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详 解 详 析
!"!#!!"!$ 学 年 高 三 测 评 "六 #
数%学
一$选择题%本题共& 小题&每小题’ 分&共$" 分!在每小题给出的四个选项中&只有一项是符合题目要求的!
题号 ( ! # $ ’ ) * &
答案 + , + , - . - .
!!+%’解析(因为"!"!所以#! /#!即#! 0#/"!所以##" 01!"#$"(!21#!故选+3
05 05"( 25# ( ( (
"!,%’解析(由题意可得$4 4 4 0 5!$的虚部是0 !故选,3
( 05 "( 05#"( 25# ! ! !
&" 0#’
#!+%’解析(根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为$"" 6 4!!’"个#!故选+3
&"
.#
#
$!,%’解析(除了计算机科学外!每门课程有一名同学选择!故概率为%4 # 4 !故选,3
$# #!
%!-%’解析(若&"’# 4’2#!则("’# 4’"’2##!可知("’#在定义域上并不是增函数!故)不是*的充分条件$
若("’# 4’#!易得("’#是增函数!此时&"’# 4’! 在定义域上并不是增函数!故 )不是 *的必要条件!综上可
知!)是*的既不充分也不必要条件!故选-!
#! 2+! 0,! ’
&!.%’解析(因为#47!+4&!,4’!所以由余弦定理可得89:-4 4 !
!#+ )
所以:5; -4槡( 089:!-4
槡((
!设%".-的外接圆半径为/!
)
, ’ #"槡(( (’槡((
由正弦定理可得!/4 4 4 !即/4 !
:5; - 槡(( (( ((
)
!!’
所以%".-的外接圆面积04!/! 4 !!故选.3
((
! !
’!-%’解析(由题意可得&"’#的图象关于点" !"#对称!即对任意’#!!有&"’# 2&" 0’# 4"!取’4"!可得
) #
! 槡# # ! ! !
&""# 2&" # 4 2 4"!即 # 40槡#!故 &"’# 4:5; !’0槡#89:!’4!:5;"!’0 #!令!’0 4 21!!
# ! ! # # !
’! 1!
1#"!可得&"’#的图象的对称轴为’4 2 !1#"!故选-3
(! !
’! ’!
(!.%’解析(由题意可得 """! 0(#!设 ."’!2#!3"’!2#!则有 ( 22! 4(! ! 22! 4(!两式相减可得
( ( ! ! $ ( $ !
"’0’#"’2’# 202 ’2’
( ! ( ! 2"202#"222# 4"!整理得 ( ! 40 ( ! !因为 "4&.3!4为线段 .3的中
$ ( ! ( ! ’0’ $"222#
( ! ( !
222 222
( ! 2( ( ! 2(
202 ! ’2’ ! 222 (
点!所以 ( !% 40(!即0 ( ! % 40(!解得 ( ! 4 !所以点 4在定直线 24
’0’ ’2’ $"222# ’2’ ! #
( ! ( ! ( ! ( !
! !
(
上!故选.3
#
详解详析%第 ( 页!共) 页"
{#{QQABJYSEogAgAJJAABhCEwVwCAIQkAAACKoOgBAEMAIASBNABAA=}#}
书书书二$选择题%本题共# 小题&每小题) 分&共(& 分!在每小题给出的四个选项中&有多项符合题目要求!全部选对
的得) 分&部分选对的得部分分&有选错的得" 分!"对)得部分分*的解释%有两个正确选项的&选对一个得#
分+有三个正确选项的&选对一个得! 分&选对两个得$ 分#
题号 7 (" ((
答案 .- .+- ,+-
)!.-%’解析(对于.!可运用长方体举反例说明其错误&如图!
不妨设""5为直线6!-3为直线7!
平面".-3为!!平面".-535为"!
显然这些直线和平面满足题目条件!但!&"不成立!故.错误$
对于,!设过直线7的某一个平面与平面!相交于直线8!则8’7!
由6&!知6&8!从而6&7!故,正确$
对于+!如果!’"!6(!!则6’"!故+正确$
对于-!如果6’7!!’"!那么6与!所成的角和7与"所成的角相等!故-错误!
