文档内容
第二次天枢杯线上联考一试
数学
本试卷共5页，20题．全卷满分150分，考试用时120分钟，
注意事项：
1．填空题，主观题请自备答题纸．并将答案提交到对应的答题区．请保持字迹工整．笔记清
晰．字迹不清，提交错误的作答视为无效．
2．考试期间，请考生独立作答，禁止考生查网书籍、使用计算器等辅助工具、或在考试期间
与他人交流．试卷在考试期间禁止外传，考试结束后可以外传，但最好留下作者名称
skyhgzsh．
3．请使用高中课内知识答题，课外“超钢”知识请在答题纸上给出相应定理的证明，如果题
目中不涉及复数的相关内容，则默认范围为实数．自然数默认包含，正整数用 表示，不建
议使用如“趋近于，足够大”等模棚性词语
4．考试结束后．请在规定时间内以雨课堂或QQ私信（QQ：10691923）的途径，将答题纸
以电子版，照片或扫描的方式在府课章的相应位置处提交，未在规定时间内发送的卷子视为
未提交，不计人成绩．
5．本比赛的最终解释权归作者所有．考试期间如对试卷内容等方面有问题，请先通读试题内
容，如仍有疑间，请私信作者．
6．题目顺序不代表难度，部分题目可能难度较高！
7．已知：若 均为非负实数，则 ．取等当且仅当
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义 为全体素数的集合，那么
以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A． ， ， ，
B．
C．
D． 或
2．设复数 ， ．那么如下说法中错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． 在第二象限
C．若 ，那么 D．
3．称数列 和 “同增减”，如果 ， 那么以下说法中正确的是（
）
A．两个单调递增数列 和 是同增减的
B． 和任意数列 有 和 同增减
C． 和任意数列 有 和 同增减
D． 和任意正数数列 有 和 同增减
4．已知平面上四个点 ，其中任意三个不共线．若 ，则直线 一定经过三
角形 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知椭圆 过点 ，其右顶点 ，上顶点 ．那么以下说法
正确的是（ ）
A．设 是半焦距 到 的其中一个焦点的距离），那么必然有
B． 到直线 的距离 不是定值
C． 和 没有交点
D．三角形 面积的取值范围是
6．如下图所示，边长为 的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶
体结构，我们称之为面心立方结构． 和 等部分金属就属于这种结构．若将原子认为是如此分布的等
大实心球，使得最近的两个原子球恰好相切，那么一个边长为 的面心立方正方体品格内被原子球所占据
的部分的体积是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．仍然考虑上面的图形，若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的
两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．已知： ， ， ，那么 三者的关系是（ ）
A． B． C． D．
9．不是方程 的解的选项是（ ）
A． B． C． D．
10．我们称两个正整数 和 互素，当且仅当 和 的最大公因数是1，我们定义 是小于：
的正整数中和 互素的数的个数，例如 ．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下
说法错误的是（ ）
A．有无限多个正整数 使 B．有无限多个正整数 使
C． 的解只有1和2 D．对于任意正整数 ，都有 使得
二、填空题：本题共5小题．每小题6分，共30分
11．定义 ．那么 在 上的取值范围是______．
12．已知在平面 上 和单位圆交于 那么 的可能取值是 函数的定义见
上）______．
学科网（北京）股份有限公司13．若， 的解从小到大排成 那么若 ．则
的整数部分是______．
14．已知三角形 中 是直角， ，若当 变化时 的最小值是
．那么 的可能取值是______．
15．定义 ， 那么以下说法正确的有（填序号）______．
A．
B．除了 以外， 都是奇数
C．对于任章的n，
D．以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形
三、解答题：本题共5小题共80分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
16．（13分）
信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以
度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领城用处颇多，若有一系列基本事件，
以 作为随机变量，则这些事件可以分别认为是 ， ．则对于这些基本事件的总体的熵，
我们用公式 计算．
（1）求抛一面质地均匀的六面骰子的熵
（2）假设一枚硬币，其抛出正面的概率是 ，请计算当 取值为何时其熵最大
（3）在上一问中，假设 ．若 想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串 （如
“0”、“11011”、“1010110”传递给 ，并满足以下条件：
·A和B事先商量好个对应法则
