文档内容
绝密★考试结束前（寒假返校联考）
浙江省新阵地教育联盟 2024 届第三次联考
数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸
规定的地方.
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷
纸上答题一律无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A.1 B.-1 C. D.
2.设集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知 是奇函数，则常数 （ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
4.在正方体 中， 分别为 的中点，则（ ）
A.平面 平面
B.平面 平面
C.平面 平面
D.平面 平面
5.袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机
学科网（北京）股份有限公司摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D. 或
6.在平行四边形 中，点 是 的中点，点 分别满足 ，设
，若 则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知正项等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必必要条件
8.双曲线 的左右焦点分别为 是双曲线右支上一点，点 关于 平分线
的对称点也在此双曲线上，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 在同一个平面内，如果四边形 是边
长为2的正方形，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.异面直线 与 所成角大小为
B.二面角 的平面角的余弦值为
C.此八面体一定存在外接球
D.此八面体的内切球表面积为
10.函数 相邻两个最高点之间的距离为 为 的对称中心，
将函数 的图像向左平移 后得到函数 的图像，则（ ）
A. 在 上存在极值点
B.方程 所有根的和为
C.若 为偶函数，则正数 的最小值为
D.若 在 上无零点，则正数 的取值范围为
11.在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 （ 为弧度）后，
所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. ，函数 都为“ 旋转函数”
B.若函数 为“ 旋转函数”，则
C.若函数 为“ 旋转函数”，则
D.当 或 时，函数 不是“ 旋转函数”
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有甲乙两生从“物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术”七门科目中选三门作为高者选考科目､学生甲物
理和化学两门必选，并在另外的五门中中任选一门；学生乙必选政治学科，但一定不选物理､化学，则甲乙两
人有且只有一门选科相同的选科方法总数有__________种.（用数字作答）
13. 是圆 上一动点， 为 的中点， 为坐标原点，则 的最大值为
__________.
14.已知函数 满足 为 的导函数， .若
，则数列 的前2023项和为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查
得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动.
（1）完成如下列联表（单位：人），并判断能否有 的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有
关联.
课间进行体育活动情况
性别 合计
不经常 经常
男
女
合计
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 ，
学科网（北京）股份有限公司求 的分布列与数学期望.
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（15分）记 的内角 所对的边分别是 ，且满足 .
（1）证明： ；
（2）若 的面积为 ，求 ；
17.（15分）在三棱锥 中， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 为棱 上，若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长；
18.（17分）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，左顶点为 ，过右焦点 作直线
与椭圆分别交于 两点（异于左右顶点），连接 .
（1）证明： 与 不可能垂直；
（2）求 的最小值；
19.（17分）已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为1.
（1）求 的表达式；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 恒成立，求 的值.
（3）求证： .
浙江省新阵地教育联盟 2024 届第三次联考
数学参考答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C D A A C B
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
学科网（北京）股份有限公司目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9 10 11
ACD AC BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.18 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题共13分）
解：（1）补全 列联表如下：
课间进行体育活动情况
性别 合计
不经常 经常
男 80 40 120
女 100 20 120
合计 180 60 240
提出零假设 ：学生课间经常进行体育活动与性别相互独立，即课间是否经常进行体育活动与性别无关.
依题意， ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即有 的把握认为学生课间经常进行体育活
动与性别有关联
（2）由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为 ，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间
经常进行体育活动的概率为 .
而随机变量 的所有可能取值为 ，则由题意得
所以 .
，
学科网（北京）股份有限公司的分布列如下：
0 1 2 3
所以 的数学期望 .
16.（本题共15分）
解：
（1）由 得
则
得
（2）
所以 ，则 ，
从而
又 ，从而
所以
17.（本题共15分）
解：
（1）过 作 ，垂足为 ，由 ，计算得到 ，
学科网（北京）股份有限公司，得 ，所以 ；
在 中， ，所以
又 平面 ，
所以 平面 平面 ，平面 平面 ；
（2）如图以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 ；
得
设
设平面 的一个法向量为 ，
则
设直线 与平面 所成角为
，
所以 ；
18.（本题共17分）
解：
（1）由已知 ，又因为 ，所以
，设 ，假设 ，即 ，由
得 ①
学科网（北京）股份有限公司又 ②，由①②消去 得到
，与题设矛盾，所以 与 不可能垂直.
（2）设 方程： ，由 ，得
设 ；
设 ，则原式
即当 ，即 时
的最小值为 ；
19.（本题共17分）
解：
学科网（北京）股份有限公司（1） ，则 ，
（2）令 .由条件知 恒成立，
因为 ，又 的图像在定义域上是连续不间断的，所以 是 的一个极大值点，则
.又 ，所以 ，得
下证当 时， 对任意 恒成立
令 ，则 ，所以 在 单调递增，在
上单调递减， ；即 ，而 ，
所以，当 时， .
综上，若 恒成立，则 .
（3）由（2）可知 .
先证 ，
令 ，
则 在 上单调递减， ，即
学科网（北京）股份有限公司所以
再证 ，由 （证明可省略），
令 即得 .
又 ，得
所以 ，
综上， .
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