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句容三中、海安实中高三年级联合测试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求共轭复数，再求模即可.
【详解】 ，则 ，即 ；
故选：B.
2. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解对数不等式求出集合 ，再求出集合 ，最后根据交集、并集的定义计算即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ， .
故选：C
3. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【
分析】利用指数与对数的互换表示出 ，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．
【详解】由题可得 ，即 ．
原式 ．
故选： ．
4. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据 与 的推出关系判断.
【详解】若 ，则 ，
则 ，
所以 ，
所以充分性成立；
若 ，即 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以 或 ，即 或 ，
所以必要性不成立.故“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A
5. 设 ， 为正实数，若 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
分析】由 ，令 ， ，即可得到 ，
【
则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， 为正实数，且 ，
令 ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D．
6. 棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．
【详解】设棱台的高为 与截得它的棱锥的高 ，作出草图，如下图所示：由相似关系可得， ，所以 ，则
即 ， 可得 .
故选：B．
【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．
7. 如图是一个近似扇形的鱼塘，其中 ，弧 长为 （ ）.为方便投放饲料，欲在如图
位置修建简易廊桥 ，其中 ， .已知 时， ，则廊桥
的长度大约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】设圆心角 ，取 中点 ，连接 ，可得 ，结合题目给定数据即可
求解.
【详解】取 中点 ，连接 ，由题 ，
设圆心角 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：B
【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形中的基本运算，平面几何相关知识及数
形结合思想的应用.
8. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且满足 ， ，
，若 ，则 （ ）
A. B. C. 88 D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.
【详解】由 得 ，①，则 关于直线 对称.
另外 ②，则 关于点 对称.
所以
，
所以 ，所以 是周期为 的周期函数.
， ，
则 ，
由②，令 ，得 .
所以 ，
由②，令 ，得 ；
所以 ，
由①，令 ，得 ；令 ，得 .
由②，令 ，得 ；
令 ，得 ，
则 ， ；
，
，以此类推，
是周期为 的周期函数.
所以 .故选：B
【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如 ，则 关于直线 对称；如
，则 关于直线 对称；如 ，
则 关于点 对称；如 ，则 关于点 对称.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B. “ ”是“ ”的充分条件
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】CD
【解析】
【分析】关于选项A,由任意,只需取一反例即可,取 时不成立即可排除;
关于选项B,当 时不能推出 ;
关于选项C,因为 ,对不等式 左右两边分别乘以 ,即可证明;
关于选项D,不等式有同向可加性,将 两边同时同时乘以-1,即可证明 ,再取倒数即
可.
【详解】解:关于选项A,
当 时, ,不满足 ,
故选项A错误;
关于选项B,
当 时, ,不满足题意,
故选项B错误;
关于选项C,,同时乘以 可得 ,
在 两边同时乘以 ,可得 ,
综上: 成立,
故选项C正确;
关于选项D,
,两式相加可得:
,
则有 成立,
故选项D正确.
故选:CD
10. 已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（
）
A. 函数 的图像关于点 中心对称
B. 函数 的图像关于直线 对称C. 函数 在 上单调递减
D. 函数 的图像向右平移 个单位可得函数 的图像
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象求得 解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】由图象得函数最小值为 ，故 ，
，故 ， ，
故函数 ，
又函数过点 ，故 ，解得 ，
又 ，即 ，故 ，
对称中心： ，解得 ，对称中心为 ，当
时，对称中心为 ，故A选项正确；
对称轴： ，解得 ，当 时， ，故B选项
正确；
的单调递减区间： ，解得 ，又
，故C选项不正确；函数 图像上所有的点向右平移 个单位，得到函数 ，
故D选项不正确；
故选：AB.
11. 在 中， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. 的周长有最大值为21
B. 的平分线长的最大值为
C. 若 ，则 边上的中线长为
D. 若 ，则该三角形有两解
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出 ，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助
线，表达出 ，由基本不等式求出 的最值；C 选项，由三角恒等变换求出
，由正弦定理求出 ，再在 中，由余弦定理求出答案；D选项，判
断出 ，得到三角形解的个数.
【详解】A选项， ，故 ，
变形得到 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的周长有最大值为 ，A正确；B选项，如图， 为三角形 的角平分线，故 ，
过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
则 ，设 ，则 ，
，
又 ，
所以 ，解得 ，
由A选项可知 ，又 ，故 ， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，则 ，
故 的平分线长的最大值为 ，B正确；
C选项，若 ，则 ，故 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，故 边上的中线长为 ，C错误；
D选项，若 ，则 ，
而 ，则该三角形有两解，D正确.
故选：ABD
12. 已知 分别是函数 和 的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点 和 关于点对称，根据 可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到 的
范围即可判断D选项.
