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2024—2025 学年高二上学期教学质量检测
数学试题
2025.01
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1. 已知 ， ，且 ，则x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 .
故选：B
2. 已知直线l过点 ，且l的一个方向向量为 ，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程.【详解】由l的一个方向向量为 ，则其斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，则 .
故选：C
3. 在公差不为0的等差数列 中，若 ，则k的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前 项和公式化简得到 ，即可得 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故 .
故选：C.
4. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是 ，其中 为预测期人
口数， 为初期人口数， 为预测期内人口增长率， 为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（
）
在
A. 若 某一时期内 ，则这期间人口数呈下降趋势
B. 若在某一时期内 ，则这期间人口数呈上升趋势
C. 若在某一时期内 ，则这期间人口数呈摆动变化
D. 若在某一时期内 ，则这期间人口数不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数增长的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， 时， ，所以这期间人口数呈下降趋势，A选项正确.
BC选项， 时， ，所以这期间人口数呈上升趋势，
B选项正确，C选项错误.
D选项， 时， ，，所以这期间人口数不变，
D选项正确.
故选：C
5. 设曲线 ， 的离心率分别为 ，若 ，则a＝（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由曲线方程求出离心率，结合 求参数即可.
【详解】由题设， ，又 ，
所以 且 ，则 .
故选：A
6. 已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段数列的特点，将 代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出 .
【详解】数列 满足： ， ，则 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，所以 ，
，所以 .
故选：D.
7. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为 ，则 为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取 的中点M，连接 ，则 ，得 ，
取基底 ，由 进行求解．
【详解】如图所示：
取 的中点M，连接 ，则 ，
得 为二面角 的平面角，即 ，
取基底 ，
则 ，
因为 ，
所以
．
故选：A.
8. 已知直线 与圆 相交于 两点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】先求得弦 的中点 的轨迹方程，则 的几何意义为
两点到直线 的距离之和，即点 到直线 距离
的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题设知，直线 与 轴的交点为 ，设弦 的中点为 ，
连接 ，则 ，即 ，所以 ，
即 ，所以点 的轨迹方程为 ，
即 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设直线 为 ，则 到 的最小距离为 ，
过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，
则四边形 是直角梯形，且 是 的中点，
则 是直角梯形的中位线，所以 ，即
，
即 ，
所以 的最小值为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若数列 为等差数列， 为前n项和， ， ， ，下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 和 均为 的最大值 D.
【答案】AC【解析】
【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解.
【详解】 ，则 ， ，则 ，
因此 ，且 ，故A正确，B错误；
而且 均为 的最大值，故C正确；
，故 ，故D错误.
故选：AC
10. 已知动点M与两个定点 的距离之比为 ，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正
确的有（ ）
A. 曲线C的方程为
B. 若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为
C. 曲线C与圆 的公共弦长为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 ，由 列式，化简整理可得曲线 的方程，即可判断A；利用过已知点求
圆的切线方程的方法求解即可判断D；求出两圆的公共弦所在直线的方程，再按求弦长的方法求解即可判
断C； 即为 ，当 三点共线时取得最小值，求解可判断D.
【详解】对于A，设点 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 .故A正确；对于B，若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为： ，此时圆心 到直线 的距离等于
，直线 与圆 不相切；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，即
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 .故B正确；
对于C，将 与 相减得，公共弦所在直线的方程为： ，
圆心 到直线 的距离等于 ，所以公共弦长为 .故C不正确；
对于D， ，当 三点共线时，等号成立，
.故D成立.
故选：ABD.
11. 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， 分别为
的中点，点P在直线 上，且 ，下列说法中正确的有（ ）
A. 直线MN与 所成角的大小为
B.
C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2D. 点N到平面AMP距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】构建合适 的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判
断A、C、D；坐标法求 的值判断B.
【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则
，
所以 ， ， ， ，
则 ，显然直线MN与 所成角不为 ，A错；
又 ，故 ，B对；
由面 的一个法向量为 ，则 ，
所以 时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为 ，则正切值为 ，C对；
由 ， ，若 为面AMP的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，又 ，则点N到平面AMP距离为 ，
令 ，则 ，故 ，D对.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线 的渐近线方程________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方
程．
【详解】∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线 的渐近线方程为y=±
∴双曲线 的渐近线方程为y=±
故答案为y=±
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
13. 在三棱锥 中， ， ， ，则直线 与平面 所
成角的余弦值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用坐标运算求出平面 的一个法向量 的坐标，在利用公式 求出直
线 与平面 所成角的正弦，进而求出直线 与平面 所成角的余弦值.
【详解】设平面 的一个法向量为 ,
又 ， ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ,
设直线 与平面 所成的角为 ，又 ，
则 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
故答案为： .14. 若项数有限的数列 满足 ，且 ， ，则称数列
为“n阶上进数列”．
①若等比数列 是“2024阶上进数列”，则数列 通项公式为 __________；
②若等差数列 是“2025阶上进数列”，则 __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据数列新定义，结合等差、等比的通项公式求出对应的基本量，即可得答案.
