中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期12月月考试题数学PDF版含答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷

标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试
数学试卷
本试卷共 150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1． 已知集合
第1页 共4页 第2页 共4页
P =  1 , 2 , 3 , 4  , Q =  − 2 , 2  ，下列结论成立的是
A． Q  P
C． P Q = Q
B． P Q = P
D． P Q =  2 
2． 已知 a  R ， i 为虚数单位，若复数 ( 2 + i ) ( a + i ) 的实部与虚部相等，则 a =
A． − 3 B． − 2 C． 2 D．3
3． 已知 s i n ( ) 2 s i n s i n , t a n t a n 2       + = = − ，则 t a n ( )   + =
A． −
4
3
B．
4
3
C． − 2 D． 2
4． 斜率为1的直线 l 经过 ( 1 , 0 ) 点，且与抛物线y2 =4x交于 A , B 两点，则 A B =
A．4 B． 4 2 C． 8 D． 8 2
5． 已知 P ( A ) 、 P ( B ) 分别表示随机事件 A 、 B 发生的概率，则 1 − P ( A B ) 是下列哪个事件的
概率
A．事件 A 、 B 同时发生 B．事件 A 、 B 至少有一个发生
C．事件 A 、 B 都不发生 D．事件 A 、 B 至多有一个发生
6． 已知0a1，设m=log a,n=log 4，则
2 a
m + n 的取值范围为
A． ( −  , − 2  B．  − 2 , 0 ) C．(0,2 D．  2 , +  )
7． 设 f ( x ) = x ( x − 3 ) 2 ，若方程 f (x)=k(kR) 有3个不同的根a,b,c，则 a b c 的取值范围为
A． ( − 4 , 0 ) B． ( − 2 , 0 ) C． ( 0 , 4 ) D． ( 0 , 2 )
8． 已知双曲线的左、右焦点为F (−2,0),F (2,0) ，的一条渐近线为
1 2
y = x
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.
9． 已知直线l:x x+ y y=m与圆C:x2 + y2 =1，
0 0
，点P位于第一象
限且在双曲线上，点M 满足：FPM =MPF ,MF ⊥MP，则 MF + MF 的最大值为
1 2 1 1 2
A．2 6 B．4 2 C． 2+ 10 D．4 6
P ( x
0
, y
0
) ，则下列判断正确的是
A．若点 P 在圆 C 上，且直线l与圆 C 相切，则 m = 1
B．若点 P 在圆 C 内，且 m = 1 ，则直线 l 与圆 C 相交
C．若 m = 1 , y
0
= 2 ，则直线 l 与圆 C 相交
D．若 m = 0 ，则直线 l 截圆 C 所得弦长为2
10．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相
等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是
A．三棱台体不是“刍甍”
B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
D．“刍甍”存在两个互相平行的面
11．已知等差数列 
n
  的公差为， b
n
c o s
n
 = ，数列b 的前
n
n 项和为 S
n
， S =  S
n
n  N *  ，
若存在
1
，使得 S =  a , b , c  ，则可能的取值为
A．