故选.-3
!*!.+-%’解析(因为#4+4槡!!,4!!所以-的离心率为94槡!!故.正确$
{’! 02! 4!!
设""’!2#!."’!2#!联立 消去’可得!2! 0!6226! 0! 4"!
( ( ! !
’! 2"206#! 4$!
(
则22246!224 "6! 0!#!#4" 0!6#! 0&"6! 0!# /"!解得0!<6?; )"<0>?; $’< 槡# 0(
!"!! 0槡#%’解析(>?; (’<4>?;")"<0$’<# 4 4 4! 0槡#!又 >?; (’@4>?;"("@2’@# 4
( 2>?; )"<>?; $’< ( 2槡#
>?; ("@2>?; ’@
4! 0槡#!所以! 0槡# 0"! 0槡##>?; ("<>?; ’<4>?; ("<2>?; ’?; ("@>?; ’@
!#!!%’解析(&5"’# 4"’2(#A’0(!设直线 241’与曲线 &"’# 4’A’0( 2( 的切点为"’!’A’"0( 2(#!则
" "
{14"’2(#A’"0(!
"
整理可得’!A’"0( 0( 4"!令="’# 4’!A’0( 0(!则 =5"’# 4"’! 2!’#A’0(!令 =5"’# 4"!得
"
1’4’A’"0( 2(!
" "
’40!或’4"!所以="’#在" 01!0!#上单调递增!在" 0!!"#上单调递减!在""!21#上单调递增!因为
$
=" 0!# 4 0( <"!=""# 40( <"!="!# 4$A0( /"!所以函数 ="’#在""! 21#上只有一个零点!又
A#
="(# 4A" 0( 4"!所以方程’!A’"0( 0( 4" 的解为’4(!所以14!!
" "
!$!#0(
$%’解析(因为
--
"
,
.%
--
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,
-4
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--
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,
34"!所以".&.-!.-&-3!
设.-4’!点"在平面.-3内的射影为>!连结>3(>.!
则>.&.-!所以.>’-3!因为"3! <".! 2.-! 2-3!!所以点>与3在.-同侧!则四边形.-3>为梯形!
记">4="" <=)槡##!
槡#
则三棱锥"0.-3的体积为?4 ’=!
)
因为"3! 4">! 23>! 4=! 2’! 2"槡# 0槡# 0=!#! 4)!所以’! 4!槡7 0#=!!
( ( (
故?! 4 ’!=! 4 =!槡7 0#=!!则?$ 4 "#=$ 0=)#!
(! ) (!
( =#
设&"=# 4 "#=$ 0=)#!则&5"=# 4 "! 0=!#!
(! !
令&5"=# 4"!得=! 4!!即=4槡!时&"=#取得最大值!所以?))&"槡!#* ( $ 4#0( $!
详解详析%第 # 页!共) 页"
{#{QQABJYSEogAgAJJAABhCEwVwCAIQkAAACKoOgBAEMAIASBNABAA=}#}四$解答题%本题共’ 小题&共** 分!解答应写出文字说明$证明过程或演算步骤!
!%!"(#设等差数列+# ,的公差为@!
7
{# 2@4’! {# 4(!
( (
由题意可得 解得 "# 分#
!# 2’@4!!! @4$!
(
所以# 4# 2"70(#@4$70#! "’ 分#
7 (
"!#设+4# %!7 4"$70##!7! ") 分#
7 7
所以A4( 6!( 2’ 6!! 27 6!# 2’2"$70*#!70( 2"$70##!7! "* 分#
7
所以!A4( 6!! 2’ 6!# 27 6!$ 2’2"$70*#!7 2"$70##!72(! "& 分#
7
两式相减得!0A4( 6!( 2$ 6!! 2$ 6!# 2’2$ 6!7 0"$70##!72(! "(" 分#
7
!! 0!72(
所以0A4! 2$ 6 0"$70##!72(!所以 A4($ 2"$70*# 6!72(! "(# 分#
7 ( 0! 7
!&!"(#将B"#!!槡##代入抛物线方程可得))4"!槡##!!解得)4!!故;"(!"#! "# 分#
!槡#
所以1 4 4槡#! "’ 分#
B; # 0(
"!#由题意!直线".的斜率存在且不为""若直线斜率不存在!则原点:到直线8的距离为(!矛盾#!
