中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期12月月考试题数学PDF版含答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷

标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试 数学试卷 本试卷共 150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1． 已知集合 第1页 共4页 第2页 共4页 P =  1 , 2 , 3 , 4  , Q =  − 2 , 2  ，下列结论成立的是 A． Q  P C． P Q = Q B． P Q = P D． P Q =  2  2． 已知 a  R ， i 为虚数单位，若复数 ( 2 + i ) ( a + i ) 的实部与虚部相等，则 a = A． − 3 B． − 2 C． 2 D．3 3． 已知 s i n ( ) 2 s i n s i n , t a n t a n 2       + = = − ，则 t a n ( )   + = A． − 4 3 B． 4 3 C． − 2 D． 2 4． 斜率为1的直线 l 经过 ( 1 , 0 ) 点，且与抛物线y2 =4x交于 A , B 两点，则 A B = A．4 B． 4 2 C． 8 D． 8 2 5． 已知 P ( A ) 、 P ( B ) 分别表示随机事件 A 、 B 发生的概率，则 1 − P ( A B ) 是下列哪个事件的 概率 A．事件 A 、 B 同时发生 B．事件 A 、 B 至少有一个发生 C．事件 A 、 B 都不发生 D．事件 A 、 B 至多有一个发生 6． 已知0a1，设m=log a,n=log 4，则 2 a m + n 的取值范围为 A． ( −  , − 2  B．  − 2 , 0 ) C．(0,2 D．  2 , +  ) 7． 设 f ( x ) = x ( x − 3 ) 2 ，若方程 f (x)=k(kR) 有3个不同的根a,b,c，则 a b c 的取值范围为 A． ( − 4 , 0 ) B． ( − 2 , 0 ) C． ( 0 , 4 ) D． ( 0 , 2 ) 8． 已知双曲线的左、右焦点为F (−2,0),F (2,0) ，的一条渐近线为 1 2 y = x 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分. 9． 已知直线l:x x+ y y=m与圆C:x2 + y2 =1， 0 0 ，点P位于第一象 限且在双曲线上，点M 满足：FPM =MPF ,MF ⊥MP，则 MF + MF 的最大值为 1 2 1 1 2 A．2 6 B．4 2 C． 2+ 10 D．4 6 P ( x 0 , y 0 ) ，则下列判断正确的是 A．若点 P 在圆 C 上，且直线l与圆 C 相切，则 m = 1 B．若点 P 在圆 C 内，且 m = 1 ，则直线 l 与圆 C 相交 C．若 m = 1 , y 0 = 2 ，则直线 l 与圆 C 相交 D．若 m = 0 ，则直线 l 截圆 C 所得弦长为2 10．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相 等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是 A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 11．已知等差数列  n   的公差为， b n c o s n  = ，数列b 的前 n n 项和为 S n ， S =  S n n  N *  ， 若存在 1 ，使得 S =  a , b , c  ，则可能的取值为 A．  3 B．  2 C． 2  3 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，在正方形 A B C D 中， E 是 A B 的中点，F 在 B C 上且 C F = 2 F B ， A F 与 D E 交于 点 M ，则 c o s  D M F = ． 13．已知 f ( x ) = s i n x ，记函数 y = f ( x ) 在闭区间 I 上的最大值为 M ．若正数 I k 满足 M 0 ,k  = 2 M k ,2 k  D C M F A E B （第12题图） ，则k = ． 14．已知 f (x)=ex −ax,g(x)=lnx−ax ，若对任意 x (0,+)，都存在 x (0,+)，使得 1 2 f (x )g(x )=xx ，则实数a的取值范围为 ． 1 2 1 2 {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设等差数列 第3页 共4页 第4页 共4页  a n  的前n项和为S ，已知S =−15． n 3 （1）若a =−7，求 1  a n  的通项公式； （2）若对于任意 n  N * ，都有S  S ，求公差 n 7 d 的取值范围． 16．（15分）如图所示，在四棱锥 P − A B C D 中，底面 A B C D 为平行四边形，点 E 为棱 P D 的中点． （1）设平面 A B E 与直线PC相交于点 F ，求证： E F 平面 A B C D ； （2）若 P D ⊥ 平面ABCD， B C = C D = 2 ,  B C D = 6 0  , P D = 2 2 ，求直线 B E 与平面 P C D 所成角的大小． 17．（15分）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业 完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长 n 与学业成绩m的数据表： 平均作业时长 n （单位：小时）  1 ,1 .5 ) 1 .5 , 2 )  2 , 2 .5 )  2 .5 , 3 )  3 , 3 .5 ) 学业成绩优秀： 9 0  m  1 0 0 1 14 37 43 5 学业成绩不优秀： 0  m  9 0 136 137 102 18 7 （1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时 有关？ ( ) P B A ( ) （2）常用L B A = ( ) 表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似 P B A 然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人， ( ) A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L B A =0.2，求 P ( A ) 18．