文档内容
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高中数学公式
第一部分：集合、条件、不等式
⑴常用数集：正整数集N(N )，自然数集N ，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
1、集合 ⑵子集（包括真子集和相等）、交集、并集、补集、全集、空集（是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）
⑶含n个元素的集合个数：子集有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
定义：可以判断真假的陈述句叫命题。
四种命题：①原命题：若p则q； ②逆命题：若q则p；
2、命题
③否命题：若p则q； ④逆否命题：若q则p
注：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。四种命题的真假个数：0个，2个，4个
① p是q的充分不必要条件（p是q的真子集） ② p是q的必要不充分条件（q是p的真子集）
3、条件
③ p是q的充要条件 （p = q相等） ④ p是q的既不充分也不必要条件（p、q互不包含）
技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的
⑴逻辑联词或且非，或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换。
4、逻辑连 ①且(交集）： pq； ②或（并集）： pq； ③非（结论否定）：p .
词、量词
⑵量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式。全称命题 p：x；特称命题p：x；
两项：⑴ 直接开平方；（形如x2 1） ⑵ 提取公因式；（形如x2 2x 0）；
b b2 4ac
三项：⑶ 十字相乘法；⑷ 配方法（提；配；括；完） ⑸公式法：求根公式：x
5、二次方 2a
程 b
判别式b24ac：韦达定理：
x
1
x
2
a
x x c
1 2 a
a
>1⇔a>b
b
a－b>0⇔a>b
a
两个实数比较大小的方法：(1)作差法：与0比a－b＝0⇔a＝b (2)作商法：与1比 ＝1⇔a＝b (b>0)
b
6、不等式
a－b<0⇔ab a>b a>b a>b>0
(1)乘法 ⇒ac>bc ⇒acb＋d (3)同向相乘 ⇒ac>bd
c>0 c<0 c>d c>d>0
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⑴ ax2＋bx＋c＞0的解集{x| x x 或x x } “大于取两边”
1 2
7、二次不 ⑵ ax2＋bx＋c＜0的解集{x| x x x } “小于取中间”
1 2
等式
a 0 a 0
若f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则当 时，f(x)>0恒成立；当
时，f(x)<0恒成立.
Δ 0 Δ0
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
方法：⑴ 配方法，顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n 对称轴x＝m；顶点（m，n）
8、二次函
数
⑵ 十字相乘法，交点式：f(x)＝a(x－x
1
)(x－x
2
) 与x轴的交点：x＝x
1、
x
2
⑶ 对称轴方程：x b x 1 x 2 顶点坐标：( b , 4acb2 )
2a 2 2a 4a
f(x) f(x)
9、分式不 (1) >0 ⇔ f(x)·g(x)>0． (2) ≥ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≥ 0且g(x)≠0.
g(x) g(x)
等式
f(x) f(x)
(3) <0 ⇔ f(x)·g(x)<0． (4) ≤ 0 ⇔ f(x)·g(x) ≤ 0且g(x)≠0.