【详解】由等比数列 是“2024阶上进数列”，即数列共有2024项，若公比为 ，
所以 ，又 ，则 ，且 ，
所以 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，故 ；
若等差数列 是“2025阶上进数列”， 即数列共有2025项，若公差为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
则 ，
所以 ，
即 .故答案为： ， .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
.
15 已知空间四点 ， ， ， ．
（1）求以AB， AC为邻边的平行四边形面积；
（2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角公式求出 的余弦，再得出 的正弦，利用面积公式得解；
（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解.
【小问1详解】
， ，
又 ， ，
∴四边形 的面积为 .
∴以 ， 为邻边的平行四边形 的面积为12.
【小问2详解】
由题意，得 ,
∵A、B、C、D四点共面∴存在唯一一对实数 使得
∴ ，解得：
∴ 的值为 .
16. 如图，已知圆O： 与抛物线 交于 ，AB为圆O的直径，抛
物线的弦 ，且直线CD与圆O相切．
（1）求直线CD的方程；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先列方程组得出抛物线方程，在根据点到直线距离求出参数即可；
（2）直线和抛物线联立方程组再应用弦长公式求出 结合面积公式计算.
【小问1详解】
∵圆 与抛物线交于点
∴ ，解得：∴抛物线方程为：
∵ ，∴ ∴直线 的斜率 ，
设直线 的方程为：
∵直线 与圆 相切
∴ ，解得： （舍）或
∴直线 的方程为：
【
小问2详解】
由 得：
设 ， ，
∵ ，∴点 到直线 的距离为点 到直线 的距离，
则距离
∴ 的面积
17. 已知数列 是等差数列，公差 ，S 为前n项和，且 ．
n
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为T，且 ，求T．
n n
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，从而求得 .
（2）利用裂项求和法来求得 .
【小问1详解】
∵ ，
∴ ， ， ，∴ ， ，
若 ，则 ， 与已知 矛盾；
若 ，则 ， ， ，即 ， ， 符合题意.
∴ .
【小问2详解】
由（1）知， ， ，
∴ ，
∴
.
18. 如图，在长方体 中， ，直线 与平面 所成角的正切值为
，M， N， P分别为棱DD ， DA， DC上异于D点的动点．
1（1）若P是CD的中点，求证： 平面 ；
（2）定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的两个垂足之间的线段
长度．求异面直线 与 的距离；
（3）若直线 与平面 交于点H，且 ，求平面 与平面 的夹角余弦
值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角系，由 为直线 与平面 所成角可得 ，利用线面垂
直的判定定理证明；
（2）由 ， ，先求出公垂线所在向量，再求距离；
（3）由点 在直线BD上，则 ，∴ ，根据 ，
1
可得M， N， P的坐标，再利用空间向量法求夹角.
【小问1详解】
连接 ，因为 平面BBC C，
1 1所以 为直线 与平面 所成角，
所以 ，又 ，所以 ，
在长方体 中，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ， ， ， ， ， .
当P是CD的中点时， ， ， ， ，
∴ ， ，
， ，又 ， 平面 ，
平面 ；
【小问2详解】
， ， ，
设 ，由 ， ，
∴ ，∴ ，令 ，取 ，
∴异面直线BC 与BD的距离为： ；
1 1
【小问3详解】
设 ， ， ，由点 在直线BD上，则 ，∴ ，
1
∴ ， ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， （*）
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，令 得： ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ，得 ，令 得： ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
∵M， N， P分别为棱 上异于D点的动点，
由（*）得： ，
当 时， ，
当 时，令 ，则 ，
∴ ，∴平面 与平面 所成夹角余弦值的取值范围为 .
19. 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆 ，极点
（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为 .已知 ， 为椭圆C的左右焦点，点M为C上
动点，若 ，则M对应椭圆C的极线经过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点M对应椭圆C的极线 交 于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过 ， ；
（3）若 为曲线 上的动点，且点P对应椭圆C的极线 交椭圆C于Q， R两点，
判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）是， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由点在椭圆上及极线经过点得 ，进而求出椭圆方程；
（2）设直线 ，联立可得 ， ，利用向量法坐标化，
利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得.
（3）设 在曲线 上 ，再联立方程组得出韦达定理， 为 的中点即可以
转化得出 ，即可计算求解.
【小问1详解】由点 为椭圆 上的动点，则将点 坐标值代入椭圆方程得 ，
又由极点极线定义可知，点 对应椭圆 的极线
极线 过点 ，所以 ，
联立方程 解得 ，所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
由（1）知动点 对应椭圆 的极线 ，
联立 方程，解得 或 ，
不妨令 ， ，
由椭圆 的方程易知 ， ，所以 ， ，
又因为点 在椭圆 上，则 ， ，
所以 ，同理可知 ，
所以 ，所以以 为直径的圆恒过 ， ；
【小问3详解】
由题意知曲线 的方程为 ，又 在曲线 上 ，点 对应椭圆 的极线 ，
联立 ， ，即 ，
，不妨令 ， ，
， ，
设 为 的中点所以 ， ，
所以点 同时为 的中点，即四边形 为平行四边形.
即 .
，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
.