·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应法则编码成 ，将 发送给B
·B可以通过 唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1，2，3次时的正反面
学科网（北京）股份有限公司· 的长度 的期望 尽量小．
例如， 可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果，如表：
正正正 111
正正反 110
正反正 101
反正正 011
正反反 100
反正反 010
反反正 001
反反反 000
从而显然无论如何．都有 成立．从而
请设计一种方案，使得：
（a）
（b）
并证明．（你不需要分别给出方案， 的方案自动满足
17．（13分）
已知一个平行六面体的最长体对角线长度是 ，证明：该平行六面体的体积 ．并指出取等条件．
18．（17分）
我们定义 的函数使得在 上，
证明： 当且仅当
过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设 ， ， ．
得到 关于 ， 的表达式（提示： ，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．
19．（17分）
学科网（北京）股份有限公司已知 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且 和 ，
均相切
（1）求 的表达式和离心率
（2）已知动点 在 的第一象限上运动， 和 相切，和 交于 ，和 交于 。设 右焦点为 ，
证明 是常量，并计算其正切值．
20．（20分）
设
（1）若 ．求 的单调区间，并分析是何种单调．
（2）分析 的零点数量和 的关系．
第二次天枢杯线上联考一试数学答案
1．C
解答
A的意思是不存在偶数 是哥猜的反例
B的意思是两个质数的和作为集合包含了所有大于2的偶数的集合
C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空，也就是两个质数的和都是偶数
D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数．
综上，只有C和哥猜无关，而且C实际上是错的，因为 是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛
盾．
2．A
解答
A注意到 从而A错误
B注意到 ， ，从而设 ，则
，从而在第二象限．B正确．
C代入就发现 ，从而C正确
学科网（北京）股份有限公司D化简就是 ，而后者是 ，从而两个都是有理数，差也是有理数．从而
D正确
从而答案是A．
3．B
解答
A注意到两个数列都是单调递增的，从而两个差都是正的，它们的积也是正数．A正确
B考虑 和 ，注意到其积是—1，和“同增减”矛盾．B正确．
C代入就发现积是 ，从而必然非负．C正确
D注意到 的时候 ，反之亦然．从而 从而D正确．
从而答案是B．
4．D
解答
首先，考虑 和 分别垂直直线 于 和 ，注意到题设等价于 ，也就是 重合，从
而 ，也就是 过三角形 的垂心．
从而答案是D．
5．C
解答通过带入，注意到 ，不妨设 ， ，那么 ，
A注意到当 的时候 ，但是 ，从而A错误
B从而直线 是 ，计算 ，B错误．
C注意到 ，从而有 ，同理 ．从而 ，和 没有交点．C正
确·
D注意到 ，从而 ，也就是1取不到，D错误
从而答案是C．
学科网（北京）股份有限公司6．B
解答题目创意和部分描述来自《暗杀教室》122话，有改动．
由图可得两个原子间最短距离是 ，从而球半径 ，带入公式得到一个球的体积是 ．同时，
一个晶体内包含6个半球和8个 ，也就是4个球，从而总体积是 ，答案为B．
7．A
解答
我们首先假设正方体的一对对顶点是在 和 ，若将 染成 色，那么 ，
， 三个点必然都是 色，而 ， ， 必然都是 色．如此递推
可以恰好染完整个正方体．而当 色固定的时候通过旋转就可以得到 互换的正方体．从而只有三种不同
的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色．
8．C
解答先比较 和 ，注意到 ， ，从而
再比较 和 ，注意到 ，而又有 ．从而只需要证明 ，这是显然的，因为
有常用不等式 从而答案是C
9．B
解答注意到带入可以发现方程是 ，其中 是答案中的选项．
从而只有B带入发现符号相反，从而答案是B．
10．D
解答
A是因为对于任意的奇质数 ，有
B是因为对于任意的正整数 ，有
C是因为当 的时候1和 都和 互素，从而 至少是2
学科网（北京）股份有限公司D错误是因为 是无解的．因为显然对于任意的 ．若 和 互素则 也和 互素，反
之亦然．而当 为偶数时自己和自己对应的 和 不互质．而 的时候 ．从而该方程无
解．综上，D选项是错误的，从而选D
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分．
11．（0，1）
解答求导发现 ，而因为 ，从而分子为负，必然单调减少．又因为
它连续，所以只需要算端点取值即可，右侧 ，从而是左开0，极大值注意到以下放缩
，从而 ，也就是其取不到1但是可以无限接近．从而是右开1，
从而范围是
12．1
解答显然，注意到 从而 ， ．又因为可以证明这个交点满足
，从而 ， ，从而
13．101
解答首先，解 就是解 并且 ，从而可以得到
，结合 可得 从而 ，取对数后就是
注意到
从而我们要证明
学科网（北京）股份有限公司我们把左边放大到 并证明其小于 ，注意到 ，而