化整式 g(x) g(x)
若a＞0， ⑴ x a a x a “小于取中间”
10、绝对值 ⑵ x a x a 或 x a “大于取两边”
不等式
若c＞0， ⑴ |ax＋b| < c －c < ax＋b < c；
⑵ |ax＋b| ＞ c ax＋b＞c或ax＋b <－c
第二部分：函数、导数
根式运算： a b ab； a a a b ab 整数幂：⑴an aaa(n个a相乘) ⑵an 1 ⑶
b b b b b an
1、指数运 a0 1(a0) 分数幂：⑴ an 1 na ⑵ a m n nam ⑶a m n 1
算 nam
指数运算：aman amn；am
amn；abm ambm；(am)n amn
an
⑴ 指数与对数互化：xlog N ax N(a0,a1,N 0)
a
⑵ 对数恒等式：⑴log 10 ⑵log a1 ⑶ alog a N N ⑷log aN＝N （指对之后还是N）
a a a
⑶ 常用对数：lgN ＝log N；自然对数：lnN＝log N (e 2.7)
10 e
2、对数运
算 ⑷ 对数的运算: ① 加乘：log M log N log (MN) ② 减除：log M log N log M
a a a a a a N
n
③ 顶在外：log bn nlog b ④ 顶在外，体位不变：log bn log b
a a am m a
log b
⑤ 体位不变：log b c （学名换底公式，常用在对数的乘法运算中，但不常用）
a log a
c
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3、函数的 1
⑴分式： (x≠0) ⑵偶次方根：√𝑥 (𝑥≥0) ⑶零指数幂：𝑥0 (𝑥≠0) 𝑥−𝑛 (𝑥≠0) ⑷对数：log 𝑥 (𝑥>0)
𝑎
定义域 x
求函数解析式的4种方法
4、函数的
1
解析式 (1)换元法（从前到后）(2)配凑法（从后到前）(3)待定系数法．(4)解方程组法：f(x)与f( ) f(－x)解方程组．
x
设x、x [a,b],那么
1 2
f(x )－f(x )
⑴ 若x x，f(x ) f(x ) 0 f(x)为增函数；若 1 2>0 ⇔ f(x)为增函数 （同号为增）
5、函数的 1 2 1 2 x 1 －x 2
单调性 f(x )－f(x )
⑵ 若x x，f(x ) f(x ) 0 f(x)为减函数；若 1 2<0 ⇔ f(x)是减函数 （异号为减）
1 2 1 2 x－x
1 2
复合函数f(g(x))的单调性：f(u)、u＝g(x) “同增异减”
偶函数：⑴ 定义域关于原点对称 ⑵ f(x) f(x) 偶函数图象关于y轴对称。
6、函数的
奇函数：⑴ 定义域关于原点对称 ⑵ f(x)f(x) 奇函数图象关于原点对称。
奇偶性
公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
ab
对称轴：f(a＋x)＝f(a－x) ⇔ f(x)图像关于直线x＝a对称． f(a＋x)＝f(b－x) ⇔ 对称轴x
7、函数的 2
对称性 ab
对称中心：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(x)图像关于点(a，b)对称． f(a＋x)＋f(b－x)＝0 ⇔ 对称中心（ ，0）
2
1 1
(1)f(x＋a)＝f(x)，T＝a． (2) f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a． (3) f(x＋a)＝ ，T＝2a． (4) f(x＋a)＝－ ，T＝2a．
f(x) f(x)
1
(5)f(a＋x)＝f(b＋x)，T＝ab．(6) 两个对称轴是半个周期 T：f(x)关于直线x＝a，x＝b对称，那么T＝2ab．
8、函数的 2
周期性 1
(7) 两个对称中心也是半个周期 T：f(x)关于点（a，0）（b，0）对称，那么T＝2ab．
2
1
(8) 对称轴与对称点是 个周期：f(x)关于直线x＝a、点（b，0）对称，那么T＝4ab． 三角函数图像可证明678
4
(1)一次函数：y kx b (k≠0) k：斜率 b：y轴上的截距 ①k>0,递增；②k<0，递减。
(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c (a≠0) ①看a；②看Δ；③画图；④求解
9、常见的 (3)三次函数：y ax3 bx2 cx d 求导
五种函数
k
(4)反比例函数：y (k≠0) ①k>0,图像在一、三象限；②k<0，图像在二、四象限。
x
a
(5)双勾函数：y x (a>0) ①x>0,当x＝ a时，y min ＝2 a；②x<0,当x＝ a 时，y max ＝ 2 a
x
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a b a2 b2
10、基本不 ⑴ab2 ab；a2 b2 2ab； ⑵ ab ( )2
2 2
等式
满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：ab≤均值的平方≤平方的均值 .
