文档内容
2025~2026 学年度第一学期高二期末检测题
数学
本试卷共4页，全卷满分150分，检测时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置.
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其它答案.不能答在试题卷上.
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上.
4.检测结束后，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用标准方程求得焦参数即可得．
【详解】抛物线 ， ，即 ，
该准线方程为 .
故选：A.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面 B. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 四边形一定是平面图形
【答案】C
【解析】
【分析】由基本事实一可判断A；由空间几何体的结构特征可判断BCD.
【详解】对于A，由基本事实一可知，不共线的三点可以确定一个平面，故A错误；
对于B，用平行于底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，故B错误；
对于C，由棱柱的性质可知，任意棱柱上底面与下底面平行，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，在空间中，不共面的四点构成的四边形是空间四边形，故D错误.
故选：C
3. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心距与半径和 关系判断两圆的位置关系.
【详解】因为 ， ； ， .
则 ， ，
所以 ，
所以圆 与圆 外离.
故选：A
4. 已知 ， ，且 ，则 （ ）
A. B.4 C.3 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 .
故选：B
5. 如图，在三棱锥 中， ，且 ，E，F分别是棱 ， 的中点，则EF和
AC所成的角等于
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学科网（北京）股份有限公司A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则 为EF与AC所成的角．解 ．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
，F分别是CD，AB的中点，
， ，
且 ， ．
为EF与AC所成的角．
又 ， ．
又 ， ， ，
为等腰直角三角形，
，即EF与AC所成的角为45°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解
三角形，属于基础题．
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学科网（北京）股份有限公司6. 过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 ， 两点，且 与 和椭圆的另一个焦点
构成的 的周长为12，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程可知椭圆的半长轴与半短轴，结合三角形周长求得半长轴的值，进而求得半焦距，
可求得离心率．
【详解】由椭圆方程 ，可得椭圆半长轴为 ，半短轴为1，
因为 的周长为12，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以半焦距 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：D
7. 如图，在四面体 中， ，点 为 的中点， ，则 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决.
【详解】因为 ，所以
故
.
故选：B.
8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的
切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为
时，蒙日圆方程为 .若该椭圆离心率为 ， 为蒙日圆 上一个动
点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆 分别交于 ， 两点，若 面积的最大值为28，则椭圆
的焦距为（ ）
A.2 B. C. D.4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，从而得 ,故当 为该圆的直径时， 面积取最大值，即
可得 ，所以蒙日圆半径为 ，即有 ，再结合椭圆离心率为 ，求得 ，
即可得答案.
【详解】由题意可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ,
所以 ,
由题意可得 ，
所以 ，
又因为 是蒙日圆 上的两个动点，
所以当 为该圆的直径时，取最大值，
即蒙日圆的直径为 ，所以半径为 ，
由题意可得该蒙日圆的半径为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为椭圆的离心率为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆的焦距为 .
故选：D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的一个方向向量是
B. 若 ，则
C. 若 ，则直线 ， 之间的距离为
D. 直线 过定点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程
逐一判断即可.
【详解】 ，所以该直线的斜率为 .
，所以该直线的斜率为 ，恒过点 .
对于A，因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的一个方向向量是 ，设 ，
显然 ，所以直线 的一个方向向量是 ， 故A正确；
对于B，当 时，直线 的斜率为 ，
因为 ，
所以 不成立，故B错误；
对于C，若 ，所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 ， 之间 距离为 ，故C错误；
对于D，直线 过定点 ，故D正确.
故选：AD
10. 如图，在棱长为1的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是（
）
A. 平面 平面
B. 平面
C. 异面直线 与 所成角的取值范围是
D. 若 点为棱 的中点，则由 ， ， 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断
C，由基本事实1作出由 ， ， 三点确定的平面与正方体相交形成的截面，计算各边长度后可判断D．
【详解】对于A，正方体中由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又 ， 平面 且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 在平面 内的投影为 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B，正方体中 与 平行且相等，则 是平行四边形，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， ， 都在平面 内，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C，与A选项同理可证 平面 ，
当 是 与 交点时， 平面 ，
，异面直线 与 所成角为 ，故C错误；
对于D，设 的中点为 ，连接 ， ， ， ，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司因为 分别为 的中点，
由正方体性质可知， 且 ，
所以 四点共面，
即由 三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形 ，
因为正方体的棱长为1，
所以 ， ，则 ，
故四边形 的周长为 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知动点 是双曲线 上的点，点 ， 是双曲线 的左，右焦点，下列结论正确的是
（ ）
A. 若 ，则 的面积为3
B. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为
C. 若过点 的直线 与双曲线右支交于 ， 两点，弦 的垂直平分线交 轴于一点 ，则
D. 若过点 的直线 与双曲线的两条渐近线分别相交于 ， 两点，且 ，则
的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A：利用双曲线的定义和勾股定理，可求 的面积，判断A的真假；利用点到直线的距
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学科网（北京）股份有限公司离公式，结合 点在双曲线上，可判断B的真假；设直线 ： ，与双曲线方程联立，表示出
弦长 ，再写出线段 的垂直平分线，表示 ，即可判断C的真假；设直线 ： ，与渐
近线方程联立，表示出 坐标，得到 的表达式，结合函数的单调性判断D的真假.
【详解】易知 ， ， ，所以 ， ，渐近线方程为 .
对A：如图，不妨设 位于第一象限，
因为 ，所以 ，
所以 .
