文档内容
2024-2025 学年第一学期高二年级期末质量监测
数学试题
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签
字笔写在答题卡上.
4.考试结束后将本试题和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算可得 的值.
【详解】因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
则 ，所以 .
故选：C.
2. 已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 ，且满足 ，则 的
离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角的关系可求两条渐近线的倾斜角，结合离心率公式可得答案.
【详解】双曲线 的两条渐近线方程分别为 ，易知 .
又 ，解得 .所以 ，
所以 的离心率为 .
故选：D.
3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. 188 B. 189 C. 190 D. 191
【答案】B
【解析】
【分析】由通项公式结合分组求和、等差数列前 项和公式即可求解；
【详解】因为
，
所以 .
故选：B.
4. 过点 向圆 可以作两条切线，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据给定条件，可得点 在圆外，由此列出不等式求出范围.
【详解】依题意，得点 在圆外，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
5. 当 时，设函数 存在导数 ，且满足 ，若 ，则 （
）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得 是常数，再由 得 ，即可得函数解析
式，进而求函数值.
【详解】由 ，即 ，即 ，
所以 是常数，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，得 .
故选：D
6. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解．【详解】设 ，则 ，
因为 是等比数列，所以 也成等比数列，且公比为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知点 是抛物线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，则 的最小值为（
）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】直线 与抛物线相切时，切点到直线 的距离即为最小值，由此可求解．
【详解】设直线 与抛物线 相切于点P(x ,y )，显然切点位于第一象限，
0 0
在第一象限内，由 ，得 ，则 ，
所以 ，即 ，所以点 的坐标为 ，
所以 的最小值为点 到直线 的距离，即 .
故选：A
8. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式求出 ，分离参数可求答案.
【详解】由 ，得 ，求导得 ，
因为 ，所以 恒成立.
令 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 最小值为1.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 当直线 与直线 平行时，
B. 当直线 与直线 垂直时，
C. 直线 与 轴正半轴和 正半轴围成的三角形面积的最小值是
D. 直线 和圆 相交于 两点，则 最小值是4
【答案】AD
【解析】【分析】由直线方程易知 过定点 且斜率为 ，根据直线平行、垂直时斜率关系判断A、B；求
直线与坐标轴交点，应用三角形面积公式及基本不等式求最值判断 C；根据已知分析有直线 与直线
垂直时 最小，再应用圆中弦长的几何求法求 判断D.
【详解】由直线 ，得 斜率为 ，且 过定点 ，
对于 ，直线 的斜率为 ，当直线 与直线 平行时 ，正确；
对于B，当直线 与直线 垂直时，由 ，得 ，错误；
对于C，由题意得 ，当 时 ，当 时 ，
所以三角形面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，错误；
对于D，由题意得，当直线 与直线 垂直时 最小，
此时 ，所以 ，正确.
故选：AD
10. 已知双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，第一象限的点 在 上，且点 不与点 重
合，若直线 与直线 的斜率分别为 ，则下列命题中正确的是（ ）
A. 存在点 ，使
B. 存在点 ，使C. 对任意点 ，均有
D. 对任意点 ，均有
【答案】BC
【解析】
【分析】求出左右顶点 、 坐标，设 ，根据两点式表示出斜率，对于A，由 ，得
，代入双曲线方程，得方程无实数根，则A错误；对于B，由 ，得 ，代入双曲线方程，
解得 ，则B正确；对于C，由双曲线方程，得 ，可得 ，则C正确；对于D，由
，则得 ，代入双曲线方程，得 ，则只存在一个点 满足题意，则D错
误.
【详解】
由题意，得左顶点A(−2,0)，右顶点 ，
设P(m,n)(m>2,n>0)，则 ，
所以 .
对于A，由 ，得 ，所以 .
若 ，则 ，即 ，
代入 ，得 ，显然此方程无实数根，故A错误；
对于B， ，若 ，则 ，
解得 ，代入 ，解得 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
所以 ，故C正确；
对于D， ，
若 ，则 ，即 ，代入 ，得 ，显然只存在一个点 满足
题意，故D错误.
故选：BC.
11. 设函数 ，则（ ）
A. 是 的极小值点 B.
.
C D.【答案】ABD
【解析】
【分析】由二倍角正弦公式得 ，对函数求导并研究其区间单调性，结合极值点定
义、单调性判断A、B、C；首先得到 ，再根据区间单调性，及对称性判断D.
【详解】由 ，
得 .
所以 ，
当 时， 单调递减；
.