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数零点存在性定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则存在零点．函数单调，则存在一个零点。
11、零点问
函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；
题
(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断
幂函数定义：形如y＝xα 的函数称为幂函数
当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数 当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
1
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝ ＝x1
y x x2
x
函数
图象
12、幂函数
定义域：x左右 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域：y上下 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
(－∞，0)减 (－∞，0)和
单调性 增 增 增
(0，＋∞)增 (0，＋∞)减
公共点 (1,1)
指数函数
①a>1 ②00时，y > 1； 当x> 0时，0 < y < 1；
性质
当x<0时，0 < y < 1 当x < 0时，y > 1
在(－∞，＋∞)上是增函数（同号） 在(－∞，＋∞)上是减函数（异号） c>d>1>a>b
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对数函数
①a>1 ②01时，y>0； 当x>1时，y<0；
性质
当00
在(0，＋∞)上是增函数（同号） 在(0，＋∞)上是减函数（异号） 00，右侧f′(x)<0，那么f(x)是极大值；
0 0
②如果在x 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x)是极小值
0 0
6、函数的最值
①连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值．
②将函数的极值与端点处的值f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．
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第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）
1、
⑴ 角的概念：任意角的定义；正角（逆）、负角（顺）、零角；象限角轴上角；终边相同的角（代表+周期）
角的概念
与弧度制 ⑵ 角度制与弧度制的互化： 180 ，1 57
⑴ 圆的周长c 2 r；圆的面积S r2
2、
扇形弧长 ⑵ 扇形的弧长公式：𝒍=|𝜶|𝒓；
扇形面积
⑶ 扇形面积公式：𝑺= 𝟏 𝒍𝒓= 𝟏|𝜶|𝒓𝟐.
𝟐 𝟐
⑴ 三角函数的定义:角终边上任一点P(x,y),设|OP|r
则：sin 对 y cos 邻 x tan 对 y
斜 r 斜 r 邻 x
⑵ 三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦
⑶ 特殊角的三角函数值：（单位圆或查表）
3、三角函 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
数的定义 弧度 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 5𝜋 3𝜋
0 𝜋 2𝜋
6 4 3 2 3 4 6 2
sin α 1 √2 √3 √3 √2 1
0 1 0 −1 0
2 2 2 2 2 2
cos α √3 √2 1 1 √2 √3
1 0 − − − −1 0 1
2 2 2 2 2 2
tan α √3 √3
0 1 √3 不存在 −√3 −1 − 0 不存在 0
3 3
⑴ sin2θ＋cos2θ＝1 知一求二sinθ、cosθ、tan θ；平方搭桥(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
4、同角关
sin θ
系式 ⑵ tan θ＝ . 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以cosθ）
cos θ
⑴ 诱导公式的作用：化简大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角.
5、
⑵ 谨记：出现轴上角才用诱导公式
诱导公式
⑶ 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
⑴S ：sin(α±β)＝sinα cosβ ± cosα sinβ； ⑵C ：cos(α±β)＝cosα cos β ∓ sinα sinβ；
α±β α±β
6、两角和 tan α±tan β
⑶T ：tan(α±β)＝ .
α±β 1∓tan αtan β
差
配角技巧：所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式。
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⑴ sin22sincos. ⑵cos2cos2sin22cos2112sin2.
7、二倍角、
2tan 1cos2 1cos2
降幂公式 ⑶tan2 . 降幂公式： cos2 ;sin2 .
1tan2 2 2
y sinx y cosx y tanx
图象
定义域 R R {x| x k}
2
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性T 2 2
奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 偶函数，图像关于y对称 奇函数，关于原点对称
当x 2k ，y 1 当x 2k， y max 1
2 max 无最大值
最值
当x 2k，y 1
8、三角函 min 无最小值
当x 2k ，y 1
数图像 2 min
增
函 [ 2k, 2k] [2k,2k]
单 2 2
数 ( k, k)单
调 2 2
减
性 3 调递增，无递减区间
函 [ 2k, 2k] [2k,2k]
2 2
数
k
对 点 对称中心（k,0） 对称中心（k ,0） 对称中心（ ,0）
2 2
称
直
性 对称轴x k 对称轴x k 无对称轴
线 2
1 1
周期与对称性之间的关系：相邻两对称中心（两对称轴）间隔半个周期 T；相邻对称中心与对称轴间隔 T。
2 4
9、辅助角 yasinxbcosx a2 b2 sin(x) tan其 b 中, sin b ，cos a
公式 a a2b2 a2b2
( π)
y＝sin x经过图像变换得到y＝2sin 2x＋ ＋1：
3
π ( π) 1 ( π)
方法一：①向左平移 ，得到y＝sin x＋ ；②横坐标缩短到原来的 倍，得到y＝sin 2x＋ ；
10、三角函 3 3 2 3
数的图像
( π) ( π)
③纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 2x＋ ；④向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x＋ ＋1．
变换 3 3
1 π ( π) ( π)
方法二：①横坐标缩短为原来的 倍，得到y＝sin 2x；②向左平移 ，得到y＝sin 2 x＋ ＝sin 2x＋ ；③④同上
2 6 6 3
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M－m M＋m 2π
(1)A＝ ，(2)B＝ . (3)ω：先求周期T，再由T＝ 得ω.