所以设直线".的方程为’4622("6!"#! "* 分#
{’4622(!
联立 化简得2! 0$620$ 4"!显然#/"!
2! 4$’!
设""’!2#!."’!2#!则2224$6!’2’46"222# 2!4$6! 2!!
( ( ! ! ( ! ( ! ( !
=".=4"’2(# 2"’2(# 4$"6! 2(#!
( !
所以以线段".为直径的圆的圆心(半径分别为"!6! 2(!!6#!C4!"6! 2(#! "(( 分#
槡! ( 槡!
因为原点:到直线8的距离为 !所以@4 4 !解得64B(! "(# 分#
! 槡( 26! !
所以圆心(半径分别为"#!B!#!C4$!
所以圆的标准方程为"’0##! 2"22!#! 4() 或"’0##! 2"20!#! 4()! "(’ 分#
!’!"(##!+!,三人均被分至同一个兴趣班!即三人同被分至甲班或乙班!
记事件"4-#被分至甲班.! 事件.4-+被分至甲班.! 事件-4-,被分至甲班.! "( 分#
(
当#即将摸球时!箱子中有! 个红球和! 个黑球!则#被分至甲班即#摸出红球的概率为%""# 4 $
!
当#被分至甲班!+即将摸球时!箱子中有! 个红球和# 个黑球!则 +被分至甲班即 +摸出红球的概率为
!
%".="# 4 $
’
当#!+均被分至甲班!,即将摸球时!箱子中有! 个红球和$ 个黑球!则,被分至甲班即,摸出红球的概率为
(
%"-=".# 4 $
#
( ! ( ( ( (
所以%"".# 4%""#%".="# 4 6 4 !%"".-# 4%"".#%"-=".# 4 6 4 ! "’ 分#
! ’ ’ ’ # (’
参考答案%第 $ 页!共) 页"
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同理可知!数学爱好者#!+!,均被分至乙班的概率也为 !
(’
!
所以#!+!,三人均被分至同一个兴趣班的概率为 ! "* 分#
(’
"!#由题意!D的可能取值为$!!!"!
! ! ! ! $
D4$ 为$ 名数学爱好者被分至同一班!则%"D4$# 4! 6 6 6 6 4 ! "7 分#
$ ’ ) * ("’
D4! 为$ 名数学爱好者中有# 名均被分至同一班!其余( 名被分至另一班!
设第1"14(!!!#!$#名数学爱好者被单独分至另一班!则
! # # # 7 ! # # # 7
%4%"14(# 4! 6 6 6 6 4 !%4%"14!# 4! 6 6 6 6 4 !
( $ ’ ) * *" ! $ ’ ) * *"
! ! $ # $ ! ! ! ’ !
%4%"14## 4! 6 6 6 6 4 !%4%"14$# 4! 6 6 6 6 4 !
# $ ’ ) * #’ $ $ ’ ) * !(
*
所以%"D4!# 4%2%2%2%4 ! "(# 分#
( ! # $ (’
D4" 为$ 名数学爱好者中各有! 名被分至甲班和乙班!
’!
则%"D4"# 4( 0%"D4!# 0%"D4$# 4 ! "($ 分#
("’
$ * ’! #&
所以4"D# 4$ 6 2! 6 2" 6 4 ! "(’ 分#
("’ (’ ("’ #’
!(!由题意可得&5"’# 4#89:#’0!89:’2#’:5; ’!且&5""# 4#0!! "( 分#
! ! ! #! ! 槡! #!
当#4( 时!&" # 4:5; 2:5; 0 89: 4 "! 0 # <"!舍去! "# 分#
$ $ $ $ $ ! $
当#4! 时!&"’# 4:5; ’2:5; !’0#’89:’!故&5"’# 4!89:!’0!89:’2#’:5; ’! "’ 分#
令1"’# 4&5"’#!则15"’# 40$:5; !’2’:5; ’2#’89:’40&:5; ’89:’2’:5; ’2#’89:’
4’:5; ’0’:5; ’89:’2#’89:’0#:5; ’89:’4’:5; ’"( 089:’# 2#89:’"’0:5; ’#! "& 分#
! !
