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高一第二学期期末数学试卷
一､选择题
1. 已知点 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标表示，求出 即可.
【详解】点 ， ，
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
2. 在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部
的符号，即可得到答案．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选A
点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为
a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．
3. 某工厂有男员工56人，女员工42人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量为28的样本进行
工作效率调查，其中男员工应抽的人数为（ ）
A. 16 B. 14 C. 28 D. 12
【答案】A【解析】
【分析】
用样本容量乘以男员工所占的比例，即为所求.
【详解】男员工所占的比例为 ，
故男员工应抽的人数为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查分层抽样，重点考查理解，计算能力，属于基础题型.
4. 在下列各组向量中，可以作为基底 的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的 、 是否共线，即可得出结果.
【详解】选项A：因为 ，所以 、 共线，不能作为基底；
选项B：因为 ，所以 、 共线，不能作为基底；
选项C：因为 ，所以 、 共线，不能作为基底；
选项D：因为 ，所以 、 不共线，可以作为基底，
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.
5. 在空间中，下列结论正确的是（ ）
A. 三角形确定一个平面 B. 四边形确定一个平面
C. 一个点和一条直线确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面
【答案】A
【解析】
【分析】
根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.
【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；
当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；
当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；
当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.
6. 新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两组
学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数
B. 甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数
C. 甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数
D. 甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差
【答案】D【解析】
【分析】
通过观察茎叶图根据平均数的运算公式和中位数的定义，可确定选项A，B，C错误，根据方差的运算公式，
代入数值解得甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差，即选项D正确.
【详解】由茎叶图可知，
甲组学生得分的平均数 ，等于乙组选手的平均数 ，选项A错误；
甲组学生得分的中位数83小于乙组选手的中位数84，选项B错误；
甲组学生得分的中位数83不等于乙组选手的平均数84，选项C错误；
甲组学生得分的方差 大于乙组选手的的方差 ，选项
D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查茎叶图，会从茎叶图中找出中位数、众数等，会计算平均数. 茎叶图在给出数据分
布情况的同时，又能给出每一个原始数据，保留了原始数据的信息，茎叶图适用于小批量数据.
7. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，当 时，实数 为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出 的值.
【详解】向量 与 的夹角为 ， ， ，
由 知， ，
，
，
解得 .故选：C.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.
8. 上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，
…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）
A. 13时~14时 B. 16时~17时 C. 18时~19时 D. 19时~20时
【答案】B
【解析】
【分析】
要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可
【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快
的为16到17点之间
故选：B.
【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.
9. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理和题设中 ， 和A的值，进而求得 的值，则C可求.
【详解】由正弦定理 ，即 ，∴ .
.
∴ ( 时，三角形内角和大于 ，不合题意舍去)
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.
10. 点 ， 分别是棱长为2的正方体 中棱 ， 的中点，动点 在正方形
(包括边界)内运动.若 面 ，则 的长度范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取 ， 中点 ， ，得平面 ∥平面 .进而得到点 的轨迹为线段 ，
又因为 为等腰三角形，进而便可得出答案.
【详解】取 ， 中点 ， ， 连接 、 .
则 ∥ . ∥ .又因为 .所以平面 ∥平面 .
又因为动点 在正方形 (包括边界)内运动，
所以点 的轨迹为线段 .
又因为正方体 的棱长为2，
所以 ， .
所以 为等腰三角形.
故当点 在点 或者 在点 处时，此时 最大，最大值为 .
当点 为 中点时， 最小，最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，
解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点 的位置.
二､填空题
11. 已知复数 ，则复数 ______.
【答案】
【解析】
【分析】把已知等式变形 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题型.
12. 已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
13. 如图，在 中， .若 ，则 的值为______，P是 上的一点，若
，则m的值为______.【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.【详解】
如图：在 中， .
所以： ，故 .
.
由于点B､P､N三点共线
所以 ，
则： ，
整理得： ，
故： .
所以 ，解得 .故 .
故答案为：① ；② .
【点睛】本题考查向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件，属于基础题.
14. 将底面直径为8，高为 的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱 的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱
侧面积的最大值.
【详解】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；
设圆柱的高为h，底面半径为r，
则 ，解得 ；
所以 ；
当 时， 取得最大值为
故答案为： .
【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.15. 如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，
下面叙述正确的是______.
