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★秘密·2023年11月16日17：00前
重庆市 2023-2024 学年（上）11 月月度质量检测
高三数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
1．D 2．A 3．D 4．D
5．A 6．B 7．B 8．C
9．ABD 10．BD 11．BD 12．ACD
13．
14．
15．
16．增 ； 9
17．
（1）∵ ，∴ ,
两式相减得： ，∴ ,
∴ ，
令 得： ，∴ ， ,
∴ 是以1为首项，2为公比的等比数列,
∴ ，即 ．
（2）由（1）得： ， 是以1为首项， 为公比的等比数列，
∴
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学科网（北京）股份有限公司18．
（1）方法1：由 及正弦定理可得：
，
所以 ，
故 ，
因为 ，即 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 .
方法2：由 及余弦定理可得：
，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由正弦定理可知 ，
即 ，其中
，
,
故当 时， 的最大值为 .
19．
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学科网（北京）股份有限公司（1） ，
∴ .
（2）由（1）知 ， ， ，
而 也满足上式，故 ，
∴ 且 ，故 且 ，即 ，
∴ ，则 ，
令 且 ，则 ，即 在 上递减，
所以 ，即 在 上恒成立，故 （当且仅当 时取等号），
所以 ， ，即 ， ，证毕.
20．
（1）由题知，每年的追加投入是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以， ；
同理，每年牧草收入是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以， .
（2）设至少经过 年，牧草总收入超过追加总投入，即 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则上式化为 ，
即 ，
解得 ，即 ，所以， ，
即 ，所以 .
所以，至少经过 年，牧草总收入超过追加总投入.
21．
（1）
（i）当 时， 得 在 上单调递增，所以 ．
（ii）当 时， ， ， ， ，
所以当 ， 单调递减， 矛盾，所以此时 不满足题意．
综上： ，则 ．
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当 时，有
令 得 ，
， ，
累加得：
所以 即右边不等式得证．
下面证左侧不等式，如下：
不妨设 ， ， 单减
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学科网（北京）股份有限公司所以 即
令 ， ， ， ，累加得
当 ，
∴
当 时， ，当 时，
也满足不等式，即左边不等式得证．
22．
（1） ，
（2）函数 的定义域是 ，单调递增，
在 上单调递减，并且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，
函数在区间 上单调递减，在区间 单调递增，
所以函数 的最小值为 .
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