3
B．

2
C．
2 
3
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图所示，在正方形 A B C D 中， E 是 A B 的中点，F 在 B C 上且 C F = 2 F B ， A F 与 D E 交于
点 M ，则 c o s  D M F = ．
13．已知 f ( x ) = s i n x ，记函数 y = f ( x ) 在闭区间 I 上的最大值为 M ．若正数
I
k 满足
M
0 ,k 
= 2 M
k ,2 k 
D C
M F
A E B
（第12题图）
，则k = ．
14．已知 f (x)=ex −ax,g(x)=lnx−ax ，若对任意 x (0,+)，都存在 x (0,+)，使得
1 2
f (x )g(x )=xx ，则实数a的取值范围为 ．
1 2 1 2
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设等差数列
第3页 共4页 第4页 共4页
 a
n
 的前n项和为S ，已知S =−15．
n 3
（1）若a =−7，求
1
 a
n
 的通项公式；
（2）若对于任意 n  N * ，都有S  S ，求公差
n 7
d 的取值范围．
16．（15分）如图所示，在四棱锥 P − A B C D 中，底面 A B C D 为平行四边形，点 E 为棱 P D 的中点．
（1）设平面 A B E 与直线PC相交于点 F ，求证： E F 平面 A B C D ；
（2）若 P D ⊥ 平面ABCD， B C = C D = 2 ,  B C D = 6 0  , P D = 2 2 ，求直线 B E 与平面 P C D
所成角的大小．
17．（15分）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业
完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长 n 与学业成绩m的数据表：
平均作业时长 n （单位：小时）  1 ,1 .5 ) 1 .5 , 2 )  2 , 2 .5 )  2 .5 , 3 )  3 , 3 .5 )
学业成绩优秀： 9 0  m  1 0 0 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀： 0  m  9 0 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时
有关？
( )
P B A
( )
（2）常用L B A =
( )
表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似
P B A
然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，
( ) A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L B A =0.2，求 P ( A )
18．（17分）设
．
n(ad −bc)2
附：2 = ,P ( 2 3.841 ) 0.05．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
f ( x ) = a l n x +
1
x
．
（1）当 a = 1 ，求函数 y = f ( x ) 的递减区间；
（2）求证：函数 g ( x ) = f ( x ) −
1
x
− a l n ( 2 − x ) 的图象关于 ( 1 , 0 ) 对称；
（3）若当且仅当 x  ( 0 , 1 ) 时， f ( x )  x ，求实数 a 的取值范围．
19．（17 分）在直角坐标平面 x O y 内，对于向量m=(x,y)，记 m = x + y ．设 a , b , c 为直角坐
标平面xOy内的向量， a = ( 1 , 1 ) ．
（1）若 b = ( − 1 , 2 ) ，求 a − b ；
（2）设 b = ( − 1 , − 1 ) ，若 c−a + c−b =4，求 c 的最大值；
（3）若 b = c = 2 , b  c = 2 ，求证： 3 − 3  b + c − 3 a  2 6 + 2 3 ．
（第16题图）
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}标准学术能力诊断性测试 2024 年 12 月测试
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A C C A C A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．
9 10 11
CD AB ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
第1页 共4页
−
1
2
0
13．
5 
6
或
 
1

2
14． ( −  ， 0 
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）S =3a =−15，所以
3 2
a
2
= − 5 ······································································ 2分
因为 a
1
= − 7 ，所以公差d =2 ······································································ 4分
得 a
n
= − 7 + 2 ( n − 1 ) = 2 n − 9 ······································································· 6分
（2）因为对任意nN*，都有S  S ，
n 7
所以S S ,S S ，得a 0,a 0 ·························································· 2分
8 7 6 7 8 7
由（1）知 a
2
= − 5 ，所以a =a +6d =−5+6d 0,a =−5+5d 0 ················· 5分
8 2 7
5
得 d 1 ······························································································ 7分
6
16．（15分）
解：（1）因为AB CD，AB不在平面 P C D 内，所以AB 平面 P C D ·························· 2分
因为平面ABE与平面PCD相交于EF，所以AB EF ···································· 4分
因为EF不在平面 A B C D 内，所以EF 平面ABCD ······································· 6分
（2）取CD中点 H ，因为BC=CD=2,BCD=60，
所以BH ⊥CD,BH = 3 ············································································ 1分
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}因为PD⊥平面ABCD，所以
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P D ⊥ B H ·························· 3分
得 B H ⊥ 平面 P C D ······················································· 5分
所以BEH 即是直线 B E 与平面 P C D 所成角 ····················· 7分
1
因为DE = PD= 2,DH =1，所以
2
E H = 3 ，
BH
所以tanBEH = =1，得BEH =45，
EH
所以直线BE与平面 P C D 所成角的大小为 4 5  ················································· 9分
17．（15分）
解：（1） 2  2 列联表数据如下：
时长n 2n3 其他 总计
优秀 80 20 100
不优秀 120 280 400
总计 200 300 500
································································ 2分
2
5 0 0
1
(
0
8
0
0
4
2
0
8
0
0
2
2
0
0
0
1
3
2
0
0
0
) 2
8 3 . 3  =