2 2 ω
把A、B、ω代入y＝Asin(ωx＋φ)＋B中
11、三角函
(4)φ：代特殊点：上升点（2k,0）、最高点（ 2k,1）下降点（2k,0）最低点（3 2k,1）
数的解析 2 2
式 即得统一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B
三角函数图像化简思路：
二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差） 即化成统一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ) （A 0） 方法：整体代入
2
⑴ 周期：T
π
12、 ⑵ 奇偶性：当φ＝kπ＋ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±Acosωx偶函数；当φ＝kπ时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±sinωx奇函数
2
正弦型函 ⑶ 最值：当ωx＋φ＝ π
2
＋2kπ时，y最大；ωx＋φ＝ ＋2kπ时，y最小。
数的性质 2
3
⑷ 单调性：增区间： 2kx 2k 减区间： 2kx 2k
2 2 2 2
π
⑸ 对称轴：ωx＋φ＝kπ＋ ；对称中心：ωx＋φ＝kπ
2
⑴ 三角形内角和定理：ABCC(AB)
①sin C＝sin(A＋B)； ②cos C＝－cos(A＋B)； ③tan C＝－tan (A＋B)；
⑵ 三边关系： 两边之和大于第三边 a+b>c ；两边之差小于第三边 a−b0时，λa与a的方向相同；
算
②当λ<0时，λa与a的方向相反；
③当λ＝0时，λa＝0
共线向量定理
⑴ 若向量a与b共线，则b＝λa.（λ唯一）
3、共线向 → 1 → →
⑵ 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB)
2
量定理、定
比分点 ⑶ O → A＝λO → B＋μO → C，A，B，C三点共线 ⇔ λ＋μ＝1.
定比分点：若AP PB,则
0P
1
0A
0B
1 1
平面向量基本定理：a＝λe＋λe. 不共线的向量e，e 叫做平面内的一组基底，λ，λ 唯一．
1 1 2 2 1 2 1 2
⑴ 原点（0,0）点A（x , y），则OA （x, y）终点减起点，模 OA x2 y2 .
⑵ 点A（x 1 , y 1 ），点B（x 2 , y 2 ），则AB (x 2 x 1 , y 2 y 1 )终点减起点， AB (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2
4、坐标运
算 ⑶ OA （x, y），为实数，则OA （x,y）
⑷ ax,y ，bx ,y ，则ab x x ,y y ，a b (x x , y y )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x y y
⑸ 点A（x , y），点B（x , y ）的中点坐标为（ 1 2 ，1 2 ）
1 1 2 2 2 2
→ →
⑴向量的夹角：OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，夹角范围[0，π]．
a·b
5、数量积 ⑵数量积定义：a·b=|a||b|·cos θ 夹角公式cos θ＝ 锐角⇔a·b>0；钝角⇔a·b<0
|a||b|
公式
⑶投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
⑷a⊥b⇔a·b＝0. a·a＝|a|2 |a·b|≤|a||b|.
第 19 页 共 22 页吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了.
