2024-2025 学年湖北省鄂北六校高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2025π 1
1.已知cos( +α)=− ，那么sinα=( )
2 4
1 1 √15 √15
A. − B. C. − D.
4 4 4 4
2.己知向量 ⃗a=(2,2) ，则与向量⃗方向相反的单位向量是( )
a
√2 √2 √2 √2
A. (1,0) B. (1,1) C. ( , ) D. (− ,− )
2 2 2 2
3.已知向量 ， ，则下列结论正确的是( )
⃗a=(1,2) ⃗b=(1,−2)
A. ⃗a//⃗b B. ⃗a⋅⃗b=2
C.
(
⃗
a+
⃗
b)⊥(
⃗
a−
⃗
b)
D. |⃗a|=5
4.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东30∘，行驶x小时后，船到达C处
看到灯塔在南偏西60∘，此时测得船与灯塔的距离为30√3km，则x=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4 π
5.若sin(α−β)sinβ−cos(α−β)cosβ= ，且α为第三象限角，则tan( +α)=( )
5 4
1 1
A. 7 B. −7 C. D. −
7 7
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1 1π
6.已知函数f(x)=Asin(ω⋅x+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示，下列说法不正确的是
2
( )
π 5π
A. ω=2，φ= B. 函数f(x)的图象关于直线x= 对称
3 12
2π 5π π
C. 函数f(x)的图象关于(− ,0)对称 D. 函数f(x)在[− , ]上单调递增
3 12 12
7.定义两个向量⃗， 之间的一种运算：⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，其中 是向量⃗， 的夹角，则对于非零向
a
⃗b
a∗b=|a|⋅|b|sinθ
θ
a
⃗b
量⃗， ⃗b ，下列结论不一定成立的是( )
a
A. 该运算满足交换律，即⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a∗b=b∗a
B. 若向量⃗， 共线，则⃗ ⃗
a
⃗b
a∗b=0
C. ⃗ ⃗的值等于以⃗， 为邻边的平行四边形的面积
⃗b
a∗b a
D. 对任意向量 ，有 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗c (a+b)∗c=a∗c+b∗c
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2 1π
8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2cos(3x− )的交点个数为( )
6
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 函数y=tanx的对称中心是(kπ,0)，k∈Z
B. 在△ABC中，A>B⇔sin A>sinB
C. ⃗a=(−1,2) ， ⃗b=(0,1) ，则⃗
a
在 ⃗b 上的投影向量等于
2
⃗
b
D. 两个非零向量⃗， 的夹角是锐角 ⃗ ⃗
a
⃗b
⇔a⋅b>0
10.计算下列各式的值，结果为2的有( )
1
A. tan75°+tan120° B.
sin15∘cos15°
1 √3
C. (1+tan20°)⋅(1+tan25∘) D. −
cos80∘ sin80∘
11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形
的边按逆时针方向运动一周回到A点，若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则( )
A. 当点P在线段AB上移动时，λ+μ∈[0,1]
B. 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C. 满足λ+μ=2的点P有两个
D. λ+μ最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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3 112.已知扇形的周长为9cm，圆心角为1rad，则该扇形的面积为 cm2．
13.在△ABC中，a2−b2=bc，sinC=2sinB，则角B为 ．
π
14.把函数f(x)=√3sinωx+cosωx(0<ω<2π)的图象向左平移 个单位长度，得到的函数是奇函数，则
6
ω的值为 ，若函数f(x)在区间[0,a]上存在最大值2，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量⃗
a
，
⃗b
满足：|⃗a|=2 ，
|⃗b|=3
，
(2
⃗
a−
⃗
b)⋅(
⃗
a+2
⃗
b)=2
．
求⃗与 的夹角 的余弦值
(1) ⃗b θ ;
a