− 

 ························································· 4分
因为 2 3 .8 4 1   ，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小
于3小时有关 ···························································································· 6分
（2）设 P ( A ) = x ，则 P ( A ) = 1 − x ，
( ) 因为P B A =0.25，所以 P ( B A ) = 0 . 2 5 P ( A ) = 0 . 2 5 ( 1 − x ) ························ 2分
因为P(B)=P(B A)+P ( B A ) =0.2，所以 P ( A B ) = 0 . 2 5 x − 0 . 0 5 ··········· 4分
因为 L ( B A ) =
P
P
((
B
B
A
A
))
= 0 . 2 ，所以 P ( B A ) = 0 .2 P ( B A ) ，
得 P ( B A ) = 0 .2 P ( B A ) ········································································ 5分
因为 P ( A ) = P ( B A ) + P ( B A ) = x
x
，所以P(A B)= ···························· 7分
6
由 0 . 2 5 x − 0 . 0 5 =
x
6
，得 x = 0 . 6
H
，所以P(A)=0.6 ·········································· 9分
18．（17分）
解：（1）函数的定义域为(0,+) ·············································································· 1分
1 1
因为 f(x)= − ··················································································· 3分
x x2
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}当
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x  ( 0 , 1 ) 时， f  ( x )  0 ；当 x  ( 1 , +  ) 时， f(x)0，
所以函数 y = f ( x ) 在区间 ( 0 , 1  上递减 ··························································· 5分
（2）由已知g(x)=alnx−aln(2−x)，定义域为(0,2) ·········································· 1分
设 x  ( 0 , 2 ) ，则 g ( 2 − x ) = a l n ( 2 − x ) − a l n x = − g ( x ) ，
所以函数y= g(x)的图象关于 ( 1 , 0 ) 对称 ························································ 3分
（3）设 h ( x ) = a l n x +
1
x
− x ，则 h  ( x ) =
a
x
−
1
x 2
− 1 ，
1 1  1
①当a2时，因为x0,x+ 2，所以h(x)=  a−  x+  0 ··············· 2分
x x  x
得 y = h ( x ) 在(0,1)上递减，
因为h(1)=0，所以当且仅当x(0,1)时，h(x)0，即 f (x)x ···················· 4分
②当a=2,x(0,1)时， h  ( x ) =
1
x

2 −

x +
1
x
 
 0 ，
所以y=h(x)在 ( 0 , 1 ) 上递减，
因为 h ( 1 ) = 0 ，所以当且仅当 x  ( 0 , 1 ) 时， h ( x )  0 ，即 f ( x )  x ···················· 6分
③当a2时，令 h  ( x ) = 0 ，得 x =
a  a
2
2 − 4
，
a − a
2
2 − 4
 ( 0 , 1 ) ，
当 x 
 a − a
2
2 − 4
, 1

时， h  ( x )  0 ，函数 y = h ( x ) 在
 a − a
2
2 − 4
, 1

上递增，
所以当 x
0

 a − a
2
2 − 4
, 1

时， h ( x
0
)  h ( 1 ) = 0 ，即 f (x ) x ，
0 0
得 a  2 不满足题意 ····················································································· 8分
综上所述，满足题意的实数 a 的范围为(−,2 ················································· 9分
19．（17分）
解：（1）a−b=(2,−1)，所以 a − b = 3 ··································································· 3分
（2）设c=(x,y)，则 x−1+ x+1+ y−1+ y+1 =4 ············································ 2分
因为 x − 1 + x + 1  ( x − 1 ) − ( x + 1 ) = 2 ，当−1 x1时取等，
因为 y − 1 + y + 1  ( y − 1 ) − ( y + 1 ) = 2 ，当−1 y1时取等，
x−1+ x+1+ y−1+ y+1 =4等价于−1 x1且−1 y1 ·························· 4分
2
得 c = x2 + y2 2， c 的最大值为 2，当x=1且y=1时取得 ··················· 6分
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}（3）由
第4页 共4页
b = c = 2 , b  c = 2 知，
         
可设b=  2cos  +  ,2sin  +  ,c=  2cos  −  ,2sin  − ，
  6  6   6  6
 1 1
b+c− 3a=2 3

cos− ,sin−

，
 2 2
 1 1 
b+c− 3a =2 3  cos− + sin−  ·················································· 2分
 2 2 
设 g ( ) c o s
1
2
s i n
1
2
   = − + − ，则y = g()以 2  为周期，
当
3 6
 −

 
    3 1 
时，g()=cos−sin= 2cos  +   − , 2，
 4  2 2 
当
6 3


 

时， g ( ) c o s s i n 1 2 s i n
4
1
2
3 1
2
, 2 1     = + − =

+
 
− 

− −

，
当
3 6


 
     3 1 
时，g()=sin−cos= 2sin  −   − , 2，
 4  2 2 
当
6 3

 
 
     3 1 
时，g()=1−cos−sin=1− 2sin  +   + , 2+1，
 4  2 2 
  5
综上所述，当 − , 时，
 
 3 3 
g ( )
2
3 1
2
, 2 1  

− +

································ 6分
因为 y g ( )  = 以 2  为周期，所以当  R 时， g ( )
2
3 1
2
, 2 1  

− +

，
得 b+c− 3a =2 3g()3− 3,2 6+2 3，
 
所以3− 3 b+c− 3a 2 6+2 3 ························································ 8分
{{##{{QQQQAABBBDQQYKEg5oggiiQAAgABbIAAACBBg6CqEEw0XXGCCCk0EsQQkkogACjALSCgSEgAOUhAFAMAKsAAwADBCyBBNNAIBBAAAA==}#}#}}