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高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1. 已知向量 ， ，若 ，那么m的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由两个向量垂直得数量积等于零，列方程可求出m的值
【详解】向量 ， ，
若 ，则 ，
即 ，
解得 .
故选：C.
【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用和角的正弦公式化简求值得解.
【详解】由题得 .
故选：
【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 已知圆柱的底面半径和高都是 ，那么圆柱的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.
【详解】因为圆柱的底面半径和高都是 ，
所以圆柱的侧面积 ，
故选：B.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为 ，高为 ，则侧面积 ，考查计算
能力，是简单题.
4. 给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；
③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是
（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】
通过举例的方式逐一验证各选项的对错.
【详解】①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，也可能平行，比如正方体的下底面和左右侧面互相垂直，
但是左右侧面互相平行，故错误；
②平行于同一平面的两个平面互相平行，比如用平行于正方体上下底面的平面截正方体，所得截面和上下
底面互相平行，故正确；
③垂直于同一直线的两个平面互相平行，比如正方体的一条侧棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，
故错误；
④平行于同一直线的两个平面可能相交，比如正方体的下底面的一条棱平行于侧面和上底面，而侧面和上
底面相交，故错误.
故选：B.
【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系的判断，常用的方法是采用作图或举例子的方式去判断对应
命题的真假，主要是考查学生的空间想象能力，难度一般.5. 化简向量 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的加减法法则求解即可
【详解】 .
故选：A.
【点睛】此题考查向量的加减法法则的应用，属于基础题
6. 关于函数 ，下列命题正确的是（ ）
A. 存在 ，使 是偶函数 B. 对任意的 ， 都是非奇非偶函数
C. 存在 ，使 既是奇函数，又是偶函数 D. 对任意的 ， 都不是奇函数
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象性质结合诱导公式，对每一选项进行逐一判断即可.
【详解】对于A，当 ， 时，函数 是偶函数，所以A正确；
对于B，当 ， 时，函数 是奇函数，所以B错误；
对于C，由选项A, B的分析，不存在 ，使函数 既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；
对于D， ， 时，函数 是奇函数，所以D错误.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性的分析，属于基础题.
7. 已知非零向量 、 满足 ，且 ，那么 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后根据 得出 ，即可求出 的值.
【详解】因为非零向量 、 满足 ，且 .
所以 ， ， ，
故选：C.
【点睛】本题考查向量的运算，考查向量的模的相关性质，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.
8. 已知函数 ，如果存在实数 ， ，使得对任意 的实数x，都有
，那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意分析可知 为 的最小值， 为 的最大值，故 最小时为半个周期.
【详解】 的周期 ，
由题意可知 为 的最小值， 为 的最大值，的最小值为 .
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线
上）
9. 等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接逆用余弦的二倍角公式求解即可
【详解】 ，
故答案为： .
【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题
10. 已知 ，且 ，那么 等于________； 等于________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
给 等 式 两 边 平 方 ， 再 利 用 正 弦 的 二 倍 角 公 式 可 求 出 ， 而
，从而可求出 的值
【详解】 ，且 ， ， .把所给的等式平方可得 ， .
再根据 .
求得 ，或 （舍去），
故答案为： ； .
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查二倍角公式的应用，考查转化思想，属于基础题
11. 在 中， ，且 ,则边AB的长为 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为 ，所以
考点：向量数量积
12. 在 中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知 ， ， ，那么b等于
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角形面积公式求出边 ，再由余弦定理计算可得；
【详解】解： ， ， ，
，
由余弦定理可得 .
故答案为： .【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.
13. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果 ， ， ，那么 的
最大内角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由边的大小关系可知 是最大角，然后利用余弦定理求解.
【详解】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果 ， ， ，则 是最大角，
则 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.
14. 已知 ， ， ， ，如果P点是 所在平面内一点，且
，那么 的值等于________.
【答案】13
【解析】
【分析】
由条件可得 ， ，可得 ，由 ，
可得出答案.
【详解】 ， ， ， ，， ，
，
， ，
又 ，
.
故答案为：13.
【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量 ， .
（1）若 ， 共线，求x的值；
（2）若 ，求x的值；
（3）当 时，求 与 夹角 的余弦值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示即可求解；
（2）分别求出 和 的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解；
（3）利用向量夹角的公式即可求解.
【详解】（1） ， 共线，
，解得 ；（2） ，且 ，
，解得 ；
（3）当 时， ，
， ， ，
.
【点睛】本题主要考查了向量共线、向量垂直。以及向量夹角的坐标表示，属于基础题.
16. 如图，在三棱锥 中， ，D、E分别是AB、AC的中点，且 平面ABC.
（1）求证： 平面PDE；
（2）求证： 平面PDE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用线面平行的判定定理证明；
(2)由线面垂直得出 ，由 分别为 的中点以及 得出 ，然后由
线面垂直的判定定理证明即可得出结论.
【详解】(1)由 分别为 的中点，可得 ，由 面PDE， 面PDE，可得平面PDE；
(2)由 平面ABC， 平面ABC，可得 ，由(1)知 ，且由题意 可得
，所以由 ，且 平面PDE，可得 平面PDE.
【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，属于一般难度的题.
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；（2）最大值为2，最小值为 ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；
（2）由 得 ，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；
（3）由函数 在 上单调递增， ，在 上单调递减， ，从
而可求出实数k的取值范围.
【详解】（1）由 ，
得 的最小正周期为 .（2）因为 ，
所以 ，
所以 .
.
从而
所以，当 ，即 时， 的最大值为2；
当 ，即 时， 的最小值为 .
（3）由 ，得 ，而函数 在 上单调递增，
，在 上单调递减， ，
所以若函数 在 上有两个不同的零点，则 .
【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题
18. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ， .
（1）求边c的值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
【分析】
（1）运用正弦定理，角化为边，即可得到所求值；（2）运用余弦定理求得 ，可得 ，再由面积公式即可得到所求值．
【详解】（1） ，
由正弦定理可得， ；
（2） ，
代入 ， ，
解出 ，
，
．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
19. 已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 且 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据角的范围，利用平方关系求出 ，再利用商的关系求 的值；（2）直接利用两角和的正切公式求 的值；
（3）求出 ，由 ，利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）因为 ， ，
故 ，所以 .
（2） .
（3）因为 ， ，所以 .
又因为 ，所以 .
.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角
函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，
先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
20. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ， 平面ABCD，
， ， .（1）求证：直线 平面PNC；
（2）在AB上是否存在一点E，使 平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理
由；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）E是AB中点，证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1） 在PC上取一点F，使 ，连接MF，NF，证明 ， ，推出 ，即
可得证；
（2）E是AB中点，证明 ， ，利用线面垂直的判定定理即可证明 平面PDE；
（3）证明 为点 到平面 的距离，求出底面积，利用等体积法即可求解.【详解】（1）在PC上取一点F，使 ，连接MF，NF，因为 ， ，所以
， ， ， ，
可得 且 .
所以MFNA为平行四边形，
即 ，
又 平面 ，
.
所以直线 平面
（2）E是AB中点，证明如下：
因为E是AB中点，底面ABCD是菱形， ，所以 ，
因为 ，所以， 即 ，
又 平面ABCD，所以 ，
又 ，
所以直线 平面PDE
（3）直线 ，且由（2）可知，DE为点A到平面PDC的距离， ，
，
所以 .【点睛】本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.
