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第十四届“小机灵杯”数学竞赛
决赛试题（详解）
（五年级组）
时间：60分钟 总分：120分
（第 1 题～第 5 题，每题 6 分）
1. 已知a+3= 3a，b+4= 4b，c+5=5c，d+6=6d ，则a×b×c×d = 。
【答案】3
【分析】方程+分数计算
3 4 5 6 3 4 5 6
可以求出a= ，b= ，c= ，d = ，则a×b×c×d = × × × = 3。
2 3 4 5 2 3 4 5
2. 一个四位数是25的整数倍，其各位数字之和是25，这个四位数是 。
【答案】9925、4975、5875、6775、7675、8575、9475
【分析】整除性+分类讨论
末两位00：不存在；
末两位25：9925，1个；
末两位50：不存在；
末两位75：4975，5875，6775，7675，8575，9475，共6个；
3. 有些数不管是从左往右读，还是从右往左读，读出的结果都相同（比如 2772，
515），这样的数叫做“回文数”。现有一个两位数，用它分别乘 91，93，95，
97，所得的积都是回文数，这个两位数是 。
【答案】55
【分析】整除+数位分析
不妨令这个两位数为ab，因为ab×95得到的乘积是回文数，
所以，乘积首末位数字为5，b是奇数，ab×95=5cc5，
（估算）又因为95×53=5035，95×65=6175，（可以试出95×55=5225）
说明ab的范围是53～65之间；
又因为，四位回文数一定是11的倍数，因此，只能是ab=55。
14. ( 172015 −2 ) ÷15的余数是 。
【答案】6
【分析】余数：可计算性
因为，172015 ≡22015(mod15)，24 ≡1(mod15)，
所以，22015 ≡23 ≡8(mod15)，( 172015 −2 ) ≡(8−2)≡6(mod15)
余数为6。
5. 股民小李在某个股票上涨 5%时，以每股 21 元的价格买入 5000 股，当天股
市收盘，这个股票下跌了 6%，第二天当这个股票上涨了 10%时，小李卖出
了 5000 股。如果不计后续费等费用，小李买卖这个股票 了 元。
（注：第一个括号内填盈利或亏损）
【答案】盈利，600
【分析】百分数应用题
买入价：21 元/股，当时上涨 5%，可以求出原股价21÷(1+5%)=20元/股；
收盘价：20×(1−6%)=19.2元/股；
第二天卖出价：19.2×(1+10%)=21.12元/股；
因为21.12>21，所以，一共赚了(21.12−21)×5000=600元。
（第 6 题～第 10 题，每题 8 分）
6. 一根截面是正方形的长方体木料，表面积是 2448 平方厘米。从一端锯下一
个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米。这根木料最多能
锯出 个这样的正方体。（注：每锯一次会损耗木料2毫米）
【答案】11
【分析】长、正方体表面积
可以求出截面积为216÷6= 36平方厘米，所以长方体高2448÷36=68厘米；
因为每次损耗2毫米，即0.2厘米，(68+0.2)÷(6+0.2)=11（植树问题），
最多能锯出11段。
21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7. 已知A=1− + − + −!+ − ，B= + + +!+ ，
2 3 4 5 99 100 50 51 52 99
则A B（填<、>、=），它们相差 （大数减小数）。
1
【答案】 A< B，
50
【分析】分数计算+整体代换
1 1 1 1 1 ⎛1 1 1 1 ⎞
A=1+ + + +!+ + −2×⎜ + + +!+ ⎟
2 3 4 99 100 ⎝2 4 6 100⎠
1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞
=1+ + + +!+ + −⎜ 1+ + +!+ ⎟
2 3 4 99 100 ⎝ 2 3 50⎠
1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞
B=1+ + + +!+ + −⎜ 1+ + +!+ ⎟