⑸当a与b同向，a·b＝|a||b|；当a与b反向，a·b＝－|a||b|
⑹设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则向量的数量积a·b＝xx＋yy，
1 1 2 2 1 2 1 2
a·b xx＋yy
向量垂直：a⊥b ⇔ xx＋yy＝0. 向量平行： a∥b⇔ x y＝x y cos θ＝ ＝ 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 |a||b| x2＋y2 x2＋y2
1 1 2 2
⑺平面向量数量积运算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(1) 复数的定义：形如z=a＋bi的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部(i为虚数单位)．
(2) 规定：i2 1
(3) 𝔦的幂的周期性：周期T=4
𝖎𝟎=𝟏，𝖎𝟏=𝖎， 𝖎𝟐=−𝟏， 𝖎𝟑=−𝖎 ，𝖎𝟒=𝟏 ， 𝔦5=𝔦 …
(4)复数的分类：
实数：b 0,z a bi a
6、复数 复数
虚数：b 0,z a bi 纯虚数a 0,z bi
(5)复数相等：a＋bi＝c＋di ⇔ a＝c且b＝d
(6)共轭复数：z=a＋bi的共轭复数为z abi ，且zz (abi)(abi） a2 b2i2 a2 b2
(7)复数的模：复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2．
(8)在复平面的象限：复数z＝a＋bi与点(a，b)的象限相同．
第 20 页 共 22 页吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了.
第八部分：排列组合、二项式、期望方程
1．加法原理：做一件事有n类办法，则方法数N=m +m +……+m
1、计数原 1 2 n
理 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则方法数N=m m …m
1 2 n
排列定义：n中取m，m排一排（有顺序）
n！
⑴ .排列公式：Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ⑵ 全排列 An nn1n2 21n!
n n－m！ n
注意：0! 1，A0 1,A1 n
n n
2、排列组
组合定义：n中取m（无顺序）
合
Am nn－1n－2…n－m＋1 n！
⑴ 公式：Cm n ＝ A n m ＝ m！ ＝ m！n－m！ 注意：C n 0 1，C n n 1，C n 1 n
m
⑵ 组合的性质：① Cm =Cnm ；若Ca Cb,则a b或ab n
n n n n
②
Cm +Cm1 =Cm
（头取大，底加1）.
n n n1
⑴ 二项展开式共n1项：abn C0an C1an1bC2an2b2 Cranrbr Cnbn
n n n n n
⑵ 展开式中的通项公式： T Cranrbr （第r1项）
r1 n
⑶ 二项式系数：C0,C1, ,Cn ， 二项式系数之和：C0C1 Cr Cn 2n；
n n n n n n n
偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即C0C2C4 C1C3C5 2n1
n n n n n n
⑷ 中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为1时，各项的系数等于二项式系数。
当n是偶数时，中间项仅有一项为 ；当n是奇数时，中间项有两项T 和T .
T n-1 n1
n 2 1 2 1 2 1
3、二项式 ⑸ 各项的系数：是指未知数前面的系数。(axb)n a a xa xa xn1 a xn
0 1 2 n1 n
赋值法：① 令x0；a (a b)n
0
② 令x1；a a a a (ab)n （各项的系数之和）
0 1 2 n
③ 令x 1；a a a a a (ab)n
0 1 2 3 n
1
由①③得a a a (②+③)
0 2 4 2
1
a a a (②-③)
1 3 5 2
第 21 页 共 22 页吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了.
1．离散型随机变量的均值与方差
随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示
步骤：第一步列表；第二步代公式
变量X x x … x … x
1 2 i n
概率P p p … p … p
1 2 i n
分布列的性质①: p i0，（i＝1,2,3…n） ②: p
1
＋p
2
＋p
3
＋…＋p
n
＝1.
(1)期望：E(X)＝x p ＋x p ＋…＋xp＋…＋x p
1 1 2 2 i i n n
(2)方差： DX n x EX2p
i i
i1
期望方差的性质：
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)
(3)D (𝒙)＝E(𝒙𝟐)－[𝑬(𝒙)]𝟐
2．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布: X 0 1
P 1－p p
4、
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
期望
(2)超几何分布：在含有M 个特殊元素的N 个元素中，不放回的任取n件，其中含有特殊元素的个数记为X ，
方差
CkCnk
则有PX k M NM ,k 0,1,2, ,m，即：
Cn
N
X 0 1 m
C0Cn0 C1Cn1 CmCnm
P M NM M NM M NM
Cn Cn Cn
N N N
(3)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为 p，设在n次试验中事件A发生的次数为随机变量
X，则有PX kCkpk1 pnk,k 0,1,2, n ，即：
n
X 0 1 k n
P C01 pn C1p1pn1 Ckpk1 pnk Cnpn
n n n n
若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
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