（也可以是 ）从而命题成立．也是整数部分是101．
14．
解答题目创意来自Antonio Caminha Muniz Neto的“An Excursion through Elementary Mathematics，
Volume II’”的第275页，有改动．
设 ， ，那么
从而设 ，那么有
从而 ，
因为 ， ，从而 ， ，而
也就是 ，解出 ，也就是 ，带入得到
．因为取正，从而 ，此时注意到 仍然能取到，从
而答案就是 ．
15．BCD
解答本题创意来自第15届大学生数学竞赛初赛A卷第六大题和OEIS的数列A000058
A就是计算： ， ， ， ．所以A错误
B注意到 显然都是整数，从而 必然是偶数，从而+1必然是奇数，B正确
学科网（北京）股份有限公司C首先可以注意到 ，从而 ， ，从而 ，
从而可以证明 ，C正确．
D注意到 ，从而命题成立
从而答案是BCD．
三、解答题：本题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
16．解答第一问：因为六个面，每个面的概率都是 ，
从而
第二问：注意到 ，记录其为 ，
从而 ， ，
从而有下表
— — —
0
1
从而 时熵最大．
第三问：
（a），我们的思路是尽量让更可能的事件用更短的 表示．从而考虑在例子的基础上作如下替换：11代
表三面正，100代表正正反，0001代表正反反，0000代表三面反．
从而有 的概率是 ，有 的概率是 ．计算可得 ．从而方案
满足要求．
（b），我们直接给出编码：
正正正 1
正正反 011
学科网（北京）股份有限公司正反正 010
反正正 001
正反反 00011
反正反 00010
反反正 00001
反反反 00000
计算可得 从而方案满足要求．
17．解答首先，设三个边是 ，那么对于任意的体对角线 ，
， ，
从而可以设 和 反向、 和 反向， 和 反向．则四个体对角线的平方和就是
的对应部分）+ 的对
应部分）
注意到 实际上等于0（因为正负相消），从而其他两个对
应部分也是0，四个体对角线的平方和就是
因为 是最长的，从而其不小于平均值（取等条件是四个都相等，也就是每个角都是直角，也就是它是
长方体），从而
而此时注意到 ，不妨设 是 对应的平面， 是 对应的高．那么 （取等条件是
）
而 本身作为垂线高，也有 （取等条件是 和平面垂直，也就是 ， ， ，从而
学科网（北京）股份有限公司注意到
，从而 （此处三边相等的时候取等）取等条件是该平行六面体就
是立方体．
18．解答本题源自《数学天书中的证明》第五版
首先，显然 ， ， ．
注意到 ，从而
也就是 ．因为 ， ．若 ，
其中 是大于1的奇数
递归初始有 不是 的倍数．
若 ， 不是 的倍数，那么 不是 的倍数，
而 是．从而 也不是 的倍数．
从而 总不是 的倍数，从而总不是 的倍数．
若 （其中 是整数），那么 ，从而 ．
但是 不是 的倍数，从而 不是整数， 更不可能是1，矛盾
若 ， ，
定义 而初始有 是奇数
若 是奇数，那么 是偶数和奇数的和，从而是奇数
学科网（北京）股份有限公司从而 当 时总是奇数．
如上，类似地有 ，但是 是奇数除以偶数，从而必然不是整数，矛盾．综
上，命题成立．
19．第一问：首先，注意到焦点和长轴顶点贡献，从而不会共圆．从而焦点和短轴顶点共圆．
因为焦点到短轴顶点的距离就是 ，结合对角互补，可得它们实际上构成了一个正方形，从而 ，
也就是 ，从而 ，代入 ，也就是 恰好有
一个解，也就是 ， ．
也就是 ， ．
从而斜率 必然存在且非0，设切线
第二问：设
得到
代入
因为 在 上，从而 ，从而 ．
因为解只有 ，从而第二个因素的解也是 ，也就会 ，或者说是 ，
从而 ，也就是
联立 和 ，解出 ，
同理有
从而 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
注意到因为 ，从而 ．从而写出所求角度 的正切值表达式．
（1）
（2）
（3）
（4）
先处理分子：
再处理分母：
当 时候注意到能解出 ，此时 和 重合，与它们只有交点相矛盾．而 不可能是
0．
从而 ，又注意到通过画图可知该角度在 变化的时候 恒为锐角，从而其
是定角．
20．解答第一问：
在本问中
．
注意到 ，从而 的正负只和 有关，从而可作出下表：
学科网（北京）股份有限公司+ 0 — 0 +
从而 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
第二问：
时注意到 恒成立，从而没有零点．
时，注意到所求可以化为 的解的数量．而此时若设 ，
，则 ， 从而可以作下图：
0
+ + + 0 — —
0 0
0 1
— — 0 + + +
0 0
当 时，注意到 ，注意到 ，
从而 单调递增，零点若有则至多有一个．
注意到设 时有 ， ，从而
学科网（北京）股份有限公司设 时有 ，从而 从而在 上必然有一个零点．从
而总是有一个零点． 时候，我们考虑 ，注意到 ，从而可作出下表：
1
0 — 0 + + +
1
从而其在 之间有一个零点，设其为 ，从而考虑 ，
其在 上的正负性和 一样，从而 先单调减少后单调递增，
其极小值点就是最小值点，在 处取到．
注意到 ，从而此处 ，
从而当 时 的最小值比0大，此时没有零点；
当 时 的最小值恰好就是0，从而只有一个零点；
时 在 处小于0，在 时
当 ，
从而 上有一个零点．
注意到 时），当 时 ，从而在
时 ，从而在 上有一个零点．从而此时共有两个零点．
综上，当 时 没有零点，当 或者 时有一个零点；当 时有两个零点．
学科网（北京）股份有限公司