2 3 4 99 100 ⎝ 2 3 49⎠
1
所以，A< B，相差一个 。
50
8. 三位数n是一个完全平方数，它每一位上的数字和也恰好是一个完全平方数，
这样的三位数共有 个。
【答案】13
【分析】数论综合：平方数+估算+余数
为方便说明，假设a2 =n，因为312 =961，322 =1024，所以，10≤a≤31；
三位数的数字和最大为27，因此n的数字和可能是25、16、9、4、1；
数字和为1：102 =100，共1个；
数字和为4：112 =121，202 = 400，共2个；
数字和为9：（平方数为9的倍数）
122 =144，152 =225，182 = 324，212 = 441，302 =900，共5个；
数字和为16：（16≡ 7(mod9)，所以a≡ 4(mod9)，a≡5(mod9)）
132 =169，142 =196，222 = 484，232 =529，312 =961，共5个；
数字和为25：（同理25≡ 7(mod9)，所以a≡ 4(mod9)，a≡5(mod9)）
没有满足条件的； 因此，一共有1+2+5+5=13个。
39. 博物馆有并列的7间展室，警卫从走到第一间展室开始，再走到第二间……
走到第七间后往回走，走到第六间，再走到第五间……他每走进一间展室拨
动一次这间展室的电灯开关。如果开始时 7 间展室都亮着灯，那么他走过
100间展室后，还有 间展室亮着灯。
【答案】3
【分析】周期问题+奇偶性
从第一间出发到第七间，再回到第二间可以看作一个周期，
1 2 3 4 5 6 7
一个周期走过12个房间，
1号与7号房间拨动1次开关，2号～6号房间拨动2次开关，
即一个周期后1号、7号状态改变1次，2号～6号房间状态不变；
100÷12=8!4，8个周期后，依然是全亮的；
再走过4个房间，4个房间就都暗了，因此，最后还有3间展室亮着灯。
10. 若三角形ABC中有一个内角是30度，且可以将三角形 ABC分成两个等腰
钝角三角形，则另两个内角是 度。（请写出所有可能的情况）
【答案】15°，135°或者 10°，140°
【分析】角度问题：等腰三角形的分割
可以按照内角30度是否被分割来分类，
如果30度内角不被分割，如下图：
另一个三角形有一个 60°的内角，此种情况
60°
不符合题意；
30°
另一个三角形有一个内角是 150°，
150° 此种情况可以求出另外两个内角为
120°
30° 15°，135°；
4如果30度内角被分割，如下图：
a
d
a
c
b b
因此有，内角和： a+2b+d =180!，外角关系：a=2b，且 a+b= 30!；
所以， a=20!， b=10!，另一个内角为140°；
综上所述：有两种情况，另两个内角分别为 15°，135°或者10°，140°。
（第 11 题～第 15 题，每题 10 分）
11. 已知S =1，S =1−2，S =1−2+3，S =1−2+3−4，S =1−2+3−4+5，…，
1 2 3 4 5
那么S +S +S +!+S = 。
1 2 3 299
【答案】150
【分析】数列巧算+奇偶性正负数（或取整）
S =1，S =−1，S =2，S =−2，S = 3，S =−3，……
1 2 3 4 5 6
规律比较明显，可知S +S +S +S +!+S =0，
1 2 3 4 298
⎡n⎤
且S = （向上取整），所以，S =(299+1)÷2=150。
n ⎣ ⎢ 2⎦ ⎥ 299
12. 甲从 A 地出发到 B 地，30 分钟后乙、丙也从 A 地出发到 B 地。乙用 20 分
1
钟追上了甲，丙在行完全程的 时，也追上了甲。乙到达 B 地后立即加速
5
返回，速度比原来提高了 20%。当乙、丙两人相遇时，甲与他们相距 1530
米。已知丙的速度是甲的2倍，甲平均每分钟走 米。
85
【答案】
6
【分析】多人行程+比例+分数应用
（1）甲出发30分钟后，乙用20分钟追上甲：可得，T :T =5:2，
甲 乙
因为路程相同，所以，V :V =2:5；
甲 乙
51
（2）丙行完全程的 时追上甲，且丙的速度是甲的2倍：
5
1
可得，丙追上甲时，甲应该走了全程的 ，
10
1
即，甲先走30分钟，行了全程的 ，甲走全程需要300分钟；
10
丙走全程需要150分钟；
