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成都石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届三诊模拟
数学试题（文）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．满足 且 的集合 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在 中，“ 是钝角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差 为
31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．乙的成绩的中位数为 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差
4.用数学归纳法证明 （ ）的过程中，从 到 时， 比
共增加了（ ）
A．1项 B． 项 C． 项 D． 项
5．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的周期为
C． 是 的一个对称中心 D． 在区间 上单调递增
6．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为 .
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学科网（北京）股份有限公司应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若 ，则k的值
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知函数 的图象在两个不同点 与 处的切线相互平行，则
的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，
香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的
由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示 的
六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在 直
线的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直
9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至
少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）
A． B． C． D．
10． 在平面直角坐标系 中，点 ，向量 ，且 .若点 的轨迹与
双曲线 的渐近线相交于两点 和 （点 在 轴上方），双曲线右焦点为 ，则 （
）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司11．如图，射线 与圆 ，当射线 从 开始在平面上按逆时针方向绕着原点 匀速旋转（
、 分别为 和 上的点，转动角度 不超过 ）时，它被圆 截得的线段 长度为 ，则函数
的解析式为（ ）
A． B． C． D．
12．若存在 满足 ，且使得等式 成立，其中 为自然对数的
底数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数 （ 为虚数单位），则 .
14．已知a是1与2的等差中项， b是 1与16的等比中项，则ab等于 .
15.已知函数 的定义域为 ，对于任意实数 均满足
，若 ， ，则 .
16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的
长度依次等于 、 、 ，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达
杯底（水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于
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三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．（本小题满分12分）成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介
于 之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数
据统计如下图所示.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若从高度在 和 中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取 2
株，求抽取的2株高度均在 内的概率.
18．（本小题满分12分）如图，在平面四边形 中，已知点C关于直线BD的对称点 在直线AD上，
， ．
(Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)设 ，求 .
19．（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ)讨论函数 的单调性；
(Ⅱ)设 ，且 是 的极值点，证明： .
20．（本小题满分12分）已知平面 与平面 是空间中距离为1的两平行
平面， ， ，且 ， 和 的夹角为 .
(Ⅰ)证明：四面体 的体积为定值；
(Ⅱ)已知异于 、 两点的动点 ，且 、 、 、 、 均在半径为
的球面上.求点 到直线 的距离的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司21．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的顶点为顶点的四边形面
积为 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)我们称圆心在椭圆 上运动且半径为 的圆是椭圆 的“环绕圆”.过原点 作椭圆 的“环绕
圆”的两条切线，分别交椭圆 于 两点，若直线 的斜率存在，并记为 ，求 的取值范围.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，以坐标
原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)写出直线 的普通方程和曲线 的参数方程；
(Ⅱ)若将曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标缩短为原来的 倍，得到曲线 ，设点 是曲
线 上任意一点，求点 到直线 距离的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分10分）已知函数 ．
(Ⅰ)解不等式 ；
(Ⅱ)若 、 ， ， ，证明： ．
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