文档内容
武汉市 2024 届高三年级五月模拟训练试题
数学试卷
武汉市教育科学研究院命制 2024.5.21
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的模为（ ）
A. B.1 C.0 D.
3.设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.已知一组数据 ， ， ， ， 的上四分位数是 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.若 ，则 （ ）
A.180 B. C. D.90
学科网（北京）股份有限公司6.已知菱形 ， ，将 沿对角线 折起，使以 ， ， ， 四点为顶点的三
棱锥体积最大，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.抛掷一枚质地均匀的硬币 次，记事件 “ 次中既有正面朝上又有反面朝上”， “ 次中至多
有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A.当 时， B.当 时，事件 与事件 不独立
C.当 时， D.当 时，事件 与事件 不独立
8.在三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且满足 ， ，则 面
积取最大值时， （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.已知 （ ， ， ）的部分图像如图所示，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 在 内有3个极值点 D. 在区间 上的最大值为
10.在平面直角坐标系 中，椭圆 ，圆 ， 为圆 上任意一点， 为椭
学科网（北京）股份有限公司圆 上任意一点.过 作椭圆 的两条切线 ， ，当 ， 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为 ，
，则（ ）
A.椭圆 的离心率为 B. 的最小值为1
C. 的最大值为 D.
11.对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A.函数 的单调递减区间为
B.
C.若方程 有6个不等实数根，则
D.对任意正实数 ， ，且 ，若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数 满足 ，则 的最小值为______.
13.已知 ，则 ______.
14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 ，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.
______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知 .
（1）求 并写出 的表达式；
（2）证明： .
16.（15分）
如图，已知四棱锥 中， 平面 ，四边形 中， ， ，
， ， ，点 在平面 内的投影恰好是 的重心 .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）
已知双曲线 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 与双曲线 交于 ， 两
点.
（1）若直线 经过坐标原点，且直线 ， 的斜率 ， 均存在，求 ；
（2）设直线 与直线 的交点为 ，且 ，证明：直线 与直线 的斜率
之和为0.
18.（17分）
某企业生产一种零部件，其质量指标介于 的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质
量指标服从正态分布 ；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布
.
附：若 ，取 ， .
（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是 ，各个元件能否正常工作相互
独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有 个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出
你的结论并证明.
19.（17分）
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段
学科网（北京）股份有限公司上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用 来表示系统
在第 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态 满足 ， ，其中
.
（1）当 时，若满足对 ，有 ，求 的通项公式；
（2）证明：当 时， 中不存在连续的三项构成等比数列；
（3）若 ， ，记 ，证明： .
学科网（北京）股份有限公司武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C C A C D A
二、选择题
9 10 11
ABD AC BCD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）因为 ，令 解得 ，所以 .
（2）构造 ， .
当 时， ，于是 在 单调递增；
当 时， ，于是 在 单调递减，
所以 ，于是 ，所以 .
16.（1）证： 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ，
与 相交于 点， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）解：取 中点 ， ， 四边形 是平行四边形
， .
平面 ， 平面 ， .
如图所示，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.
学科网（北京）股份有限公司此时， ， ， ， ， .
连 ， 为 的重心， 在线段 内且 .
设 ， ， ，
平面 ， ， .
由题意知， 平面 ，
又 平面 ， ， ，即 ，
解得 ， ， .
由于 是 的重心，所以 ，
于是 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
令 ， ， .
设直线 与平面 所成角为 ，则
.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.解：（1）当直线 经过坐标原点时， ， 两点关于原点对称.
学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ，
于是 ， .
因为 ， ， 三点都在双曲线 ，
所以 ，
两式作差， ，所以
.
（2）已知 ，可设直线 ，直线 ， ，
， ， .
， .
联立直线 方程与双曲线 的方程： .
整理得， ，当 时， .
， .
于是，
同理可得， .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以
整理得， ，而 ，所以 .
18.解：（1）技术改造前，易知 ， ，则其优品率为
；技术改造后， ， ，则其优品率
为 ；所以优品率之差
为 .
（2）①记 为原系统中正常工作元件个数， 为增加一个元件后正常工作元件个数.
由条件知， ， .
， .
因为 ，所以可靠性提高.
②方法一：
根据上一问的假设，易知 ， .
当 为奇数时，设 ，原系统的可靠性为 ，新系统的可靠性为
，由题意可知，
.
所以，
，这说明可靠性降低.
当 为偶数时，设 ，原系统的可靠性为 ，新系统的可靠性为
，由题意可知，
.
所以， ，这说明可靠性提高.
学科网（北京）股份有限公司综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件个数为偶数，增加一
个元件后可靠性会提高.
方法二：
当 为奇数时，设 ，原系统的可靠性为 ，新系统的可靠性为
，由题意可知，
于是，
，
这说明可靠性降低.
当 为偶数时，设 ，原系统的可靠性为 ，新系统的可靠性为
，由题意可知，
于是，
学科网（北京）股份有限公司.
这说明可靠性提高.
综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件个数为偶数，增加一
个元件后可靠性会提高.
19.解：（1）当 时， ，由题意可得，
①
②
两式作差， ，所以 或 .
当 时，代入①式解得， 或 ，因为 ，所以 .
当 时，将 代入①式解得， .
经过上述讨论可知， .下面考虑一般情况：由题意可知，
③
④
两式作差， ，所以 或
如果 ，这说明 是常数列，所以 .
学科网（北京）股份有限公司如果 ，将 代入③式，解得 ，这说明 依然是常数列 .
综上， 的通项公式为 .
（2）下面假设 ， ， 构成等比数列，那么
，
于是 ，又因为 ，所以 ，解得 ，与假设矛盾，
所以 中不存在连续的三项构成等比数列.
（3）由题意知， ，所以 ，易知 单调递减且 ，
.
记 ，于是
因为
所以
.
于是， .
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