（3）根据（1）、（2）的结论，可知乙走全程需要120分钟；
同时求出V :V :V =2:5:4，
甲 乙 丙
4 2 1 1
因此，当乙到达B地时丙走了全程的 ，此时，甲走了 + = 全程；
5 5 10 2
(cid:2)
(cid:1) (cid:3)
A B
1
5
（4）返回时，乙的速度提高了20%，
此时V :V :V =2:5×(1+20%):4=2:6:4=1:3:2，
甲 乙 丙
1 2 2
因此，乙、丙在距离B地 × = 全程的地方相遇，
5 2+3 25
3 3
此时丙走了全程的 ，甲又走了全程的 ，
25 50
4 3 ⎛1 3 ⎞ 9
此时甲与乙丙之间相距全程的 + −⎜ + ⎟ = ，
5 25 ⎝2 50⎠ 25
9 85
因此，全程为1530÷ = 4250米，甲的速度为4250÷300= 米/分。
25 6
13. 一班与二班各出4名队员按事先排好的顺序出场，进行乒乓球单打比赛。双
方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者与负方的 2号队员比赛，……直到有
一方队员全被淘汰为止，则另一方就获得胜利。从第1场比赛到最终决出胜
负的所有比赛场次和每一场胜负情况称为一个比赛过程，那么可能出现的比
赛过程共有 种。
【答案】70
【分析】计数综合：排列组合
因为都是按照 1 号到 4 号的顺序出场，我们可以用 4 个白球代表一班队员，
64个黑球代表二班队员，以下给出一两种情况进行解释：
（1）
可以看作一班1号队员赢了二班所有队员；
（2）
可以看作一班1号队员输了，2号队员出场赢了二班所有队员；
（3）
可以看作一班1号队员赢了二班前3名队员，输给了二班4号队员，一班2
号队员取得胜利；
如上，可以将题目转换为4个白球和4个黑球的排列问题：
8×7×6×5
因为球并无顺序，因此可以通过组合算出有C4⋅C4 = = 70种。
8 4 4×3×2×1
14. 如图，直角梯形 ABCD 的面积是52，DE = FC，AF 与BE相交于O，三角
形AOB的面积等于17。那么，三角形AOE与三角形BOF 的面积之和
是 。
m
A D
A D
a
y
E
E
17 O x
O
b
z
F
F
a
B C
B C n
【答案】18
【分析】代数分析+面积公式
标记如右图：令DE = FC =a，EF =b，上底AD= m，下底BC =n，
已知S =17，令S = x，S = y，S = z，
ΔAOB ΔEOF ΔAOE ΔBOF
利用面积公式进行分析：
7(m+n)⋅(2a+b)
已知：S = =52……（1），
ABCD 2
(a+b)⋅m (a+b)⋅n
如图，S = ，S = ，
ΔADF 2 ΔBEC 2
由题意得：S +S −x=S −S ，
ΔADF ΔBEC ABCD ΔAOB
(a+b)⋅m (a+b)⋅n
即 + −x=52−17= 35……（2）
2 2
⎧⎪ (m+n)⋅(2a+b)=104 (3)
将（1）、（2）式整理得：
⎨
，
⎩⎪ (m+n)⋅(a+b)−2x= 70 (4)
a⋅(m+n)
（3）、（4）相减可得：a⋅(m+n)+2x= 34，即 +x=17……（5），
2
am an a(m+n)
而S +S = + = ，
ΔADE ΔBCF 2 2 2
所以，根据（5）可以得出S +S +S =17，
ΔADE ΔBCF ΔEOF
所以x+y=S −S −(S +S +S )=52−17−17=18
ABCD ΔAOB ΔADE ΔBCF ΔEOF
15. 在 A÷B=C!8这道有余数的除法算式中，A+B+C =2994，那么A= 。
【答案】8 或 2864
【分析】整数数论+因式分解
由 A÷B=C!8可得A= BC+8，所以，A+B+C = BC+B+C+8=2994，
即BC+B+C+1=2987 ⇒ B(C+1)+C+1=(B+1)(C+1)=2987，
2987=29×103，且B>8，
⎧B+1=2987 ⎧B+1=29 ⎧B+1=103
可能的值为
⎨
或
⎨
或
⎨
，
C+1=1 C+1=103 C+1=29
⎩ ⎩ ⎩
⎧B=2986 ⎧B=28 ⎧B=102
解得：
⎨
或
⎨
或
⎨
，
C =0 C =102 C =28
⎩ ⎩ ⎩
因此，求得A 的可能值为：8或2864。
8
