2024-2025 学年第一学期六校联合体 10 月联合调研
高三数学参考答案
2024.10
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9． AC 10．ACD 11．ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．0 13．8 14．y=x＋
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，………………...........................2分
∵ 平面 ，∴ ，
又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ；…………................................……..4分
又 平面 ，所以平面
PCD⊥¿¿平面 PAB
………………..6分
AD
（2）取 中点为O，连接CO，PO
又因为
PA=PD
，所以
PO⊥AD
则
AO=PO=4
因为
AC=CD=5
，所以
CO⊥AD
，则
CO= √AC2 −AO2 =3
O⃗C,O⃗A,O⃗P
以O为坐标原点，分别以 所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐
O−xyz
标系
A(0,4,0),B(2,4,0),C(3,0,0),D(0,−4,0),P(0,0,4)
则 ,
⃗PC=(3,0,−4),⃗PD=(0,−4,−4) ⃗PB=(2,4,−4)
， ......................................……..8分
⃗n=(x,y,z)
PCD
设 是平面 的一个法向量，
{⃗n⋅ ⃗PC=0 {3x−4z=0
,
⃗n⋅ ⃗PD=0 y+z=0 z=3, x=4,y=−3
则 得 ，令 则 ，
⃗n=(4,−3,3)
所以 ……………............................................…..10分
PB PCD θ
设 与平面 所成的角为
⃗n⋅ ⃗PB
−
16 4√34
sinθ=|
|=| |=
|⃗n|| ⃗PB | √34 ⋅√36 51
则4√34
PB PCD 51
所以 与平面 所成的角的正弦值为 ………………..13分
16．（本小题满分15分）
解：因为 ，所以
√3sinA=2sinAcosB
所以 …………..3分
√3 π
cosB= B=
在
ΔABC
中，
sinA≠0
,所以
2
，所以
6
…………..5分
5π
cos（ −C）=sinC−1
（2）由
cosA=sinC−1
，得
6
，
5π 5π π
cos cosC+sin sinC=sinC−1 sin(C+ )=1
6 6 3
， ………..7分
π π 4π π π π
<C+ < C+ = C=
因为
0<C<π
,所以
3 3 3
，所以
3 2
，所以
6
…………..9分
2π
A= ，b=c
3
所以
3
在ΔABD
中,
C⃗A=4C⃗D,
所以
AD=
4
b
9 3 1
=b2 + b2 −2b⋅ b⋅(− )
BD2 =37=AB2 +AD2 −2AB⋅ADcosA 16 4 2
，
得
b=c=4
，…………………………………………………………....13分
1 1 √3
S= AB⋅ACsin A= ⋅4⋅4⋅ =4√3
ΔABC 2 2 2
所以 的面积. ………………..15分
17．（本小题满分15分）
（1）由题可知X的所有取值为1，2，3，4，
P(X＝1)＝＝＝
P(X＝2)＝＝＝
P(X＝3)＝＝＝
P(X＝4)＝＝＝，………………………………8分
故X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝．………………………………9分
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“回答被采纳”为事件C，…………………………………………………………10分
由已知得，P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以由全概率公式得
P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.8(1－p)＋0.4p＝0.8－0.4p＝0.7，…………14分
解得p＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）
解：(1) h ′(x)＝lnx＋1(x＞0)
令h ′(x)＝0则x＝……………………………………………………………2分
所以在(0，)上h ′(x) ＜0，h(x)递减；
在(，＋∞)上，h ′(x)＞0，h(x)递增；
所以函数h(x)有极小值h()＝－，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分
(2)设m(x)＝ln(x＋1)－ax(x≥0)，m(0)＝0
m ′(x)＝－a
当a≤0时, m ′(x)＞0, m(x)单调递增，m(x)≥0，显然不满足. …………………………6
分
当0＜a＜1时,令 m ′(x) ＝0, x 使m ′(x)＝0，在(0，x)上，m(x)单调递增；在( x ，
0 0 0 0
＋∞)上，m(x)单调递减，显然不成立；…………………………………………………………
8分
当a≥1时，m ′(x)＜0，m(x)单调递减，m(x)≤m(0)=0；…………………………………10
分
综上：a≥1. ………………………………………………………………………………11分
(3)没有上界，理由如下：
由(1)可知，ln(x＋1)≤x在[0，＋∞)上恒成立，
令x＝，则ln(＋1)≤，…………………………………………………………………13分
所以ln(＋1)＜，ln(＋1)＜，ln(＋1)＜．．．ln(＋1)＜，…………………………15分
将上式相加，ln(n＋1)＜1＋＋＋．．．＋＝g(n)
由于ln(n＋1)没有上界，故g(n)也没有上界. …………………………………………17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）由离心率为\f(1,2，得＝，由DE＝3得＝3，
解得a＝2，b＝
所以故椭圆C的方程为\f(x2,4＋\f(y2,3＝
1…………………………………………………………3分
（2）由（1）可得A(2,0)，
2
连接MA，因为S－S=S －S =\f(3,2，S =\f(3,2，
2 1 2 MA1A2 MNA2 MA1O
所以S =S ，得S △ =S △; △
NGA2 MOG NMA2 MOA2
所以O△N∥MA△，所以直△线ON的△ 方程为，y＝－x,……………………………………6分
2
由\f(x2,4\f(y2,3得N(1,－\f(3,2)，N(－1,\f(3,2)（舍去）.
所以|MN|=3 …………………………………………………8分
（3）设直线MN:y＝kx＋m，M(x，y)，N(x，y),P(x，y)，H(x，y)则Q(－x，－y).联立
1 1 2 2 3 3 0 0 3 3
\f(x2,4\f(y2,3可得，(3+4k2)x2+8mkx+4m2－12＝0，
所以，x＋x＝－\f(8mk,4k2+3，xx＝\f(4m2－
1 2 1 2
12,4k2+3，………………………………………10分
y＋y＝k(x＋x)＋2m＝\f(6m,4k2+3
1 2 1 2
Δ＝64m2k2＋16(m2－3)(4k2+3)＞0,得m2－3－4k2<0．
所以中点H的坐标为(－\f(4mk,4k2+3，\f(3m,4k2+3)，所以k ＝－\f(3,4k,
OH
故直线OH：y＝－\f(3,4kx. ………………………………………12分由P，Q，M，N四点共圆，则|HM|·|HN|＝|HP|·|HQ|,………………………………14分
由|HM|·|HN|=\f(1,4|MN|2=\f(1,4(1+k2)[(x＋x)2－xx]=12(1+k2).\f(4k2+3－m2,(4k2+3;
1 2 1 2
联立\f(3,4k\f(x2,4\f(y2,3可得，x2＝\f(16k2,4k2+3，所以x2＝\f(16k2,4k2+3，
3
所以|HP|·|HQ|=(1+\f(9,16k2)|x2－x2|=(9+16k2).\f(4k2+3－m2,(4k2+3,
0 3
所以12(1+k2)=9+16k2得，k=±……………………………………………………16分
所有m2<3+4k2=6，得m∈(－ ,)，|MN|2=48(1+k2).\f(4k2+3－m2,(4k2+3=\f(42－7m2,3 ≤14
即|MN|≤…………………………………………………………………………17分
