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第二学期期末考试试卷
高一数学
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的，把答案填在答题卡上.
1. 已知 的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦公式求得答案.
【详解】 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属于基础题.
2. 若 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由两角差的正切公式直接计算．
【详解】由 ，故选：A
【点睛】本题考查两角差的正切公式，直接利用公式计算即可，本题属于基础题．
3. 与角 终边相同的角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据终边相同角的概念，可写出与 终边相同角，调整参数即可求解答案.
【详解】与角 终边相同的角可写成
令 ，则
故选：C
【点睛】本题考查终边相同角的概念，属于基础题.
4. 已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算求解即可.
【详解】向量 ， ，，
故选：D
【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题.
5. 若角 终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角度终边上点的坐标，即可容易求得结果.
【详解】因为角 终边经过点 ，
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查由角度终边上的一点求三角函数值，属基础题.
6. 已知向量 ， ，且 ，则 的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 的坐标，然后根据 以及 ，简单计算，可得结果.
【详解】设
由 ，且 ，所以 ①
又 ，所以 ②由①②可知： 或
故向量 或
故选：B
【点睛】本题考查向量的坐标运算，重在计算，属基础题.
7. 棱长为3的正方体的8个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得正方体的对角线长为 ，根据球的直径等于长方体的对角线长，求得球的半径，结合体积公
式，即可求解.
【详解】由题意，棱长为3的正方体的对角线长为 ，
设外接球的半径为 ，
根据组合体的性质，可得 ，即 ，
所以球的体积为 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查球的体积的计算，以及组合体的性质，其中解答中熟记组合体的性质，求得球的半
径是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8. 非零向量 满足 且 与 夹角为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】
【分析】
由题意，若 ，根据向量的数量积和模的计算公式，可得 ，得到 ，；反之也可求
得 ，即可得到答案.
【详解】由题意，非零向量 满足 且 与 夹角为 ，
若 ，即 ，
解得 ，又因为 ，可得 ，即充分性是成立的；
若 ，由 ，可得 ，即必要
性是成立的，
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的
模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9. 若函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在区间 上
单调递增，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数 的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出 的最大值．【详解】解：把函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
若函数 在区间 ， 上单调递增，
在区间 ， 上， ， ，
则当 最大时， ，求得 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
10. 已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为 ，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为 ，再根据体积公式可得答案.
【详解】设正方体的棱长为 ，则圆柱的高为 ，设圆柱的底面半径为 ，
则正方体的侧面积为 ，圆柱的侧面积为 ，
所以 ，所以 ，
所以正方体和圆柱的体积之比为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.11. 一个圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，则圆锥底面半径为________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
作出圆锥的轴截面图，结合直角三角形边角关系，即可求解.
【详解】解：如图所示为圆锥的轴截面， ,
所以圆锥底面半径 ，故答案为:5.
【点睛】本题考查圆锥的结构特征，属于基础题.
12. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据平面向量的夹角公式计算可得.
【详解】因为单位向量 ， 的夹角为 ，
所以 ，
所以 ,
设 与 的夹角为 ，则 .
又 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.
13. 已知函数 的部分图象如图所示，则 的最小正周期为______.
【答案】
【解析】【分析】
观察图象，可列式 ，解得结果即可.
【详解】设 的最小正周期为 ，
由图可知， ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了由三角函数的图象求最小正周期，属于基础题.
14. 在△ 中，已知 ，则 的形状为______.
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】
设 ，则 ， ，由勾股定理可判断出三角形的形状.
【详解】解：设 ，则 ， ，因为 ，所以为直角三角形，
故答案为: 直角三角形.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.
15. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数：
① ；② ；③ .
其中，为“同形”函数的序号是_______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
将①③中的函数解析式化简，根据“同形”函数的定义可知，两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，
由此可得出结论.
【详解】根据“同形”函数的定义可知，若两个函数互为“同形”函数，则两个函数的振幅相等，最小正
周期也相等，对于①中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 ；
对于②中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 ；
对于③中的函数 ，该函数的振幅为 ，最小正周期为 .
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 的图象.
因此，为“同形”函数的序号是①③.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查“同形”函数概念的理解，考查三角函数图象的平移变换，属于基础题.
