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2024 届高三开年摸底联考
数学试题
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“ ”的否定为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线 的实轴长为2，离心率为 ，则双曲线的左焦点 到一条渐近线的距
离为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则
该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数 满足 ，设 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．在 中， 为边 上一点， ，且 的面积为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若经验回归方程 中的 ，则变量 与 正相关
C．若随机变量 ，且 ，则
D．若事件 与 为互斥事件，则 的对立事件与 的对立事件一定互斥
10．已知函数 ，则以下结论正确的是（ ）
A． 为 的一个周期 B． 在 上有2个零点
C． 在 处取得极小值 D．对
11．已知定义在 上的函数 为奇函数，且对 ，都有 ，定义在
上的函数 为 的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A． 为奇函数 B．
学科网（北京）股份有限公司C． D． 为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为 ，若他在第一个路口
遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为 ，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率
为 ，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______．
13．已知 ，若 ，则 的最大值为_______．
14．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 相切于点 （异于坐标原点 ），与
轴交于点 ，若 ，则 _______；向量 与 的夹角为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 与曲线 相切，求 的值．
（15分）如图，在三棱台 中， ， ，
．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，
10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数
时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4
的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；
（2）假设每张彩票售价为 元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩
票可获利的角度考虑，求 的最小值．
18．（17分）已知椭圆 的右焦点为 为椭圆上一点， 为坐标原点，直线 与椭圆交
于另一点 ，直线 与椭圆交于另一点 （点 不重合）．
（1）设直线 的斜率分别为 ，证明： ；
（2）点 为直线 上一点，记 的斜率分别为 ，若 ，求点 的坐
标．
19．（17分）在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，则称数列 为
“ 数列”．
（1）若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；
（2）若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，且 ，求数
学科网（北京）股份有限公司列 的通项公式；
（3）若正项数列 为“ 数列”，且 ，证明： ．
2024 届高三开年摸底联考
数学参考答案及评分意见
1．B 【解析】 ，所以 ．故选B．
2．C 【解析】 ，因为 ，所以复数 在复平面内对应的点在第三象限．故
选C．
3．D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“ ”的否定为“
”．故选D．
4．A 【解析】设双曲线的焦距为 ，由题， ，得 ，故 ，所以
，不妨取渐近线 ，则左焦点 到渐近线 的距离为 ．故选
A．
5．D 【解析】由题可得圆台的母线长为 ，所以高 ，所以该圆台的体
积 ，故选D．
6．D 【解析】因为 ，所以 ，又 为减函数，所以 ，即 ，又
，故 ，所以 ，故选D．
7．A 【解析】 ，解得 ，所以
学科网（北京）股份有限公司为等腰三角形， ，故 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 ．因为 ，所以 为锐角，故 ，
故 ．故
选A．
8．B 【解析】由题， ，所以 ①，
② ， 两 式 作 差 得 ， 化 简 得
，即 ，所以 ，
故选B．
9．BC 【解析】 ，A错误；若经验回归方程 中斜率 ，则变量
与 正 相 关 ， B 正 确 ； 易 得 正 态 曲 线 关 于 直 线 对 称 ， 故 ， 又
，所以 ，C正确；掷一枚骰子，设事件 出现的点数
为1，事件 出现的点数为2，则 与 互斥，但 与 不互斥，D错误．故选BC．
10．BC 【解析】 ，A错误；令 ，
得 或 ，当 时，解得 或 ，故 在 上有2个零点，
B正确； ，令 ，得 或
学科网（北京）股份有限公司，且当 时， 单调递减，当 时， 单调
递增，所以 在 处取得极小值，C正确；可知 的极大值为 ，
这个极大值即为函数的最大值， 的极小值为 ，这个极小值即为函数的最
小值，故 ，D错误．故选BC．
11 ． ACD 【 解 析 】 因 为 为 奇 函 数 ， 所 以 ， 所 以
， 故 为 奇 函 数 ， A 正 确 ； 又 ， 故
，所以 ，故 ，所以 是以4为周
期的周期函数，所以 ，且不能确定 一定成立，故 B 错误；因为
， 所 以 ， 所 以 ， C 正 确 ； 因 为
，所以 ，故 ，又 ，
所以 ，所以 为偶函数，D正确，故选ACD．
12． 【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件 ，
则 ，又 ，所以
．
学科网（北京）股份有限公司13． 【解析】 ，其中 ，所以 的最
大值为1，设 ，当 时， 取得最大值 ，所以 的
最大值为 ．
14．1； 【解析】由题得 ，设 ，由 得 ，求导得 ，所以直
线 的 斜 率 ， 则 直 线 的 方 程 为 ， 易 得 ， 所 以
， 解 得 ． 当 时 ，
，则 ，故向量 与
的夹角为 ，当 时，同理可得夹角为 ．（第一空2分，第二空3分）
15．解：（1） 的定义域为 ，
当 时， 单调递减；
当 时，令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司（2）由题， ，设切点为 ，则 ，
易知 ，故 ．
又 ，即 ，将 代入，得 ．
设 ，则 ．
当 时 单调递增；
当 时 单调递减．
所以 ，所以 ．
16．（1）证明：取 中点 ，连接 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，且 是公共边，所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以 ．
又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
（2）解：如图，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 垂直于 ，垂足为 ，连接 ．不难
得出， ，则 平面 ．又 平面 ，则 ．由
，可得 ．
过点 作 的平行线，交 于点 ，由（1）得 三条直线两两垂直，分别以
为 ， 轴建立空间直角坐标 系，则 ，
．
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
令 ，得 ，所以 ．
又直线 的一个方向向量 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．解：（1）获得三等奖的概率 ；
获得二等奖的概率 ；
获得一等奖的概率 ．
学科网（北京）股份有限公司所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率 ．
（2）一张彩票的奖金 的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：
0 5 10 50
所以 的期望 ．
若盈利，需 ，
因为 ，故 的最小值为8．
18．（1）证明：设 ，则 ，
则 ．
又 ，
两式作差得： ，
即 ，
所以 ，得证．
（2）解：由题， 不与长轴两端点重合，设 ，直线 ，
与椭圆方程联立，并消去 得 ．
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
．
又 ，代入上式化简得
，
所以 ．故 ，
所以点 的坐标为 ．
19．（1）解：数列 不是“ 数列”．
理由如下：
因为 ，所以 ．
又 ，
所以 ，
因为 不是常数，所以数列 不是“ 数列”．
（2）解：因为数列 为“ 数列”，由 ，得 ，
所以 ，两式作差得： ．
又数列 为“ 数列”，故 ．
设数列 的公比为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即 对 成立，
则 得 ．
又 ，得 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（3）证明：设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，且 ．
因为数列 为“ 数列”，则 ．
因为 ，则 ，故 ，
以此类推，可得对 ，
所以 ，即 ，
所以 ．得证．
学科网（北京）股份有限公司
