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第五章 一元函数的导数及其应用 单元过关检测
能力提升B 卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1．如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1，高为2，3的两矩形构成，设函数
S是图中阴影部分介于平行线 和 之间的那一部分的面积，那么函数
的图象大致为( )
A． B． C． D．
2．函数 在定义域 内可导，其图像如图所示．记 的导函数为
，则不等式 的解集为( )A． B．
C． D．
3．曲线 上的点到直线 的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 与函数 的图象存在公切线，则正实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
6．已知函数 .过点 引曲线 的两条切线，这两条切线与y
轴分别交于A，B两点，若 ，则 的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则
（ ）
A． B． C． D．8．已知函数 .则下列结论中错误的是（ ）
A． 的极值点不止一个 B． 的最小值为
C． 的图象关于 轴对称 D． 在 上单调递减
二、多选题
9．已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，给出如下四个结论，其中正确的
是（ ）
A．若 ，且 ，则 的解集为
B．若 ，且 ，则函数 有极小值0
C．若 ，且 ，则不等式 的解集为
D．若 ，则
10．若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函数 在 上有下界，其中 为函数
的一个下界；若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函数 在 上有上
界，其中 为函数 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说
法正确的是（ ）
A．2是函数 的一个下界B．函数 有下界，无上界C．函数 有上界，无下界 D．函数 有界
11．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心，设函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．函数 对称中心
B． 的值是99
C．函数 对称中心
D． 的值是1
12．如图，在四面体 中，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，且平面
平面 ， 为 内一点，记三棱锥 的体积为 ，设 ，对于函数
，则下列结论正确的是（ ）A．当 时，函数 取到最大值
B．函数 在 上是减函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D．不存在 ，使得 (其中 为四面体 的体积).
三、填空题
13．设 为可导函数，且满足 ，则曲线 在点 处的
切线的斜率是______.
14．在 中， 分别为角 的对边，若函数
有极值点，则 的范围是__________．
15．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中
阴影部分），圆的半径为1米， ， 是圆的直径， ， 在弦 上， ， 在弦 上，圆心 是矩形 的中心.若 米， ， ，则“杠铃形图案”面积
的最小值为______平方米.
16．若函数 ，对于任意的 ， （其中 ）不等式
恒成立，则 的取值范围为________．
四、解答题
17．已知二次函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性
18．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对于任意的 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围．
19．如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点 为圆心，
为半径做圆弧 ，将 作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自 点起，
改为直道 .已知 千米，点A到OM，ON的距离分别为 千米和1千米，
，且 千米，记 .
（1）求 的取值范围；
（2）已知弧形线路 的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正
比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？
20．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心.设函数 .
（1）当 时，求 的值；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知函数
（1）若 存在极值点1，求 的值；
（2）若 存在两个不同的零点 ，求证：
22．已知 ，函数 ，
（1）求 的最小值；
（2）若 在 上为单调增函数，求实数 的取值范围；
（3）证明： （ ）