16. 如图，四面体 的一条棱长为 ，其余棱长均为 ，记四面体 的表面积为 ，则函数
的定义域为_______；最大值为_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设 ，取 的中点为 ，连接 ，则 ,且 ,在
中可得 ,取 的中点为 ，连接 ，则 , ,即得到函数的定义
域，由 ， ，表示出 ，求出其最大值即可.【详解】设 ，取 的中点为 ，连接 ，则 ,且 .
在中可得 .
取 的中点为 ，连接 ，则 ,
又 ，所以
则 ，则定义域为
由 ，则 (当且仅当 ，即 时等号成立)
.
所以当 时， 有最大值
故答案 为：8； .
【点睛】本题考查四面体的表面积的最大值问题，表示出表面积的表达式是关键，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数
（1）求函数 的定义域及最小正周期；
（2）求函数 的单调增区间.
【答案】（1）最小正周期为 ；定义域为 ；（2）单调递增区间是.
【解析】
【分析】
（1）将切化弦，并利用二倍角的正弦公式与余弦公式，可得 ，利用周期公式，
可得最小正周期，然后根据正切函数需满足的条件可得函数的定义域.
（2）根据（1）的结论，使用整体法， ，简单计算可得结果.
【详解】（1）因为
所以
所以
所以 的最小正周期为 .
要使 有意义，则 得，
所以 的定义域为
（2）令 得，
，
所以 .所以 单调递增区间是
【点睛】本题考查切弦转化以及辅助角公式，还考查了使用整体法求解正弦型函数的单调区间，掌握基础
的三角函数，熟练使用整体法，化繁为简，考验分析能力以及计算能力，属中档题.
18. 如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ．
（1）求 ；
（2）求线段 的长．
【答案】（1） ；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）直接根据余弦定理即可求出；
（2）根据同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出．
【详解】（1）根据余弦定理： ；
（2）因为 ，所以 ， ，
，
，
根据正弦定理得： ，
．【点睛】本题考查利用正余弦定理，同角的三角函数的关系，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数
学核心素养．属于中档题．
19. 已知函数 满足下列3个条件：
①函数 的周期为 ；② 是函数 的对称轴；③ .
（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数 的解析式；
（2）若 ，求函数 的最值.
【答案】（1）答案见解析， ；（2）最大值 ；最小值 .
【解析】
【分析】
(1)由①知 ，由②知 ，由③知 ，结合 即可求
出 的解析式.
(2)由 可得 ，进而可求出函数最值.
【详解】解：（1）选①②，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ；
选①③， ，由 得 ，
因为 ，所以 ，即 ；选②③， ，由 得 ，
因为 ，所以 ，即 .
（2）由题意得，因为 ，所以 .
所以当 即 时， 有最大值 ，
所以当 即 时， 有最小值 .
【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的值域，考查了三角函
数表达式的求解，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
20. 已知在 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 是钝角三角形，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
.
（1）利用正弦定理 ，简单计算可得结果
（2）利用余弦定理可得 或 ，然后根据 是钝角三角形以及余弦定理进行验证可确定 ，
最后使用三角形面积公式，可得结果.
【详解】（1）在 中,根据正弦定理得 ，则 ，
所以
（2）因为 ，
所以 .
解得 或 .
当 时，
所以 为钝角，所以△ 的面积
当 时， .
此时 为锐角，不满足题意
所以△ 的面积 .
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，重在熟悉公式，考验分析能力以及计算能
力，属基础题.
21. 对于集合 .
.集合 中的元素个数记为 .规定：若集合 满足 ，则
称集合 具有性质 .
（1）已知集合 ， ，写出 ，并求出此时 的值；
（2）已知 均有性质 ，且 ，求 的最小值.【答案】（1）， ， ，
所以 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据 的定义求得 ，根据 的定义求得 .
（2）集合 具有性质 ，等价于任意两个元素之和均不相同，则任意两个不同元素之差的绝对值均不相
同，由此构造 并求得 .求得 的表达式，结合绝对值
的性质求得 的最小值.
【详解】（1）由题意知， ， ，
所以 .
（2）由题意，集合 具有性质 ，等价于任意两个元素之和均不相同.
如，对于任意的 ，有 ，
等价于 ，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令 ，
由 具有性质 .
因为集合 均有性质 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 .【点睛】本小题主要考查新定义集合的理解和应用，属于难题.