（17分）设 ． n(ad −bc)2 附：2 = ,P ( 2 3.841 ) 0.05． (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) f ( x ) = a l n x + 1 x ． （1）当 a = 1 ，求函数 y = f ( x ) 的递减区间； （2）求证：函数 g ( x ) = f ( x ) − 1 x − a l n ( 2 − x ) 的图象关于 ( 1 , 0 ) 对称； （3）若当且仅当 x  ( 0 , 1 ) 时， f ( x )  x ，求实数 a 的取值范围． 19．（17 分）在直角坐标平面 x O y 内，对于向量m=(x,y)，记 m = x + y ．设 a , b , c 为直角坐 标平面xOy内的向量， a = ( 1 , 1 ) ． （1）若 b = ( − 1 , 2 ) ，求 a − b ； （2）设 b = ( − 1 , − 1 ) ，若 c−a + c−b =4，求 c 的最大值； （3）若 b = c = 2 , b  c = 2 ，求证： 3 − 3  b + c − 3 a  2 6 + 2 3 ． （第16题图） {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试 数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A C C A C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分． 9 10 11 CD AB ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 第1页 共4页 − 1 2 0 13． 5  6 或   1  2 14． ( −  ， 0  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）S =3a =−15，所以 3 2 a 2 = − 5 ······································································ 2分 因为 a 1 = − 7 ，所以公差d =2 ······································································ 4分 得 a n = − 7 + 2 ( n − 1 ) = 2 n − 9 ······································································· 6分 （2）因为对任意nN*，都有S  S ， n 7 所以S S ,S S ，得a 0,a 0 ·························································· 2分 8 7 6 7 8 7 由（1）知 a 2 = − 5 ，所以a =a +6d =−5+6d 0,a =−5+5d 0 ················· 5分 8 2 7 5 得 d 1 ······························································································ 7分 6 16．（15分） 解：（1）因为AB CD，AB不在平面 P C D 内，所以AB 平面 P C D ·························· 2分 因为平面ABE与平面PCD相交于EF，所以AB EF ···································· 4分 因为EF不在平面 A B C D 内，所以EF 平面ABCD ······································· 6分 （2）取CD中点 H ，因为BC=CD=2,BCD=60， 所以BH ⊥CD,BH = 3 ············································································ 1分 {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}因为PD⊥平面ABCD，所以 第2页 共4页 P D ⊥ B H ·························· 3分 得 B H ⊥ 平面 P C D ······················································· 5分 所以BEH 即是直线 B E 与平面 P C D 所成角 ····················· 7分 1 因为DE = PD= 2,DH =1，所以 2 E H = 3 ， BH 所以tanBEH = =1，得BEH =45， EH 所以直线BE与平面 P C D 所成角的大小为 4 5  ················································· 9分 17．（15分） 解：（1） 2  2 列联表数据如下： 时长n 2n3 其他 总计 优秀 80 20 100 不优秀 120 280 400 总计 200 300 500 ································································ 2分 2 5 0 0 1 ( 0 8 0 0 4 2 0 8 0 0 2 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 ) 2 8 3 . 3  =    −    ························································· 4分 因为 2 3 .8 4 1   ，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小 于3小时有关 ···························································································· 6分 （2）设 P ( A ) = x ，则 P ( A ) = 1 − x ， ( ) 因为P B A =0.25，所以 P ( B A ) = 0 . 2 5 P ( A ) = 0 . 2 5 ( 1 − x ) ························ 2分 因为P(B)=P(B A)+P ( B A ) =0.2，所以 P ( A B ) = 0 . 2 5 x − 0 . 0 5 ··········· 4分 因为 L ( B A ) = P P (( B B A A )) = 0 . 2 ，所以 P ( B A ) = 0 .2 P ( B A ) ， 得 P ( B A ) = 0 .2 P ( B A ) ········································································ 5分 因为 P ( A ) = P ( B A ) + P ( B A ) = x x ，所以P(A B)= ···························· 7分 6 由 0 . 