文档内容
2024—2025 学年度上学期期中考试
高二数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第二、三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得.
【详解】由 ，得倾斜角为 ．
故选：C.
2. 已知抛物线 ，则抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出 ，由抛物线定义可得解.
【详解】由抛物线 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
故抛物线 的焦点到准线的距离是 .
故选：B
3. 已知椭圆 的短轴长为4，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据短轴长求得 ，讨论 大小及椭圆定义求参数.
【详解】由 的短轴长为4，得 ，即 ，则 ，
若 ，则 ，显然矛盾；
若 ，则 ．
经验证，当 时，椭圆 的短轴长为4，
故选：B
4. 若方程 表示一个圆，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为圆 的一般方程，利用 列式即可求.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若方程 表示一个圆，则 ，
方程可化为 ，
所以 ，解得 ，且 不等于0，
所以 或 .
故选：D
5. 已知直线 与抛物线 相交于 两点，且线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为（
）
A. B. 2 C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据点 在抛物线上，利用点差法可求直线斜率.
【详解】设 ，则 ，两式相减得 .
因为线段 的中点坐标为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
6. 如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为 且焦距为 的双曲线的一部分.忽略笔筒
的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据题意求出 ，该笔筒中间最窄处 直径为 得解.
【详解】依题意可得 ，所以 ，
所以该笔筒中间最窄处的直径为 .
故选：B.
7. 已知圆A： 内切于圆P，圆P内切于圆B： ，则动圆P的圆心轨迹方
程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得： ， ，再利用 ， ， 的关系求解方程即可.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
设圆 的半径为 ，
由于圆 内切于圆 ，所以 ；
由于圆 内切于圆 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，
所以点 的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆.
则 ， ，所以 ， ；
所以动圆 的圆心的轨迹方程为 .
故选：A
8. 已知 为曲线 上任意一点， ， ，则 的最小值为（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【详解】由 ，得 ，所以 为双曲线 右支，
的
为该双曲线的左焦点．设右焦点为 ，则 ，
所以 ．所以 ，
当且仅当点 在线段 上时，等号成立，所以 的最小值为 ．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ： ， ： ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时， B. 存在实数m，使得
C. 当 时， D. 与直线 之间的距离为
【答案】AD
【解析】
【分析】通过 的取值结合垂直和平行的要求判断A，B，C；，利用平行线间的距离公式判断D.
【详解】对于A，当 时， ： ， ： ，
此时 ，所以 ，故A正确；
对于B，当 时， 且 ，无解，
在
故不存 实数m，使得 ；故B错误；
对于C，当 时， ： ， ： ，
此时 ，所以 与 不垂直，故C错误；
对于D，因为 且 ，所以 与直线 平行，
距离为 ，故D正确，
故选：AD.
10. 已知圆 与直线 ，点 在圆 上，点 在直线 上，则
下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则直线 与圆 相切
B. 若圆 上存在两点关于直线 对称，则
C. 若 ，则
D. 若 ，从 点向圆 引切线，则切线长的最小值是
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学科网（北京）股份有限公司【答案】BC
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆 上存在两点关于直线 对称可得直线
过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知 的最小值为圆心到直线的距离减去半
径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当 最小时，切线长最小，结合点
到直线的距离求解可知选项D错误.
【详解】A.由题意得，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 .
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 与圆 相离，故A不正确.
B.若圆 上存在两点关于直线 对称，则直线 经过圆 的圆心，
∴ ，解得 ，故B正确.
C.
若 ，则圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，故C正确.
D.若 ，从 点向圆 引切线，设一个切点为 ，连接 ，则 ，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， 取得最小值 ，此时 取得最小值，即 ，故D不正确.
故选：BC.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于A，B两点，其中点 在
第一象限．若动点 在 的准线上，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 当 为等腰三角形时，点 的纵坐标的最大值为
C. 当 的重心在 轴上时， 的面积为
D. 当 为钝角三角形时，点 的纵坐标的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】求得直线 的方程与抛物线方程联立求得 ， ，利用向量数量积的坐标运算求得最
小值，可判断A；要使得点 的纵坐标最大，则 ，据此计算可判断B；求得重心坐标
，重心在 轴上时，可求 ，进而可求面积判断C； 为钝角三角形时，点 的纵坐
标的取值范围判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意可得 ，直线AB的方程为 ，
代入 ，消去 得 ，解得 ， ，
因为点 在第一象限，所以 ， ．
的准线方程为 ，设 ，
则 ， ，
所以 ，故A正确．
当 为等腰三角形时，要使得点 的纵坐标最大，则 ，
即 ，且 ，解得 ，故B错误．
的重心坐标为 ，即 ，
当 的重心在 轴上时， ，得 ，
的面积为 ，故C正确．
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学科网（北京）股份有限公司当 ， ， 三点共线时， ， ， ，
所以 ，解得 ．
由A分析知 ，得 为锐角或直角，
当 为直角或 为直角时， 或 ，
所以 ， ，
解得 或 ，
当 为钝角三角形时， 且 ，
所以 ， ，
解得 且 ，
所以点 的纵坐标的取值范围为 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线 的虚轴长为______，以 的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得
答案.
