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2024-2025学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 共7种，
数学试题参考答案
故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是 .
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B D B A BD AD 16．(1) (2)
题号 11
答案 ACD 【详解】（1）由 可得 ，又 ，
故 是方程 的两个实数根，且
12． 13． 14．
故 ，进而 ， 故 ，
15．(1) ， (2) (3)
【详解】（1）成绩在区间 的频率为 ， ， （2）由题意得 ，故 ，
由频率分布直方图可得第4组的频率为： ，故 .
因此
（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为
（分）， 17（1）证明：由 ， 分别为 ， 的中点，由正方形易知： ,
估计全年级学生竞赛成绩的平均数为 ；
所以 ，又 ,所以 ，所以 ，
（3）得分成绩在 有 （人），这组的3名学生分别为 ， ， ，
又 ， ， 平面 内，
得分在区间[90，100]有 （人），这组的2名学生分别为 ， ，
随机抽取两人，所以可能的结果为 因此 平面 ，又 平面 ，故 .
共10种，
由平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 ，
所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为从而 平面 ， 平面 ，故 ；又 ，又 平面
设平面 的法向量为 ，则 即
，
令 ，则 ， ，从而 .
故 平面 .
（2）因为三棱柱 的体积为4， 设平面 的法向量为 ，则 即
由（1）知：三棱柱 的体积为 则 .
令 ，则 ， ，从而 .
因为 平面 ，四边形 为正方形，
则 ，即锐二面角 的余弦值为 .
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空
间直角坐标系， 18．（1）已知 ，因为 ，所以 .
当 时， ，即 . 当 时， .
先求 ，因为 为偶数， .
再求 ，因为 为奇数， ，即 . 当 时， .
则A(1,0,0)， ， ， ， 先求 ，因为 为偶数， .
再求 ，因为 为奇数， ，即 .
， ， ，
（2）由 可得 . 所以 .则 . 又 . 与抛物线方程 联立可得 .故 ， .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
可得 ， ，
（3）由（2）可知 ，则 .
设 ， ，则 ， ，可得直线OM的方程为 ，
. 因为 ， .
与 联立，可得 ，同理可得 .
所以 .
即 .
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
由等比数列求和公式可得 .
则圆的方程为 .令 ，整理可得 ，解得 ，
所以 .
19．（1）因为抛物线C： （ ）经过点 ，F为抛物线的焦点，且 ， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点 ，(1,0).
所以由抛物线的定义，可得 ，解得 ，所以 ，又因为P的横坐标为1，
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
（2）因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为(1,0)，
设直线l的方程为 .