2 5 x − 0 . 0 5 = x 6 ，得 x = 0 . 6 H ，所以P(A)=0.6 ·········································· 9分 18．（17分） 解：（1）函数的定义域为(0,+) ·············································································· 1分 1 1 因为 f(x)= − ··················································································· 3分 x x2 {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}当 第3页 共4页 x  ( 0 , 1 ) 时， f  ( x )  0 ；当 x  ( 1 , +  ) 时， f(x)0， 所以函数 y = f ( x ) 在区间 ( 0 , 1  上递减 ··························································· 5分 （2）由已知g(x)=alnx−aln(2−x)，定义域为(0,2) ·········································· 1分 设 x  ( 0 , 2 ) ，则 g ( 2 − x ) = a l n ( 2 − x ) − a l n x = − g ( x ) ， 所以函数y= g(x)的图象关于 ( 1 , 0 ) 对称 ························································ 3分 （3）设 h ( x ) = a l n x + 1 x − x ，则 h  ( x ) = a x − 1 x 2 − 1 ， 1 1  1 ①当a2时，因为x0,x+ 2，所以h(x)=  a−  x+  0 ··············· 2分 x x  x 得 y = h ( x ) 在(0,1)上递减， 因为h(1)=0，所以当且仅当x(0,1)时，h(x)0，即 f (x)x ···················· 4分 ②当a=2,x(0,1)时， h  ( x ) = 1 x  2 −  x + 1 x    0 ， 所以y=h(x)在 ( 0 , 1 ) 上递减， 因为 h ( 1 ) = 0 ，所以当且仅当 x  ( 0 , 1 ) 时， h ( x )  0 ，即 f ( x )  x ···················· 6分 ③当a2时，令 h  ( x ) = 0 ，得 x = a  a 2 2 − 4 ， a − a 2 2 − 4  ( 0 , 1 ) ， 当 x   a − a 2 2 − 4 , 1  时， h  ( x )  0 ，函数 y = h ( x ) 在  a − a 2 2 − 4 , 1  上递增， 所以当 x 0   a − a 2 2 − 4 , 1  时， h ( x 0 )  h ( 1 ) = 0 ，即 f (x ) x ， 0 0 得 a  2 不满足题意 ····················································································· 8分 综上所述，满足题意的实数 a 的范围为(−,2 ················································· 9分 19．（17分） 解：（1）a−b=(2,−1)，所以 a − b = 3 ··································································· 3分 （2）设c=(x,y)，则 x−1+ x+1+ y−1+ y+1 =4 ············································ 2分 因为 x − 1 + x + 1  ( x − 1 ) − ( x + 1 ) = 2 ，当−1 x1时取等， 因为 y − 1 + y + 1  ( y − 1 ) − ( y + 1 ) = 2 ，当−1 y1时取等， x−1+ x+1+ y−1+ y+1 =4等价于−1 x1且−1 y1 ·························· 4分 2 得 c = x2 + y2 2， c 的最大值为 2，当x=1且y=1时取得 ··················· 6分 {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}（3）由 第4页 共4页 b = c = 2 , b  c = 2 知，           可设b=  2cos  +  ,2sin  +  ,c=  2cos  −  ,2sin  − ，   6  6   6  6  1 1 b+c− 3a=2 3  cos− ,sin−  ，  2 2  1 1  b+c− 3a =2 3  cos− + sin−  ·················································· 2分  2 2  设 g ( ) c o s 1 2 s i n 1 2    = − + − ，则y = g()以 2  为周期， 当 3 6  −        3 1  时，g()=cos−sin= 2cos  +   − , 2，  4  2 2  当 6 3      时， g ( ) c o s s i n 1 2 s i n 4 1 2 3 1 2 , 2 1     = + − =  +   −   − −  ， 当 3 6          3 1  时，g()=sin−cos= 2sin  −   − , 2，  4  2 2  当 6 3           3 1  时，g()=1−cos−sin=1− 2sin  +   + , 2+1，  4  2 2    5 综上所述，当 − , 时，    3 3  g ( ) 2 3 1 2 , 2 1    − +  ································ 6分 因为 y g ( )  = 以 2  为周期，所以当  R 时， g ( ) 2 3 1 2 , 2 1    − +  ， 得 b+c− 3a =2 3g()3− 3,2 6+2 3，   所以3− 3 b+c− 3a 2 6+2 3 ························································ 8分 {{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}