所以 .故A正确；
对B：设 ，则 ，
则 到两条渐近线的距离分别为： ， ，
所以 .故B正确；
对C：因为直线 不能为双曲线的通径，所以可设直线 ： ，
代入 ，得： .
设 ， ，则 ， ，且 ， ， .
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
又 ， ，
所以 的中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为： ，
令 可得 ，所以 .
所以 .所以 ，故C正确；
对D：设直线 ： ，
由 得 ；由 得 ；
由 .
又 ，所以 .
又 ， ,
所以当 时， .
因为 .
即 的最小值为8.故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 直线 的倾斜角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角
【详解】 ，则 ，斜率为
则 ，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题
13. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆柱的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求得半径，再利用圆柱体积公式即可求解.
【详解】由圆柱和圆锥的底面半径相等，可设其半径为 ，
则根据侧面积公式可得： ，
所以圆柱的体积为 ，
故答案 ：
14. 已知三棱锥 满足： 底面 ， ，底面 的面积为2，且侧面
侧面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】过 作 于 ，由题意可证明 ，结合已知可得 ，进而得 是
三棱锥 外接球的直径，利用 ，结合重要不等式可求三棱锥 外接
球表面积的最小值.
【详解】过 作 于 ，
因为侧面 侧面 ，又侧面 侧面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 侧面 ，又 侧面 ，
所以 ，又因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，又 ， 侧面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
因为底面 的面积为2，可得 ，所以
由题意可得 和 是共用斜边 的直角三角形，
所以 是三棱锥 外接球的直径，
所以 ，
当且仅当 时取等号。
所以 ，所以 ，即三棱锥 外接球的半径的最小值为 ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程.
（1）已知椭圆 过点 ，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆 的标准方程；
（2）求焦点在 轴，虚轴长为 ，渐近线方程为 的双曲线标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据椭圆的顶点、长轴、短轴的定义列方程组；
（2）根据双曲线的虚轴、渐近线的定义列方程组.
【小问1详解】
由题意可知， ， ，则 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
设双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，得 ，
则双曲线的标准方程为 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， 为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形即可证明结论；
（2）证明 ， 即可证明结论；
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司为 的中点， ,
， ，
四边形 是平行四边形，即 ,
平面 ， 平面 ，
∥平面 .
【小问2详解】
平面 ， 平面 ， ，
，则
， ，
，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
17. 已知抛物线 第一象限上的点 到焦点 的距离 ，点 到 轴的距离为
.
（1）求抛物线 的方程和点 的坐标；
（2）若直线 与抛物线 相交于 ， 两点，求 的值.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】(1)利用抛物线定义和已知条件列出关于 的方程,解出 的值,进而得出抛物线方程和点 的坐标.
(2)直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求出 , , , 的值,再根据向量的数量积的
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学科网（北京）股份有限公司坐标运算求出 的值.
【小问1详解】
设点 ,因为 在第一象限且到 轴的距离为 ,
所以 .
又因为点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，且 ,所以 .
同时 在抛物线上，则 ，解得 .
又因为 ，所以 ，从而得到 .
所以抛物线方程为 , 点的坐标为 .
【小问2详解】
将直线与抛物线联立: ,
所以 .
由 可以得到 .
已知 , , .则
,
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）动点 的轨迹 与 轴负半轴交于 点，与 轴负半轴交于 点，点 为轨迹 在第一象限上任一
点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 .
（i）直线 ， 的斜率分别记为 ， ，求证： 为定值；
（ii）记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；
（2）（i）定值为 ，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据条件结合两点距离公式和点到直线距离公式列方程组求解；
（2）（i）设点 ，求出 再计算 ，即可求证；
（ii）记 的面积为 ，则 ，由（i）得 ，再令
，得出 ，再构造函数
，通过换元法或导函数研究其最值即可求出.
【小问1详解】
由题意可得， ，
平方整理可得： ，
此时 ，满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以动点 的轨迹 的方程为 ；
【小问2详解】
（i）由直线 ， 的斜率分别记为 ， ，
设点 ，且 ，
由（1）可得： ，则 ，
所以
（ii）记 面积为 ， 的面积为 ，四边形 的面积为 ，
则 ，
因为
由点 为椭圆 在第一象限上任一点，
令 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司方法一：设 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，故 ，
所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，此时 ， ，
方法二：令 ，
则
因 ，则 ，
则 得 ； 得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的最小值为 ，故 的最小值为 ，
故 的最小值为 ，
故 最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图①所示，矩形 中， ， ，点 是边 的中点，将 沿 翻
折到 ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ， 为 中点.
（1）若 为线段 中点，求证： ， ， ， 四点共面；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小；
（3）设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用共面判定定理进行证明即可；
（2）借助面面垂直的性质，以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用线面角的向
量求法求出大小；
（3）连接DG，过点D作 平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标
运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，由N为PB中点，得 ，
依题意， ，所以 ，
所以 ， ， ， 四点共面；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
取 中点 ，连接 ，由 ，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
则 平面 ，
过 作 ，则 平面 ，又 平面 ，
于是 ，
在矩形 中， ， ，
则 ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线BC与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线BC与平面 所成角的大小为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
连接 ，由 ，得 ，而 ，
则 为 的平面角，即 ，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，直线
分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
显然 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
在平面 内过 作 于点 ，则 平面 ，
设 ，而 ，则 ， ， ，
即 ， ，
所以 ，
于是 ， ，
设平面PAM的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，得 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则
令 ， ，则 ，即 ，
则当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 的夹角余弦值的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
