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2024-2025 学年湖北省鄂北六校高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2025π 1
1.已知cos( +α)=− ，那么sinα=( )
2 4
1 1 √15 √15
A. − B. C. − D.
4 4 4 4
2.己知向量 ⃗a=(2,2) ，则与向量⃗方向相反的单位向量是( )
a
√2 √2 √2 √2
A. (1,0) B. (1,1) C. ( , ) D. (− ,− )
2 2 2 2
3.已知向量 ， ，则下列结论正确的是( )
⃗a=(1,2) ⃗b=(1,−2)
A. ⃗a//⃗b B. ⃗a⋅⃗b=2
C.
(
⃗
a+
⃗
b)⊥(
⃗
a−
⃗
b)
D. |⃗a|=5
4.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东30∘，行驶x小时后，船到达C处
看到灯塔在南偏西60∘，此时测得船与灯塔的距离为30√3km，则x=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4 π
5.若sin(α−β)sinβ−cos(α−β)cosβ= ，且α为第三象限角，则tan( +α)=( )
5 4
1 1
A. 7 B. −7 C. D. −
7 7
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1 1π
6.已知函数f(x)=Asin(ω⋅x+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示，下列说法不正确的是
2
( )
π 5π
A. ω=2，φ= B. 函数f(x)的图象关于直线x= 对称
3 12
2π 5π π
C. 函数f(x)的图象关于(− ,0)对称 D. 函数f(x)在[− , ]上单调递增
3 12 12
7.定义两个向量⃗， 之间的一种运算：⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，其中 是向量⃗， 的夹角，则对于非零向
a
⃗b
a∗b=|a|⋅|b|sinθ
θ
a
⃗b
量⃗， ⃗b ，下列结论不一定成立的是( )
a
A. 该运算满足交换律，即⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a∗b=b∗a
B. 若向量⃗， 共线，则⃗ ⃗
a
⃗b
a∗b=0
C. ⃗ ⃗的值等于以⃗， 为邻边的平行四边形的面积
⃗b
a∗b a
D. 对任意向量 ，有 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗c (a+b)∗c=a∗c+b∗c
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2 1π
8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2cos(3x− )的交点个数为( )
6
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 函数y=tanx的对称中心是(kπ,0)，k∈Z
B. 在△ABC中，A>B⇔sin A>sinB
C. ⃗a=(−1,2) ， ⃗b=(0,1) ，则⃗
a
在 ⃗b 上的投影向量等于
2
⃗
b
D. 两个非零向量⃗， 的夹角是锐角 ⃗ ⃗
a
⃗b
⇔a⋅b>0
10.计算下列各式的值，结果为2的有( )
1
A. tan75°+tan120° B.
sin15∘cos15°
1 √3
C. (1+tan20°)⋅(1+tan25∘) D. −
cos80∘ sin80∘
11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形
的边按逆时针方向运动一周回到A点，若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则( )
A. 当点P在线段AB上移动时，λ+μ∈[0,1]
B. 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C. 满足λ+μ=2的点P有两个
D. λ+μ最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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3 112.已知扇形的周长为9cm，圆心角为1rad，则该扇形的面积为 cm2．
13.在△ABC中，a2−b2=bc，sinC=2sinB，则角B为 ．
π
14.把函数f(x)=√3sinωx+cosωx(0<ω<2π)的图象向左平移 个单位长度，得到的函数是奇函数，则
6
ω的值为 ，若函数f(x)在区间[0,a]上存在最大值2，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量⃗
a
，
⃗b
满足：|⃗a|=2 ，
|⃗b|=3
，
(2
⃗
a−
⃗
b)⋅(
⃗
a+2
⃗
b)=2
．
求⃗与 的夹角 的余弦值
(1) ⃗b θ ;
a
若 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，求实数 的值．
(2) (λa+2b)⊥(a−λb) λ
16.(本小题15分)
π π
已知函数f(x)=4sin(ωx+ )(ω>0)的图象相邻两个零点之间的距离为 ，
6 2
(1)求函数f(x)的解析式及f(x)>2的解集;
在 中， 为 的一个内角，若满足 ， ，且 ，求 周长．
(2) △ABC A △ABC f(A)=−4 BC=3 S =√3 △ABC
△ABC
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，M是BC的中点，N是AC上的点，且
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AN=x AC
，AM，BN相交于点P.设⃗AB=⃗a，
AC=b:
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4 11
(1)若x= ，试用向量 ⃗ ，⃗b表示⃗AM，⃗MN;
a
3
(2)若AM⊥PN，求△ABN的面积．
18.(本小题17分)
中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数
值也可以表示为2sin18∘.三倍角公式是把形如sin3α，cos3α等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，
广泛应用于数学、物理、天文等学科．
(1)已知cos3α=4cos3α−3cosα试证明此三倍角公式;
cos3α 1 sin3α
(2)若角α满足 =− ，求 的值(已知sin3α=3sinα−4sin3α);
cosα 2 sinα
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值2sin18∘．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
π π
(1)设g(x)=f(x)−f(x+ )，f(x)为偶函数，若存在x∈[0, ]，使不等式g(x)+m<2成立，求实数
3 2
m的取值范围;
π π π
(2)已知函数f(x)的图象过点(
6
,1)，设 ℎ(x)=cos2x+2asinx，若对任意的x
1
∈[−
2
,
2
]，总存在
π
x ∈[0, ]，使ℎ(x )0，
2 |ω|
π
所以ω=2，故f(x)=4sin(2x+ );
6
π π 1
由f(x)=4sin(2x+ )>2，即sin(2x+ )> ，
6 6 2
π π 5π
整理得 +2kπ<2x+ < +2kπ，k∈Z，
6 6 6
π
解得kπ− ，所以m的取值范围为(−∞, );
2 2
π π π
(2)因为f(x)过点( ,1)，所以1=sin( +φ)(0<φ<π)，φ= ，
6 3 6
π
所以f(x)=sin(2x+ )，
6
π π π 7π
又因为x ∈[0, ]，所以2x + ∈[ , ]，
2 2 2 6 6 6
π 1
所以f(x )=sin(2x + )∈[− ,1]，
2 2 6 2
π π π
又因为对任意的x ∈[− , ]，存在x ∈[0, ]，都有ℎ(x )−2，此时−2
