文档内容
永州市 2024 年上期高一期末质量监测试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与
B的关系为（ ）
A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等
3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生
的
400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样 方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，
其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（ ）
A. 250 B. 220 C. 30 D. 20
4. 在 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6. 若数据 的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ）
A. 数据 的平均数为13
第1页/共8页
学科网（北京）股份有限公司B. 数据 的方差为12
C.
D.
7. 已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内
点 ，点 ，把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 ，则点 的坐标为（
）
A. B. C. D.
8. 已知正方体 的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线 与平面ABCD所成角
为 ， 为正方形 的中心，点 为线段 上一动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 已知复数 ， ，则下列说法正确 是（ ）
A. B. 存在实数 ，使得 为实数
C. 若 为纯虚数，则 D.
10. 如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形 是边长为
2的正方形，则（ ）
第2页/共8页
学科网（北京）股份有限公司A. 异面直线 与 所成角的大小为
B. 二面角 的平面角的余弦值为
C. 平面 平面
D. 此八面体的外接球表面积为
11. 已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 为 的垂心，且 ，则
B. 若 ，则 的面积与 的面积之比为
C. 若 ，则动点 的轨迹经过 的外心
D. 若E，F，G分别为 ， ， 的中点，且 ， ，则 的最大值
为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件 与事件 发生的概率分别为 ， ，且 ，则
______.
13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为 ，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的 倍，则
第3页/共8页
学科网（北京）股份有限公司该圆台的体积为______.
14. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
的
15. 某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生 成
绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；
（2）估计该市高一年级学生成绩的 分位数.
16. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值.
17. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且各局比赛的胜负
互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三
胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰
子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更
大，并说明理由；
（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ，且 ，
第4页/共8页
学科网（北京）股份有限公司， ，点E，F分别为棱 ， 的中点.
（1）若平面 平面 ，
①求证： ；
②求三棱锥 的体积；
（2）若 ，请作出四棱锥 过点 ， ， 三点的截面，并求出截面的周长.
19. 当 的三个内角均小于 时，使得 的点 为 的
“费马点”；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为 的“费马点”.已知在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是 的“费马点”.
（1）若 ， ， .
①求 ；
②设 的周长为 ，求 的值；
（2）若 ， ，求实数 的最小值.
第5页/共8页
学科网（北京）股份有限公司永州市 2024 年上期高一期末质量监测试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
第6页/共8页
学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】0.7##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1） ；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）①证明见解析.②
（2）
第7页/共8页
学科网（北京）股份有限公司【19题答案】
【答案】（1）① ；②
（2）
第8页/共8页
学科网（北京）股份有限公司
