(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合 M 中能找到一个
x ，使p(x )成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．
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学科思想培优
一、分类讨论思想
解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，
增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体
现在空集的特殊性上．
[典例 1] 若集合 A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3，n∈R}，且
B⊆A，求n的取值范围．
解 当B＝∅时，n＋1＞2n－3，解得n＜4.此时B⊆A.
当B≠∅时，要使B⊆A，必须满足
解得4≤n≤5.
综上所述，n的取值范围为{n|n≤5}．
二、数形结合思想
在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的
图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有
限数集，一般采用Venn图来求解．
1．运用数轴
[典例2] 已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a∈R，a＜
1}，B⊆A，求实数a的取值范围．解 ∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠∅.
在数轴上表示集合A，B，如图：
由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，
即a＜－2或a≥.
又a＜1，
∴实数a的取值范围是.
2．运用Venn图
[典例 3] 已知全集 I＝{x|0＜x＜10，x∈N
＋
}，A∩B＝{3}，A∩(∁I B)＝
{1,5,7}，(∁I A)∩(∁I B)＝{9}，求集合A和B.
解 由全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N }，得I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
＋
用Venn图表示A∩B＝{3}，A∩(∁I B)＝{1,5,7}，(∁I A)∩(∁I B)＝{9}，如图，
得集合A＝{1,3,5,7}，集合B＝{2,3,4,6,8}．
三、定义法
[典例4] 已知p：－2＜m＜0,0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两
个小于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件．
解 若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ
＝m2－4n>0，即m2>4n.
设方程的两根为x ，x ，则04n，即有q⇒p.
反之，取m＝－，n＝，那么方程变为x2－x＋＝0，Δ＝－4×<0.
此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以p⇒q.
综上所述，p是q的必要不充分条件．
四、反证法
利用量词命题与量词命题的否定的真假性相反的性质，达到证明的目的．
[典例5] 设三个正实数a，b，c满足条件＋＋＝2，求证：a，b，c中至少
有两个数不小于1.
证明 假设a，b，c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：
①a，b，c三数均小于1，即01，>1，>1.所以＋＋
>3，与已知条件矛盾；
②a，b，c中有两个数小于1，不妨设01，>1.所
以＋＋>2＋>2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．
所以a，b，c中至少有两个数不小于1.