若 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，求实数 的值．
(2) (λa+2b)⊥(a−λb) λ
16.(本小题15分)
π π
已知函数f(x)=4sin(ωx+ )(ω>0)的图象相邻两个零点之间的距离为 ，
6 2
(1)求函数f(x)的解析式及f(x)>2的解集;
在 中， 为 的一个内角，若满足 ， ，且 ，求 周长．
(2) △ABC A △ABC f(A)=−4 BC=3 S =√3 △ABC
△ABC
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，M是BC的中点，N是AC上的点，且
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AN=x AC
，AM，BN相交于点P.设⃗AB=⃗a，
AC=b:
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4 11
(1)若x= ，试用向量 ⃗ ，⃗b表示⃗AM，⃗MN;
a
3
(2)若AM⊥PN，求△ABN的面积．
18.(本小题17分)
中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数
值也可以表示为2sin18∘.三倍角公式是把形如sin3α，cos3α等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，
广泛应用于数学、物理、天文等学科．
(1)已知cos3α=4cos3α−3cosα试证明此三倍角公式;
cos3α 1 sin3α
(2)若角α满足 =− ，求 的值(已知sin3α=3sinα−4sin3α);
cosα 2 sinα
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值2sin18∘．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
π π
(1)设g(x)=f(x)−f(x+ )，f(x)为偶函数，若存在x∈[0, ]，使不等式g(x)+m<2成立，求实数
3 2
m的取值范围;
π π π
(2)已知函数f(x)的图象过点(
6
,1)，设 ℎ(x)=cos2x+2asinx，若对任意的x
1
∈[−
2
,
2
]，总存在
π
x ∈[0, ]，使ℎ(x )<f(x )+3成立，求实数a的取值范围．
2 2 1 2
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5 1参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BC
10.AC
11.ACD
9
12.
2
π
13.
6
π
14.5；[ ,+∞)
15
15.解： 因为 ， ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
(1) |⃗a|=2 |⃗b|=3
(2a−b)⋅(a+2b)=2
由题意得 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
2a2+3a⋅b−2b2=2
即 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
8+3a⋅b−18=2 ∴a⋅b=4
⃗ ⃗
a⋅b 4 2
∴cosθ= = = ．
⃗ ⃗ 2×3 3
|a||b|
由 知⃗ ，
(2) (1)
a⋅b=4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
∵(λa+2b)⊥(a−λb) λa2+(2−λ2 )a⋅b−2λb2=0
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6 1即2λ2+7λ−4=0，
1
∴λ= 或λ=−4．
2
π 2π
16.解：(1)由题意知周期T=2× =π，则 =π，且ω>0，
2 |ω|
π
所以ω=2，故f(x)=4sin(2x+ );
6
π π 1
由f(x)=4sin(2x+ )>2，即sin(2x+ )> ，
6 6 2
π π 5π
整理得 +2kπ<2x+ < +2kπ，k∈Z，
6 6 6
π
解得kπ<x< +kπ，k∈Z，
3
π
∴x∈(kπ, +kπ)，k∈Z.
3
π π
(2)∵f(A)=4sin(2A+ )=−4，∴sin(2A+ )=−1．
6 6
π π π π 3 2
∵0<A<π，∴ <2A+ <2π+ ，∴2A+ = π，∴A= π．
6 6 6 6 2 3
设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
2
又a=BC=3，有32=b2+c2−2bccos π，即9=b2+c2+bc，
3
整理 ，
9=(b+c) 2−bc
1 √3
又∵S = bcsin A= bc=√3，∴bc=4，
△ABC 2 4
∴b+c=√13，所以△ABC的周长为3+√13．
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7 1⃗ 1 ⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗
