文档内容
标准学术能力诊断性测试 2024 年 10 月测试
数学试卷
本试卷共150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
3. 已知单位向量 和 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷7. 将 的图象变换为 的图象，下列变换正确的是（ ）
A. 将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移 个单位
C. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 倍
D. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点 的横坐标变为原来的3倍
8. 定义在R上的函数 满足： ，且 ，当
时， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．
的
9. 从 中随机取一个数记为a，从 中随机取一个数记为b，则下列说法正确 是（ ）
A. 事件“ 为偶数”的概率为
B. 事件“ab为偶数”的概率为
C. 设 ，则X的数学期望为
D. 设 ，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
10. 在直棱柱 中，底面 为正方形， ， 为线段 上动点，， 分别为 和 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则经过 ， ， 三点的直棱柱的截面为四边形
B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 的最小值为
11. 一条动直线 与圆 相切，并与圆 相交于点A，B，点P为定直线
上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在直线 ，使得以AB为直径的圆与 相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 的展开式中存在 项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列
的通项公式为__________．
13. 设双曲线 （ ）的右顶点为F，且F是抛物线 的焦点．过点F的
直线l与抛物线 交于A，B两点，满足 ，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
__________．14. 已知 ，则 的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）记BC边的中点为D， ，若A为钝角，求x的取值范围．
16. 如图所示，在四棱锥 中， ， ， ．
（1）若 平面 ，证明： 平面 ；
（2）若 底面 ， ，二面角 的正弦值为 ，求 的长．
17. 已知椭圆 ， 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 和 ，离心率为 ，
过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．若直线 垂直于 ，则 的周长为 ．
的
（1）求椭圆 方程；
（2）若直线 与坐标轴不垂直，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否过定点，并说明理由．
18. 已知函数 ， ．（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，求a的取值范围；
（3）若 ，记 ，讨论函数 的零点个数．
19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的
一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采
用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了 场比赛，
请根据小概率值 的 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3
局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为
B，试证明： ．
（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 ，没有平局．若采用“赛满
局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 ．若采用“赛满 局，胜方至少取得
局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 ，试比较 与 的大小．
附： ，其中 ．
0.05 0.025 0.010
.
3.841 5024 6.635