【详解】由 ，得 ，则 ， ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以双曲线 的虚轴长为 ，左焦点的坐标为 ，
则所求圆的标准方程为 ．
故答案为： ；
13. 在 中， ， ， ，则点 的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设点 ，分别表示 与 ，化简即可.
【详解】设点 ，
则 ， ，
则 ，
化简可得 ，
故答案为： .
14. 已知P为椭圆C上一点， ， 为C的两个焦点， ， ，则C的离心率为
________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可
【详解】如图，取线段 的中点M，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
设 ，
所以C的离心率为
，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 轴上，实轴长为8，离心率为 ；
（2）焦点在 轴上，焦距为 ，渐近线方程为 .
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程.
【小问1详解】
因为双曲线焦点在 轴上，实轴长为8，离心率为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
【小问2详解】
依题意，可设所求双曲线的标准方程为 .
因为焦距为 ，所以 ，
所以 .
又渐近线方程为 ，所以 ，
则 ，所以所求双曲线的标准方程为 .
16. 已知 是抛物线 上的一点.
（1）求 的焦点坐标与准线方程；
（2）若直线 经过 的焦点，且与 交于 两点，求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）焦点坐标为 ，
（2）
【解析】
【分析】（1）将点 代入抛物线，求出 的值，即可得到结果.
（2）联立直线和抛物线，表示弦长，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
∵ 是抛物线 上的一点，
∴ ，解得 ， ，
∴ 的焦点坐标为 ，准线方程为 .
【小问2详解】
由（1）得抛物线 .
∵直线 经过 的焦点，∴ .
由 得 .
设P(x ,y )，Q(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 .
17. 已知圆 （ 为常数）．
（1）当 时，求直线 被圆 截得的弦长．
（2）证明：圆 经过两个定点．
（3）设圆 经过的两个定点为 ， ，若 ，且 ，求圆 的标准方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当 时利用配方求出圆 的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心 到直线
的距离 ，再由 可得答案；
（2）由 令 与 联立解方程组可得答案；
（3）（方法一）设 的中点为 ，由 得 求出 可得答案．（方法二）由
利用两点间的距离公式求出 可得答案．
【小问1详解】
当 时，圆 ，
此时，圆 的圆心为 ，半径 ．
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学科网（北京）股份有限公司则圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 被圆 截得的弦长
为 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，
令 ，因为 为常数
所以得 ，由
解得 或 ，
所以圆 经过两个定点，且这两个定点的坐标为 ；
【小问3详解】
（方法一）设 的中点为 ，
不妨设 ，则点 的坐标为 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以圆 的标准方程为 ．
（方法二）不妨设 ，因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
所以圆 的标准方程为 ．
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B 两点均在 C 上，且
， .
（1）若 ，求C的方程；
（2）若 ，直线AB与y轴交于点P，且 ，求四边形AFBF 的周长.
1 2
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出 即可.
（2）令 ， ，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出 ，进而求出四边形周长.
【小问1详解】
由椭圆定义知， ， ，
由 ，得 ，
为
若 ，则 等腰直角三角形， ，解得 ，
所以C的方程为 .
【小问2详解】
若 ，不妨设 ， ，则 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司， .
由 ，点P在y轴上，且 ，
得 ，且 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
同理得 ，
即 ，整理得 ，
令此方程二根为 ，则 ， ，即有 ，
则 ， 解得 ，
所以四边形AFBF 的周长为 .
1 2
19. 已知 为坐标原点，动点 到 轴的距离为 ，且 ，其中 均为常数，动点 的轨
迹称为 曲线.
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学科网（北京）股份有限公司（1）判断 曲线为何种圆锥曲线.
（2）若 曲线为双曲线，试问 应满足什么条件？
（3）设曲线 为 曲线，斜率为 且 的直线 过 的右焦点，且与 交于 两个不
同的点.
（i）若 ，求 ；
（ii）若点 关于 轴的对称点为点 ，试证明直线 过定点.
【答案】（1）椭圆 （2） 且
（3）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，根据 曲线的定义，可得 的坐标满足的方程，分析可得结果.
（2）将 整理为 ，根据双曲线方程的特点分析可得结果.
（3）（i）先根据 为 曲线可得曲线 的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果；
（ii）先设出直线 的点斜式方程，由对称性得直线 经过的定点必在 轴上，令 ，结合韦达定
理化简可得定点坐标.
【小问1详解】
设 ，由 ，得 ，
当 时， ，即 ，所以 曲线为椭圆.
【小问2详解】
由 ，得 .
若 曲线为双曲线，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 可化为 ，
所以 ，则 ；
故 应满足 且 曲线为双曲线.
【小问3详解】
由 ，得曲线 的方程为 ，
则 的右焦点坐标为 ，所以直线 的方程为 .
联立 得 .
设 ，则
（i）若 ，则
.
（ii）因为点 关于 轴的对称点为点 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线 的方程为 ，
根据对称性可知，直线 经过的定点必在 轴上，
令 ，得
.
当 且 时，
，
故直线 过定点 .
【点睛】本题难点在于理解并应用 曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用.
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学科网（北京）股份有限公司
