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2024—2025 学年北京市新高三入学定位考试
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数 满足 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知抛物线 ，则抛物线 的焦点到其准线的距离为
（A） （B）
（C）3 （D）
（4）在 的展开式中，常数项为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知等比数列 满足 ， ，则 的公比为
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
（6）已知函数 . 若 时， 取得最大值，则 的值可能是
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形， ，则
点 到直线 的距离为
（A） （B）
（C） （D）
（8）若圆 的圆心到 轴、 轴的距离相等，则
（A） （B）
（C） （D）（9）已知单位向量 ，则“ ”是“任意 都有 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）设集合 ． 对于集合 的子集 ，若任取 中两个不同元素
，有 ，且 中
有且只有一个为 ，则称 是一个“好子集”．下列结论正确的是
（A）一个“好子集”中最多有 个元素 （B）一个“好子集”中最多有 个元素
（C）一个“好子集”中最多有 个元素 （D）一个“好子集”中最多有 个元素
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数 的定义域为________．
（12）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为 ，则 _______； _______．
（13）已知双曲线 （其中 ）的右焦点为 ，则 ________，
的离心率为________．
（14）函数 是奇函数，且 对任意 成立，则满足条件的一组值可以是
________， ________．
（15）在棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 的中点. 点 为正方体表面上的
动点，满足 . 给出下列四个结论：
①线段 长度的最大值为 ；
②存在点 ，使得 ；
③存在点 ，使得 ；
④△EPF是等腰三角形.
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在直三棱柱 中， 为直角，侧面 为正方形， ，
分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．（17）（本小题13分）
已知 为锐角三角形，且 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知， 求 的周长．
条件①： ；
条件②： ；
条件 ③： ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的
频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率
估计概率.
（Ⅰ）估计某一天此款甜品销售量不超过 个的概率；
（Ⅱ）用 表示在未来 3天里，此款甜品日销售量多于 个的天
数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现
这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售
情况发生了变化，说明理由.
（19）（本小题15分）
已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）椭圆 的左焦点为 点 为椭圆 上不同于顶点的一点，直线 与 轴的交点分别为
，若 ，求点 的横坐标.（20）（本小题15分）
已知函数 ，直线 是曲线 在点 处的切线．
（Ⅰ）当 时，求直线 的倾斜角；
（Ⅱ）求证：除切点 之外，曲线在直线 的上方；
（Ⅲ）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
（21）（本小题15分）
已知数列 满足 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，求 的值；
（Ⅱ）求证： 不是单调递增数列；
（Ⅲ）是否存在 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
