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决胜 2024 年高考数学押题预测卷 03
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
4．已知样本数据 的平均数为 ，则数据 （ ）
A. 与原数据的极差不同 B. 与原数据的中位数相同
C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同
5．在梯形 中， ，以下底 所在直线为
轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱
中，以 ， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中
取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ， 互斥 B. C. D.
7．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
8．双曲线C： 的左、右焦点分别是 ， ，离心率为 ，点 是C的
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右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是M， ，若C上一点T满
足 ，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 是关于x的方程 的两根，则（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
10．如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的三个交点，且
，则（ ）
A.
B.
C. 函数 在 上单调递增
D. 若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
11．如图，正方体 的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面 内（含边
界）一点，则（ ）
A. 若 平面 ，则点P与点B重合
B. 以D为球心， 为半径的球面与截面 的交线的长度为
C. 若P为棱BC中点，则平面 截正方体所得截面的面积为
D. 若P到直线 的距离与到平面 的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
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12． 的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．
13.在 中， ， ，则 __________； __________．
14.已知点A为抛物线 上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF
的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形 为菱形，若点P、Q分
别在边 DA、EA上， ， ，若 则 的最小值为______，
的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设 ，曲线 在点 处取得极值.
求a；
求函数 的单调区间和极值.
16．如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，平面 底面
.
（1）求证： ；
（2）若 ，且四棱锥 的体积为2，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子
里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放
入3号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
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（1）当 时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当 时，求3号盒子里的红球的个数 的分布列；
（3）记n号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ．
18．已知 为曲线 上任意一点，直线 与圆 相切，且分别与
交于 两点， 为坐标原点.
（1）若 为定值，求 的值，并说明理由；
（2）若 ，求 面积的取值范围.
19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光
滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段 运动到B点时，A点的
切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜
角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯
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曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就
越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲
线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆 在 处的曲率；
（3）定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在
两点 和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
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