文档内容
河东区 2024~2025 学年度第一学期期末质量检测
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列 的通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意逐一检验选项即可.
【详解】对于选项A：令 ，可得 ，不合题意；
对于选项B：代入检验均可，符合题意；
对于选项C：令 ，可得 ，不合题意；
对于选项D：令 ，可得 ，不合题意；
故选：B.
2. 已知数列 中， ，且 ，则这个数列的第10项为（ ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知判断出数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
.
【详解】 ，且 ，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，通项公式为 ，
，
故选：B.
3. 已知等比数列 中， ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为等比数列 中， ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的
和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为 ，选D
4. 已知双曲线C： 的焦距为 ，则C的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的性质根据焦距求得 ，从而可得渐近线方程．
【详解】因为双曲线的焦距为 ，所以 ，
则 ，解得 ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：A.
5. 抛物线 的焦点为 上的点到 的距离等于到直线 的距
离，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.
【详解】因为抛物线上的点到 的距离等于到直线 的距离，
所以 是抛物线的准线，故 ，解得 ，故A正确.
故选：A
6. 已知曲线C：mx2 ＋ny2 ＝1，下列结论不正确的是（ ）
A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D. 若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【解析】
【分析】就 不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，当m＞n＞0时，有 ，
方程化为 ，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为 ，
该方程表示半径为 圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 ，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2 ＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
7. 已知a，b，c成等差数列，直线 与圆 交于A，B两点，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，
代入直线方程 得 ，
即 ，令 ，得 ，
故直线 恒过 ，设 ，该点在圆 内，
画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，， ，此时 .
故选：C.
8. 若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 和 ，
而 是这两条曲线的一个交点，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出 与 的和与差，变形求得积．
【详解】由题意知不妨设点 是两曲线在第一象限内的交点，可得：
，解得： ，
则 ，故A项正确.
故选：A.
9. 已知数列 满足： ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若数列 为常数列，则 B. 存在 ，使数列 为递减数列
C. 任意 ，都有 为递减数列 D. 任意 ，都有
【答案】D
【解析】
【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.
【详解】对A:若数列 为常数列，则 ，解得 或 ，故A错
误；
对B:易得 ，若 为递减数列，则
，解得 或 且 ，故不存在 使得 递减数列，故B错误；
对C,令 ，则 ，故 不是递减数列，故C错误；
对D,用数学归纳法证明
当 显然成立，
假设当 ，
则 时， ，故当 时 成立,
由选项B知，对任意 则数列 为递减数列，故 故D正确
故选：D
【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.
2．本卷共11小题，共105分.
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 以双曲线 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出双曲线的右顶点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程.
【详解】双曲线 ，所以右顶点（4,0），
抛物线的焦点也为（4,0），所以 ， ，
抛物线的标准方程为：
故答案为： .
11. 已知数列 为等比数列，若 ，则数列 的前6项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】求解 的通项公式，进而可得 的通项公式再求和即可.【详解】由题意， 公比为 ，则 ，故
.
故数列 的前6项和为 .
故答案为：
12. 在等差数列 中，已知公差 ，且 ，则
__________.
【答案】145
【解析】
【分析】根据题意得到 ，再由
等差数列性质得到 ，代入数据计算即
可得到答案.
【详解】等差数列 中，已知公差 ，
.
故答案为：145.
13. 记抛物线 的焦点为 F， 为抛物线上一点， ，直线
与拋物线另一交点为B，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线方程及直线方程并联立，求出点 的横坐标，再根据抛物线定义求解即可.
【详解】因为 ，由拋物线定义可知 到准线距离为 ，即 ，解得
，
即抛物线方程为 ，不妨取 ，又 ，则直线 斜率 ,
所以 ，
联立 ，消去 整理得 ，
解得 ， ，即 点的横坐标为 ，
则 .
故答案为： .
14. 设F为双曲线C： （ ， ）的右焦点，O为坐标原点，以 为
直径的圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据几何知识得出 ，根据勾股定理求出 与c之间的关系，进而得出C的离
心率.