当 时， 单调递增
对于A，显然 是 的极小值点，正确；
对于B，显然 ，而 在 内单调递减，所以 ，正确；
对于C，当 时， ，故 .
由 ，得 ，即 ，错误；
对于D，由 ，
得所以 ，
因为 ，而 在 内单调递增，
所以 ，即 ，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于D，注意首先确定函数的对称性有 为关键.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由抛物线的解析式求出 ，即可求解.
【详解】抛物线 即 ，其图象是由抛物线 的图象向上平移一个单位得到，
由 ，得焦点到准线的距离是 .
故答案为： .
13. 已知直线 与曲线 相切，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，代入 可得 ，即可求解.【详解】 ，设切点横坐标为 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
将 代入，得 ，解得 ，则 .
故答案为：2
14. 在数学中连加符号是“ ”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都
加起来，例如： .类似的在数学中连乘符号是“ ”，这个符号就是连续求积的意思，
把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： .已知数列 满足：
，则 __________.
【答案】1
【解析】
【 分 析 】 根 据 递 推 关 系 有 ， 且 ， 再 结 合 运 算 定 义 分 别 求 出
，即可得结果.
【详解】 可得 ，
即 ，故
；
又由 ，可得 ，
故
，
故 .
故答案为：1.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 列出等式求得公比，即可求解；
（2）由错位相减法即可求解；
【小问1详解】设等比数列 的公比为 ，则 .
因为 ，所以 ，解得 .
所以数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
由（1）得， ，所以 ，
则 .
所以 ，
则 ，
两式相减，得
所以
16. 已知点 是抛物线 上的动点，过 向 轴作垂线段，垂足为 ，记垂线段 的中点为 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）不过坐标原点 的直线 与点 的轨迹相交于 两点，且以线段 为直径的圆过点 ，
求 的面积.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设点 的坐标为 ，，则 的坐标为 ，代入抛物线方程计算即可；
（2）联立 ，借助韦达定理及 ，求得 ，进而利用弦长求得面积.
【小问1详解】
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
又点 在抛物线 上，所以 ，化简得 ，
的
所以点 轨迹方程为
【小问2详解】
设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
由 ，得 ，
，
所以 ，
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，或 （舍去）.
所以 ，
又原点 到直线 距离为 ，
的
所以 的面积 .
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，
.
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】【
分析】（1）连接 ，设 ，连接 ，利用线线平行可证线面平行；
（2）可证 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直
角坐标系 ，求得平面 的法向量是 ，求得平面平面 的一个法向量，利用向量法可得 的
方程，求解即可.
【小问1详解】
连接 ，设 ，连接 ，
则在平行四边形 中， 是 的中点，
又 ，所以 是 的中点，
所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
故以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，设 ，则 ，
所以 ，
故 ，
，
设平面 的法向量是 ，所以
即 ，取 ，得 ，
所以 ，
易知平面 的法向量是 .
因为二面角 的余弦值为 ，
所以 ，
解得 .
18. 已知椭圆 的两个焦点为 ，点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线与椭圆 交于 两点，求证： 的内心在一条定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，代入点的坐标可得 ，求解可得椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组，由韦达定理可得 ，
设直线 的斜率分别为 ，计算可得 恒成立，进而可得结论.
【小问1详解】
因为椭圆两个焦点为 ，所以 ，则 ，
又点 在椭圆 上，所以 .即 ，
两式联立，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
由题意可知直线 的斜率存在，且不为0，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2设直线 的斜率分别为 .
所以 ，
因为 ，
所以 恒成立，则直线 的倾斜角互补，即 的平分线总垂直于 轴，
所以 的内心在定直线 上.
19. 如果函数 的导数 ，可记为 .若 ，则
表示曲线 ，直线 以及 轴围成的“曲边梯形”的面积.
（1）求曲线 在 上与 轴围成的封闭图形的面积；
（2）当 时，求证： ；
（3）求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可.
（2）先由新定义的运算得到 ，再构造函数 ，利用导数分析单调性，证明结论.
（3）先证明 时，再利用结论，得 ，累加法可得答案.
【小问1详解】
由 ，得 .
由题意可得所求面积 .
令 ，则 是常数）
所以 ，
即曲线 在 上与 轴围成的封闭图形的面积为 .
【小问2详解】
令 ，可得 （ 是常数），
所以 ，
要证 ，只需证 ，
令 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，所以当 时， ，
所以 ，即 .
【小问3详解】由（2）得，当 时， .
因为 ，所以 .
即 .
所以 .
.
.
.
累加可得
，
即 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：构造函数 ，求导证明 ，进而得到
，利用累加法得出答案.
