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2023—2024 学年度第二学期教学质量检查
高二数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知函数 ，则 的导函数为（ ）
.
A B.
C. D.
2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 两个相关变量 满足如下关系：
2 3 4 5 6
25 ● 46 58 65
根据表格已得经验回归方程为 .若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（ ）
A. 35.5 B. 36 C. 36.5 D. 37
4. 在区间 上，若 ，则下列四个图中，能表示函数 的图像的是（ ）
A. B.C. D.
5. 某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，
只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课
程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ）
A. 316种 B. 360种 C. 216种 D. 288种
6. 袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出
球的总数，则 的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于
2024的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 满足 且 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题
卡中的相应位置涂黑.
9. 变量 与 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为，相关系数为 ，决定系数为 ；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），
把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线 的方程为 ，相关系数为
，决定系数为 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 在 处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 的展开式中， 的系数是80，则 ___________.
13. 若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取
出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件 ，若，则整数 的最小值为__________.
14. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 __________.
四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7
分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区
域内，超出指定区域的答案无效.
15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 .
（1）求实数 的值；
.
（2）若 ，求证：
16. 某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有
效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.
（1）根据所给数据，完成下面的 列联表：根据小概率值 的独立性检验，分析性别因素是否
会影响经常体育锻炼？
经常体育锻炼与否
性别 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
的
（2）从不经常体育锻炼 15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；
有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附： ，其中 .
①
临界值表
② 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 某企业生产一种热销产品，产品日产量为 吨，日销售额为 万元（每日生产的产品当日可销售
完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量
（单位：吨）和日销售额 （单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做
了初步处理，得到统计数据如下表：
.
15 73 48 10 161.2 1.6 39 15.9
其中， 分别为数据 的平均数.
（1）请从样本相关系数的角度，判断 与 哪一个模型更适合刻画日销售额 关于
日产量 的关系？
（2）根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立 关于 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量 （单位：吨）与日生产总成本 （单位：万元）满足关系 ，根据
（i）中建立的经验回归方程估计日产量 为何值时，日利润 最大？
附：①相关系数 ；②经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： .
③参考数据： .
.
18 已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
19. 设集合 ，且 ，记集合 中的最小元素和最大元素分别为随
机变量 .
（1）若 的概率为 ，求 ；
（2）若 ，求 且 的概率；
（3）记随机变量 ，证明： .2023—2024 学年度第二学期教学质量检查
高二数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知函数 ，则 的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可.
【详解】由 可得 ，
即 .
故选：B
2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布对称性得出概率.
【详解】因为 所以 ,
又因为正态分布的对称轴为2，所以 ,所以
所以 .
故选：C.
3. 两个相关变量 满足如下关系：
2 3 4 5 6
25 ● 46 58 65
根据表格已得经验回归方程为 .若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（ ）
A. 35.5 B. 36 C. 36.5 D. 37
【答案】B
【解析】
【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可.
【详解】因为 ，代入 ,
所以 .
故选：B.
4. 在区间 上，若 ，则下列四个图中，能表示函数 的图像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.
【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间 上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大
于1，则显然BCD不合题意，
对A选项，函数在 处的切线斜率等于1，且在 上，切线斜率不断增大，则 恒成立，
故A正确.
故选：A.
5. 某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，
只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课
程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ）
A. 316种 B. 360种 C. 216种 D. 288种
【答案】D
【解析】
【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和
即得结果.
【详解】分两种情况讨论：
不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有 种选法，
四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有 种选法，
故报名的情况有 种；
1人选羽毛球，则 种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则 种选法，
其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则 种，
故报名的情况有 种.
所以他们报名的情况总共有 种.
故选：D
6. 袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出
球的总数，则 的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先明确 所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.
【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑
白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，
这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得：
.
故选：A.
7. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于
2024的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过 和 结合组合数对称性质得出杨
辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解.
【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，
其中从左往右第4个数为 ，从左往右第5个数为 ，
所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有 个大于2024，
故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为 .
故选：D.
8. 已知实数 满足 且 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数运算法则将等式变形，根据指数函数值域及对数不等式可得 的范围
【详解】由 得 ，
由 得 ，
因此 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
利用 得 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：A二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题
卡中的相应位置涂黑.
9. 变量 与 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为
，相关系数为 ，决定系数为 ；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），
把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线 的方程为 ，相关系数为
，决定系数为 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据点B的特点判断选项 ， ；由于去掉B，其它点的线性关系更强，从而可判断 ， 选
项．
【详解】因为共8个点且离群点B的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，
而截距变小，所以 正确，而 错误；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以 ，
故 错误， 正确.
故选：AC．10. 已知函数 在 处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A，B；根据函数在 处取到极大值，则函数在
的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C，D.
【详解】因为 ，则 .
函数在 处取到极大值1.则 ，则A正确；
两式子相减，得到 ，即 ，则B正确；
由前面知道， ，则 ，
由于函数在 处取到极大值，则函数 的附近单调性为“左增右减”.
则 ，对于 时， ，
即 ，即 ，即
，
即 ，则 .则C正确，D错误.
故选：ABC.
11. 设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】 ,求出 ，利用 可判断A，由
可判断B，由条件概率公式可判断D.
【详解】由 ，因为 ，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，故A正确；
则 ，所以 ，故B错误；
由于 ，所以C正确；
由于 ，则 ，所以 ，
故D正确；
故选：ACD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 的展开式中， 的系数是80，则 ___________.
【答案】2
【解析】
【
分析】由二项式定理公式 即可得到结果.
【详解】依题意， 的展开式的通项为:，
当 时， ，此时 ，
所以 .
故答案为：2.
13. 若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取
出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出 的水果是苹果”为事件 ，若
，则整数 的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】记 、 、 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式
即可得解.
