文档内容
2023 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 是直线 的方向向量， 为平面 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
.
4 若圆 与圆 有3条公切线，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 空间三点 ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 7 D.6. 若圆 ，点 在直线 上，过点 作圆 的切线，切点为 ，则切线长
的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
7. 若 ， 两点到直线 的距离相等，则 （ ）
.
A B. C. 2或 D. 2或
8. 设 为坐标原点， ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，则
（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线过点 ，且在两坐标轴上截距相等，则直线 方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 满足 ，设点 的轨
迹为 ，则（ ）
A. 当 时， 的方程是
B. 当 时，以 为直径的圆与 的公共弦长为
C. 当 时，圆 的圆心在线段 的延长线上的
D. 以 为直径 圆始终与 相交
11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为
“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与
球 ，球 切于点 ， （ ， 是截口椭圆 的焦点）.设图中球 ，球 的半径分别为3和1，球
心距 ，则（ ）
A. 椭圆 的中心在直线 上
B.
C. 直线 与椭圆 所在平面所成的角为
D. 椭圆 的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点 是点 在坐标平面 内的射影，则 ________.
13. 若圆 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则 的取值范围是________.
的
14. 《九章算术》中记录 “羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.
如图，羡除 中，四边形 ， 均为等腰梯形， ， ， 互相平行，平面
平面 ，梯形 ， 的高分别为2，4，且 ， ， ，则 与平面 所成角的正切值为________，异面直线 与 所成角的余弦值为_______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，点 为 的重心，设
， ， .
（1）试用向量 ， ， ，表示向量 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.
16. 已知圆 的圆心在直线 上，并且经过圆 与圆 的交点.
（1）求 的方程；
（2）直线 与 交于 ， 两点，当弦 最短时，求 的值，并求出
此时 关于 对称的圆 的方程.
17. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为棱 ，
的
中点， 是 与 的交点.（1）求点 到平面 的距离；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明
理由.
18. 在圆 上任取一点 ，过 作 轴的垂线段 ，垂足为 ，点 在线段 的延长线
上，且 ，当 在圆 上运动时，点 形成的轨迹为 .（当 经过圆 与 轴的交点时，规定
点 与点 重合.）
（1）求 的方程；
（2）设 的上顶点为 ，过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ，
分别与 轴交于点 ， ，证明：线段 的中点为定点.
19. 已知曲线 ，对坐标平面上任意一点 ，定义 ，若两点 ， ，满
足 ，称点 ， 在曲线 的同侧； ，称点 ， 在曲线 的两侧.
（1）若曲线 ，判断 ， 两点在曲线 的同侧还是两侧；
（2）已知曲线 ， 为坐标原点，求点集 所
构成图形的面积；（3）记到点 与到 轴的距离之和为 的点的轨迹为曲线 ，曲线 ，
若曲线 上总存在两点 ， 在曲线 两侧，求曲线 的方程和实数 的取值范围.