17.解：(1)AM= (AB+AC)= a+ b，
2 2 2
1
∵x= ，
3
⃗ 1 ⃗ 1⃗
∴AN= AC= b；
3 3
⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
MN=MA+AN=− a− b+ b=− a− b
2 2 3 2 6
⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗
所以AM= a+ b，MN=− a− b，
2 2 2 6
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，
(2)BN=BA+AN=−AB+x AC=−a+xb
因为 ，由于 ⃗ ， 共线，
AM⊥PN ⃗PN
BN
故 ⃗ ⃗ ，
AM⊥BN
⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ 1 1
所以AM⋅BN=( a+ b)⋅(−a+xb)=−2+8x+4( x− )=0，
2 2 2 2
2
解x= ．
5
8
∴AN=
5
1 1 8 √3 4√3
∴S = AB⋅ANsin60∘= ×2× × = ．
ΔABN 2 2 5 2 5
18.解：(1)cos3α=cos(2α+α)
=cos2αcosα−sin2αsinα
=(2cos2α−1)cosα−2sin2αcosα
=(2cos2α−1)cosα−2(1−cos2α)cosα
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8 1=4cos3α−3cosα．
cos3α 4cos3α−3cosα 1
(2)由(1)及已知得： = =4cos2α−3=− ，
cosα cosα 2
5
解得cos2α= ，
8
sin3α=3sinα−4sin3α，
sin3α 3sinα−4sin3α
∴ = =3−4sin2α，
sinα sinα
5 3
由cos2α= 得sin2α= ，
8 8
sin3α 3 3
∴ =3−4× = ．
sinα 8 2
(3)∵cos54°=sin36°，即cos(3×18°)=sin(2×18°)，
∴4cos318°−3cos18°=2sin18°cos18°，
两边除去 得： ，即 ，
cos18° 4cos218°−3=2sin18° 4(1−sin218°)−3=2sin18°
√5−1
化简得：4sin218°+2sin18°−1=0，解得sin18°= (负舍)，
4
√5−1
由题意知黄金分割值为2sin18°= ．
2
π
19.解：(1)因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)为偶函数，所以φ=kπ+ ，k∈Z，
2
π
∵0<φ<π，∴φ= ，所以f(x)=cos2x，
2
所以
π π 1 √3 3 √3 π
g(x)=f(x)−f(x+ )=cos2x−cos2(x+ )=cos2x−(− cos2x− sin2x)= cos2x+ sin2x=√3sin(2x+ )
3 3 2 2 2 2 3
π
又存在x∈[0, ]使g(x)+m<2上成立，g(x) <2−m，
2 min
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9 1π π π 4π π 3
因为x∈[0, ]，所以2x+ ∈[ , ]，所以g(x)=√3sin(2x+ )∈[− ,√3]，
2 3 3 3 3 2
3 7
则2−m>− ，所以m的取值范围为(−∞, );
2 2
π π π
(2)因为f(x)过点( ,1)，所以1=sin( +φ)(0<φ<π)，φ= ，
6 3 6
π
所以f(x)=sin(2x+ )，
6
π π π 7π
又因为x ∈[0, ]，所以2x + ∈[ , ]，
2 2 2 6 6 6
π 1
所以f(x )=sin(2x + )∈[− ,1]，
2 2 6 2
π π π
又因为对任意的x ∈[− , ]，存在x ∈[0, ]，都有ℎ(x )<f(x )+3成立，
1 2 2 2 2 1 2
所以ℎ(x ) <f(x ) +3，ℎ(x ) <1+3=4．
1 max 2 max 1 max
，
ℎ(x )=cos2x +2asinx =1−sin2x +2asinx =a2+1−(sinx −a) 2
1 1 1 1 1 1
π π
因为x ∈[− , ]，所以sinx ∈[−1,1]，设t=sinx ∈[−1,1]，
1 2 2 1 1
则有 ， ，
g(t)=a2+1−(t−a) 2 t∈[−1,1]
当a≥1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递增，所以g(t) =g(1)=2a，
max
所以2a<4，解得a<2，所以1≤a<2;
当a≤−1时，g(t)在t∈[−1,1]上单调递减，g(t) =g(−1)=−2a，
max
所以−2a<4，解得a>−2，此时−2<a≤−1;
当−1<a<1时，g(t)在[−1,a]上单调递增，
在 上单调递减， ，
[a,1] g(t) =g(a)=a2+1
max
所以a2+1<4，解得−√3<a<√3，此时−1<a<1．
综上所述：−2<a<2，即实数a的取值范围为(−2,2)．
第 页，共 页
10 1
