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2024 届高三第四次六校联考试题
数学
命题人：惠州一中数学备课组 审题人：惠州一中数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 展开式中第 项的系数是
A. B. C. D.
2.在等差数列 中，若 ， ，则公差
A. B. C. D.
3.已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
4.在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．已知三棱椎 ， 是以 为斜边的直角三角形， 为边长是
的等边三角形，
且平面 平面 ，则三棱椎 外接球的表面积为
A． B． C． D．
6．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和
度低于 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描
述血氧饱和度 随给氧时间 （单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度， 为参数．
已知 ，给氧1小时后，血氧饱和度为 ．若使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要给
氧时间（单位：时）为 （参考数据： ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 分别
在第一、二象限交于 两点， 内切圆的半径为 ，若 ， ，则双曲线
的离心率为
A． B． C． D．
8．函数 在开区间 的零点个数为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给定数集 ， ， 满足方程 ，下列对应关系 为函数的是
A. , B. ,
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学科网（北京）股份有限公司C. , D. ,
10．已知 为复数，设 ， ， 在复平面上对应的点分别为 ， ， ，其中 为坐标原点，则
A. B. C. D.
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数 有两个不相等的实根
，其中 ．在函数 图像上横坐标为 的点处作曲线 的切线，切线与 轴交点
的横坐标为 ；用 代替 ，重复以上的过程得到 ；一直下去，得到数列 ．记
，且 ， ，下列说法正确的是
A． （其中 ） B．数列 是递减数列
C． D．数列 的前 项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位数比乙组的中位数
小1，则不同的平分方法共有_________种．
13．已知圆 ，圆 ，直线 上存在点 ，过点
向
圆 引两条切线 和 ，切点是 和 ，再过点 向圆 引两条切线 和 ，切点是 和
，
若 ，则实数 的取值范围为_________．
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外
接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该
三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交
点）．如图，已知锐角 外接圆的半径为 ，且三条圆弧沿
三边翻折后交于点 若 ，则 _________；
若 ，则 的值为_________．
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为坐标原点 ，从 ， 上分
别取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求 和 的标准方程；
（2）若 和 交于不同的两点 ，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为直角梯形， ，
．
（1）求证：平面PAD 平面ABCD；
（2）点 为棱 的中点，求
17．（本小题满分15分）
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、
乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单
位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为 和 ，假设每次操作能否成功相互独
立．
（1）随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率．
（2）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使
用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均
使用初次所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．
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学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）
已知函数 ， ．
（1）求证：当 ， ；
（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，那么
称集合 具有性质 .
已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同
的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
（1）试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由.
（2）若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”.
（3）证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
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