又’#""! *!对于24’0:5; ’!有254( 089:’/"!即24’0:5; ’在""! *上单调递增!
! !
所以24’0:5; ’/" 0:5; " 4"!故’/:5; ’恒成立! "(" 分#
!
所以15"’# /"!即1"’# 4&5"’#在""! *上单调递增!
!
!
又&5""# 4#0! 4"!则&5"’# /"!所以&"’#在""! *上单调递增! "(! 分#
!
!
又&""# 4"!所以&"’# /" 在""! *上恒成立!符合题意! "(# 分#
!
! !
当#*# 时!令’4 #""! *!则#’0’4’"#0(# 4!!:5; #’4:5;"!2’#! "(’ 分#
" #0( ! " " " " "
所以&"’# 4:5; ’2:5; #’0#’89:’4:5; ’2:5;"!2’# 0#’89:’40#’89:’)"!舍去! "() 分#
" " " " " " " " " " "
!
综上!存在正整数#!使得.’#""! *!&"’# /"!#的值为!! "(* 分#
!
!)!"(#根据坐标平面’:2内点的坐标的特征可知!坐标平面’:2的方程为$4"!
详解详析%第 ’ 页!共) 页"
{#{QQABJYSEogAgAJJAABhCEwVwCAIQkAAACKoOgBAEMAIASBNABAA=}#}’! 2! $!
已知单叶双曲面-的方程为 2 0 4(!
( ( $
当$4" 时!’:2平面截曲面-所得交线上的点B"’!2!"#满足’! 22! 4(! "# 分#
从而’:2平面截曲面-所得交线是平面’:2上!以原点:为圆心!( 为半径的圆! "$ 分#
"!#设%"’!2!$#是直线8上任意一点!
" " "
--, --,
由!4" 0!!"!0$#!E%均为直线8的方向向量!得E%’!!
--,
从而存在实数$!使得E%4$!!即"’0(!20(!$0!# 4$" 0!!"!0$#! ") 分#
" " "
{’
"
0( 40!$! {’
"
4( 0!$!
则 20( 4"! 解得 24(!
" "
$0! 40$$! $4! 0$$!
" "
所以点%的坐标为"( 0!$!(!! 0$$#! "& 分#
"( 0!$#! (! "! 0$$#!
于是 2 0 4"( 0!$#! 2( 0"( 0!$#! 4(!
( ( $
因此点%的坐标总是满足曲面-的方程!从而直线8在曲面-上! "(" 分#
"##直线85在曲面-上!且过点A"槡!!"!!#!
设B"’!2!$#是直线85上任意一点!直线85的方向向量为!"4"#!+!,#!
( ( (
--, --,
由!"!AB均为直线85的方向向量!得AB’!"!
--,
从而存在实数F!使得AB4F!"!即"’0槡!!2!$0!# 4F"#!+!,#! "(! 分#
( ( (
{’0槡! 4#F! {’4槡! 2#F!
( (
则 24+F! 解得 24+F!
( (
$0! 4,F! $4! 2,F!
( (
所以点B的坐标为"槡! 2#F!+F!! 2,F#!
"槡! 2#F#! "+F#! "! 2,F#!
因为点B在曲面-上!所以 2 0 4(!
( ( $
,!
整理得"#! 2+! 0 #F! 2"!槡!#0,#F4"! "($ 分#
$
,!
因为B为直线85上任意一点!所以对任意的F!有"#! 2+! 0 #F! 2"!槡!#0,#F4" 恒成立!
$
,!
所以#! 2+! 0 4"!且!槡!#0,4"!
$
所以,4!槡!#!+4#!或,4!槡!#!+40#!
不妨取#40槡!!则,40$!+40槡!!或,40$!+4槡!!
所以!"4" 0槡!!0槡!!0$#!或!"4" 0槡!!槡!!0$#! "() 分#
又直线8的方向向量为!4" 0!!"!0$#!
=!%!"= !槡! 2() & 2槡!
所以异面直线8与85所成角的余弦值为 4 4 ! "(* 分#
=!==!"= !槡’ 6!槡’ ("
参考答案%第 ) 页!共) 页"
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