①2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；
②第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小；
③第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小；
④空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､4月.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度､升降趋势，逐一验证即可.【详解】根据折现统计图可得，2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高，故①正确；
第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小，故②正确；
第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小，故③正确；
空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､9月，故④错误，
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查条形统计图和折线图的应用，重点考查数据分析，从表中准确获取信息是关键，属于中
档题型.
三､解答题
16. 已知复数 (i为虚数单位).
（1）求复数z的模 ；
（2）求复数z的共轭复数；
（3）若z是关于x的方程 一个虚根，求实数m的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）直接根据模长的定义求解即可；
（2）实部相等，虚部相反即可；
（3）推导出 ，由此能求出实数m的值.
【详解】（1）因为复数 ；
故 ；
（2） ；
（3）∵z是关于x的方程 一个虚根，
故 ；
因为m为实数，所以 .
【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．
17. 已知向量 与 ， ， .
（1）求 ；
（2）设 ， 的夹角为 ，求 的值；
（3）若向量 与 互相平行，求k的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；
（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；
（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因 为， ，
所以 ；
（2） ，
（3） ， ，
由题意可得， ，
整理可得， ，
解可得， .
【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，F为对角线AC与BD的
交点，E为棱PD的中点．（1）证明： 平面PBC；
（2）证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）证明 即可；
（2）通过证明 和 证明 平面 ，即可证明 .
【详解】（1） 底面 为正方形，F为对角线AC与BD的交点，
为 中点，
E为棱PD的中点，
，
平面PBC， 平面PBC，
平面PBC；
（2） 平面 ， 平面 ，
，
底面 为正方形， ，
,
平面 ，
平面 ， .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题.
19. 在 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接利用正弦定理求出结果.
（2）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果.
【详解】（1） 中， ， ， .
所以： ，
利用正弦定理得： ，
解得： ，
由于 ，
所以： ，
利用三角形内角和，
所以： ；
（2）利用余弦定理： ，解得： .
所以： .
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查计算能力，属于基础题型.
20. 为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百
分制，均为正数）分成 六组后，得到部分频率分布
直方图（如图），观察图形，回答下列问题：
（1）求分数在 内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；
（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？
【答案】（1）详见解析（2）众数为：75和85，均值为： （3）88分
【解析】
【分析】
⑴由频率分布直方图即可计算出分数在 内的频率
⑵由频率分布直方图得到本次考试成绩的众数，然后计算平均值
⑶结合题意计算出排名靠前10%的分数
【详解】（1）设分数在 内的频率为 ，根据频率分布直方图，则有，可得 ，
分数在 内的频率为0.25.
所以频率分布直方图为：
（2）由图知，众数为：75和85
均值为： .
（3）因为分数在 内的频率为0.25， 内的频率为0.05，
而
所以得分前10%的分界点应在80至90之间.
设所求的分界点为 ，
则 ，解得 .
所以得分前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需要88分.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的实际运用，在解题过程中一定要会分析频率分布直方图，并能正确
计算出结果，较为基础．
21. 如图1，在等腰梯形 中， ， ， ， ，E､F分别为腰 ､ 的
中点.将四边形 沿 折起，使平面 平面 ，如图2，H，M别线段 ､ 的中
点.（1）求证： 平面 ；
（2）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 垂直，并给出证明：
（3）若N为线段 中点，在直线 上是否存在点Q，使得 面 ？如果存在，求出线段
的长度，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ，E这两个点，使得这两点所在直线与平面 垂直，证明见解
析；（3）存在， .
【解析】
【分析】
（1）由已知可证 ，利用面面垂直的性质即可证明 平面 ．
（2）连结 ， ，通过证明四边形 是菱形，可证 ，又 ，可得 ，
这两点所在直线与平面 垂直．
（3）假设在直线 上存在点 ，使得 面 ．在线段 上取点 ，使得 ，连结线
段 ，交 于点 ，利用面面平行的性质可得 平面 ，即可求解．
【详解】解：（1）证明： 四边形 是等腰梯形，点 为 的中点，点 为 的中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ．
（2）解：在图2中， ， 这两个点，使得这两点所在直线与平面 垂直．
证明：连结 ， ，
平面 ， ，
， 且 ， 四边形 是菱形， ，
， 平面 , 平面
平面
， 这两点所在直线与平面 垂直．
（3）解： 为线段 中点，假设在直线 上存在点 ，使得 面 ．
在线段 上取点 ，使得 ，
再平面图形中连结线段 ，交 于点 （图（1）），则 ，
由题意可得平面 平面 ， 平面 ，
因为
就是所求的点 ， ．【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，面面平行的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于
中档题．
