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邵阳市二中 2024 年高三（5 月）模拟考试数学试卷
满分：150 时间120min 命题：高三备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若数列 满足 ， ，则其前2023项和为（ ）
A.1360 B.1358 C.1350 D.1348
3.已知底面边长为2的正四棱柱 的体积为 ，则直线 与 所成角的余弦为（
）
A. B. C. D.
4.已知直线 ： 与圆 ： ，过直线 上的任意一点 作圆 的切线 ， ，切
点分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有
（ ）
A.144种 B.240种 C.288种 D.336种
6.某学习小组对一组数据 进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程 ，
样本点的中心为 .乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据 误输成 ，将这两个数
据修正后得到回归直线方程 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司8.已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 为坐标原点，过 的直线分
别交双曲线左、右两支于 ， 两点，点 在 轴上， ， 平分 ， 与其中一
条渐近线交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直
线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 ， 两点（ 在 轴的上方， 在 轴的下方），过
点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ）
A.当直线 的斜率为1时，
B.若 ，则直线 的斜率为2
C.存在直线 使得
D.若 ，则直线 的倾斜角为
学科网（北京）股份有限公司11.已知非零函数 及其导函数 的定义域均为 ，函数 和 均为奇函数，
且 ，则（ ）
A.函数 为偶函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ， ，则 ________.
13.已知数列 与 均为等差数列 ，且 ，则 ________.
14.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了
解答，当 的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；
当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.已知 ， ， 分别是 三个
内角 ， ， 的对边，且 ，若点 为 的费马点， ，则实数
的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经
过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道
工序合格的概率分别为 ， ，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序
合格的概率为 .三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪
峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶.
学科网（北京）股份有限公司（1）在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
（2）每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为
100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为 元，
求随机变量 的分布列及数学期望.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，
. ， 分别为 ， 的中点. .
（1）若 .求证：平面 平面 ；
（2）若 ， .求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数
（1）若 ，求 的单调区间.
（2）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围
18.（本小题满分17分）
在平面 中， ， . 为平面内一动点，且直线 与 的斜率乘积为 ，动点 在
平面 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程
（2）若 为直线 上任意一点，直线 ， 分别交曲线 为 、 .在直线 上存在一点 ，
且 .问：在平面 内是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说
明理由.
19.（本小题满分17分）
学科网（北京）股份有限公司高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点 ，设 ， ，
则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种形式叫做复数三角形式，其
中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐角主值，记为 。复数
有以下三角形式的运算法则：若 ，则：
，特别地，如果
，那么 ，这个结论叫做棣
莫弗定理。请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；
（2）设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多
少个？
（3）求和：
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