【详解】由题意，作出图像如下图所示：
设双曲线C： ( ， )的右焦点的坐标为F (c,0).
由圆的对称性及条件 可知，
PQ是以 为直径的圆的直径，且 ，
设垂足为M，连接 ，
则 ， ，
由 ，
得 ，
故 ，即 .故答案为： .
15. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图
形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得
到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
【答案】 . 5 .
【解析】
① ②
分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的
图形，所以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规
格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第
n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜
想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则
，利用裂项相消法求和.
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 直线 与双曲线 相交于A，B两点．
（1）求 的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【答案】（1） ( 且 )；
（2） .
【解析】
分析】（1）联立方程组利用韦达定理及弦长公式即求；
（2）由题可得 ，进而可得 ，即求.
【小问1详解】
设 ，
由 ，可得 ，
由题可得 ，
，解得 且 ，
∴，
∴ 的长为 ( 且 ).
【小问2详解】
∵以AB为直径的圆经过坐标原点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ,
经检验， 时以AB为直径的圆经过坐标原点.
17. 设等差数列 的公差为d，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ．已知
， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）当 时，记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知cn ，写出Tn 、 Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数
列的求和
公式，计算即可．
【详解】解：（1）设a1 ＝a，由题意可得 ，
解得 ，或 ，
当 时，an ＝2n﹣1，bn ＝2n﹣1 ；当 时，an （2n+79），bn ＝9• ；
（2）当d＞1时，由（1）知an ＝2n﹣1，bn ＝2n﹣1 ，
∴cn ，
∴Tn ＝1+3• 5• 7• 9• （2n﹣1）• ，
∴ Tn ＝1• 3• 5• 7• （2n﹣3）• （2n﹣1）•
，
∴ Tn ＝2 （2n﹣1）• 3 ，
∴Tn ＝6 ．
【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
属于中档题．
18. 设数列 的前n项和 ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 可得 ，再通过化简结合等比数列的
定义即可证明；
（2）先结合（1）求出 ，再根据 时， 求出 ，最
后验证 即可.
【小问1详解】
，
，即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
又 ，
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知： ，
即 ，
当 时， ，
，
又 也适合上式，
故 .
19. 已知椭圆C1 ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2 的焦点重合，C1 的中心与C2 的顶点重
合.过F且与x轴垂直的直线交C1 于A，B两点，交C2 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1 的离心率；
（2）设M是C1 与C2 的公共点，若|MF|=5，求C1 与C2 的标准方程.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于 、 的齐次等式，
可解得椭圆 的离心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求
出点 的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得 的值，进而可得出 与
的标准方程.【详解】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆 第二定义知 ，则有 ，
所以 ，即 ．
又由 ，得 ．
从而 ，解得 ．
所以 ．
故椭圆 与抛物线 的标准方程分别是 ．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知 ，又由圆锥曲线统一的极坐标公式 ，得
，由 ，得 ，两式联立解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法三]：参数方程
由（1）知 ，椭圆 的方程为 ，
所以 的参数方程为 （ 为参数），
将它代入抛物线 的方程并化简得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，即点M的坐标为 ．
又 ，所以由抛物线焦半径公式有 ，即 ，解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.
方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一
个不错的思考方向.
方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的
问题更加具体化.
方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以
达到设而不求的效果.
20. 已知等比数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数
列 中是否存在3项 ， ， （其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存
在，求出这样的3项；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列定义，根据将 ， 代入构造方程组解得 ，
，可得数列 的通项公式 ；
（2）假设存在 ， ， 成等比数列，由 ， ， 成等差数列可得
，且 ，解得 ，与已知矛盾，从而得解.
【小问1详解】
由题意知当 时， ，
①
当 时， ，
联立 ，解得 ， ； ②
①②
所以数列 的通项公式 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ，
所以 ，可得 ；
设数列 中存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等
比数列，则 ，所以 ，即 ；
又因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，化简得 ，即 ；
又 ，所以 与已知矛盾；
所以在数列 中不存在3项 ， ， 成等比数列.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，求得 关于 的表达式，从而分析得解.