【详解】记 、 、 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则 、 、
相互互斥，
所以由全概率公式得：
，
，故整数 的最小值为3.
故答案为：3.
14. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 __________.
【答案】【解析】
【分析】设直线 与 和 的切点分别为 ， ，分别求出切点
处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到 的值.
【详解】 和 分布求导，得到 和 .
设直线 与 和 的切点分别为 ， ，
则切线方程分别为， ， ，
化简得， ， .
依题意上述两直线与 是同一条直线，
所以， ，解得 ，
所以
故答案为： .
四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7
分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区
域内，超出指定区域的答案无效.
15. 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导数几何意义以及切线方程即可求解.（2）先由（1）得 解析式，再由解析式结构特征结合导数工具分 和 两段研究 的
值的情况即可得证.
【小问1详解】
由题 ，
所以由导数几何意义以及切线方程得 ，
.
【小问2详解】
由（1） ，
因为 ，故当 时 恒成立；
令 ，则 在 上恒成立，且当且仅当 时 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以当 时 即 恒成立，
所以当 时， ，
.
综上得：若 ，
16. 某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有
效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.
（1）根据所给数据，完成下面的 列联表：根据小概率值 的独立性检验，分析性别因素是否
会影响经常体育锻炼？
性别 经常体育锻炼与否 合计经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；
有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的
条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附： ，其中 .
①
临界值表
② 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意补全 列联表，计算 的值，作出判断；（2）由条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
由题可得50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，
40名经常体育锻炼；
列联表如下：
经常体育锻炼与否
性别 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼男 45 5 50
女 40 10 50
合计 85 15 100
所以 ，
因为 ，根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育
锻炼.
【小问2详解】
设 事件为其中一份是“没有时间”， 事件为另一份是“没有运动伙伴”，
， ，
所以
17. 某企业生产一种热销产品，产品日产量为 吨，日销售额为 万元（每日生产的产品当日可销售
完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量
（单位：吨）和日销售额 （单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做
了初步处理，得到统计数据如下表：
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中， 分别为数据 的平均数.
（1）请从样本相关系数的角度，判断 与 哪一个模型更适合刻画日销售额 关于
日产量 的关系？
（2）根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立 关于 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii）如果日产量 （单位：吨）与日生产总成本 （单位：万元）满足关系 ，根据
（i）中建立的经验回归方程估计日产量 为何值时，日利润 最大？
附：①相关系数 ；
②经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： .
③参考数据： .
【答案】（1） 模型更适合刻画日销售额 关于日产量 的关系
（2）（i） ；（ii）20
【解析】
【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii）求出
的解析式，结合导数研究 的单调性，即可求解.
【小问1详解】
设 模型的相关系数为 ，设 模型的相关系数为 ，
所以 ，
，由于 ，所以 模型拟合更好，即 模型更适合刻画日销售额 关于日产
量 的关系
【小问2详解】
（i）由(1)知 关于 的经验回归方程为 ，
由题可得： ，
，
所以
（ii）由题可得 ，
所以 ，
令 解得：
当 时， ，当 时，
则 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
所以当 时，日利润 最大
18. 已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ，求导得 ，对 分类谈论，判断函数单调性即可.
（2）由（1）得， ，因为 ，整理得 ，只需证 即可，即证
，对 求导分析单调性，求出最小值即可证明.
【小问1详解】
由题可得 ，
则 ，
①当 ，即 时， 恒成立，
在 上单调递增；
②当 ，即 或 时，
（i）当 时， 恒成立，
在 上单调递增；
（ii）当 时，由 得 ， ，经判
断得 ，
当 时， 或 ，当 时， ，
在 ， 上单调递增；在 上单调递减.综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减.（其中 ，
）.
【
小问2详解】
由（1）得，当 ， 在 上单调递增，
，
，
， ，
下面证 ， ，即证 在 上恒成立，
，
令 ，
在 恒成立，
在 上单调递增，
恒成立，
在 上单调递增，
恒成立，
，即 ， ，，即 .
【点睛】导数含参二次型讨论单调性的参数分类方法：
求导后能通分则通分，通分后对分子因式分解，若不能因式分解，则讨论开口方向或是否为二次函数，接
下来分为：
① 时， ，则 单调递增；
② 时， 时， 有两个根，然后需判断两根是否在定义域内.
结合以上情况可以确定参数分类.
19. 设集合 ，且 ，记集合 中的最小元素和最大元素分别为随
机变量 .
（1）若 的概率为 ，求 ；
（2）若 ，求 且 的概率；
（3）记随机变量 ，证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B的个数为 个.运用对立事件概率求法，
，解出即可.
（2）当非空集合B中的最小元素和最大元素分别为 时，分析出集合B可能情况有 个，若 ，非空集合B的个数为 .古典概型相除求出概率即可.
（3）与上面方法一样，求出当最小值 的概率 .求出当最大值
的概率 .则 .运用求和规则，慢
慢将式子展开，变形，得出结论即可.
【小问1详解】
非空集合B的个数为 个.
所以
因为 ，解得 ，则 .
【小问2详解】
当非空集合B中最小元素和最大元素分别为 时，集合B中元素一定有元素 ，
一定没有元素 可有可无元素有
则集合B可能情况有 个.
若 ，非空集合B的个数为 .
所以 .
【小问3详解】
非空集合B的个数为 个，
最小值 的集合B的个数为 个，
则 .最大值 的集合B的个数为 个，
则 ，
所以 .
【点睛】知识方法点拨：新问题的求解策略：
1、遇到新问题，应耐心读题，分析新问题的特点，弄清新问题的性质，按要求逐条分析、运算、验证，
使得问题得以解决.
2、若新问题与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分
法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
3、若新定义与集合的运算有关，首先分析题意，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以
使用的集合的性质的一些因素.