【详解】因为 ， 分别是函数 ， 的零点，所以 ，
，那么 ， 可以看做函数 和 与函数 图像交点的横坐标，
如图所示，点 ， ， 分别为函数 ， ， 的图像与函数 图像的交点，所以
，因为函数 和 互为反函数，所以函数图像关于 的图像对称， 的图像
也关于 的图像对称，所以点 和 关于点 对称， ，
，故AB正确；
由反函数的性质可得 ，因为 单调递增， ，
所以 ，所以 ，故C错；
当 时，函数 对应的函数值为 ，函数 对应的函数值为 ，因为
，所以 ，所以 的范围为 ，那么 ，而 ，所以 ，故D正
确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 集合 的真子集的个数是___________.
【答案】31
【解析】
的
【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集 个数.
【详解】 共5个元素，
则真子集的个数是 .
故答案为：31
14. 已知二次函数 ．甲同学： 的解集为 ；乙同学： 的
解集为 ；丙同学：y的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则 a
的范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.
【详解】若甲正确，则 且 ，即 ，则 ；
若乙正确，则 且 ，即 ，则 ；
若丙正确，则二次函数的对称轴方程 ，可得 ；
因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故 .故答案为：
15. 已知 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 的关系，即可平方得 ，结合同角关系以及二倍
角公式即可求解.
【详解】由 平方得 ，结合 得
，
所以 ，由于 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
16. 已知直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 的值为
__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由 求得切线方程，结合该切线也是 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得
直线 ，从而求得正确答案.
【详解】设 是 图像上的一点， ，
所以 在点 处的切线方程为 ， ①，令 ，解得 ，
，所以 ，
，所以 或 （此时①为 ， ，不符合题意，舍去），
所以 ，此时①可化为 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 ， .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）求 时，函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令 即可得出答
案；
（2）由 得 ，由此即可求出答案．
【详解】解： ；
（1）令 ，得 ，所以函数 的单调递增区间为 ；
（2）由 得 ，
∴ ，
从而函数 值域为 ．
的
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．
.
18 已知函数 .
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若函数 在 上有2个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由函数 为偶函数，得到 ，进而得出 ，即可求得实数 的值；
（2）令 ，整理得 ，根据函数 在 上有2个不同的零点，得到
， ，结合定义域，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 为偶函数，则 ，即 .
整理得 ，所以 .
（2）因为函数 ，令 ，可得 ，整理得 ，
即 ，
由函数 在 上有2个不同的零点，
所以 ， ，且 ， ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
19. 在数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 ，然后当 时，由已知式子可得 ，和
已知式子相减化简可求得 ，再验证 ，即可求得通项公式，
（2）由（1）得 ，然后利用错位相减法可求得
【小问1详解】
当 时， ，当 时，则 ，得 ，
两式相减得， ，所以 ，
因为 满足上式，
所以
【小问2详解】
由（1）得 ，
所以
所以 ，
所以
，
所以
20. 如图，四棱锥 中， 是等边三角形， ， ．（1）证明： ；
（2）若 ， ，求点A到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点O，连接 ，结合题意和三角形全等得到 ，利用线面垂
直的判定得到 平面 ，再利用线面垂直的性质即可得证；
（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面 的法向量和 所在
直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.
【小问1详解】
如图，连接 ，交 于点O，连接 ，
由 ，
可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即O为 中点，
在等腰 中，可得 ，在等腰 中， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ．
【小问2详解】
由（1）可得， ，
又 ，
所以 ，
由于 为正三棱锥，点P在底面 的垂足一定在 上，设垂足为M，
根据正三棱锥的性质可得 ，
如图，过点 作 的平行线，以 的平行线所在直线为 轴，以 所在直线为x轴，y轴建立
空间直角坐标系．
可得 ，
又 ，
（或 ）
设平面 的法向量 ，可得不妨令 ，可得 ，
所以 ，
故所以点A到平面 的距离为 ．
21. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求证： .
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得 ，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换 ，结合B角范围即可求解.
【小问1详解】
在 中，
由 及正弦定理得：
又∵ ，
∴
即
，∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
【小问2详解】
得： 得 ，
∴ ，∴ ，
由题意 ， 及正弦定理得：
∵ ，∴ ，即
故 的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵ ，∴ ，
由（1）得： ，故由（1）得： 得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
故 的取值范围为
22. 已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）证明：当 时， 在 上有且仅有一个零点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将问题转化为 在 上恒成立，即 在 上恒成立；令
，利用导数可求得 ，由此可得 的范围；（2）当 时，由 可知 ，将问题转化为证明 在 上
有且仅有一个零点，利用导数可说明 在 上单调递增，结合零点存在定理可说明 在
上有且仅有一个零点，由此得到结论.
【详解】（1）由题意得： ，
若 在 上单调递减，则 在 上恒成立，
在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ， ， ， ，
又 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
， ，即 的取值范围为 ；
（2）当 时， ，则 ，当 时， ， 在 上恒成立，
只需证 在 上有且仅有一个零点；
， 当 时， ， ，
在 上恒成立， 在 上单调递增，
又 ， ，
在 上有且仅有一个零点，即 在 上有且仅有一个零点.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、
利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从
而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.
