文档内容
四川省大数据精准教学联盟 2022 级高三第一次统一监测
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填
写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区
域答题的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1. 已知 为虚数单位，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.
【详解】因为
故选：B.
2. 已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当 时， ，此时 ，即 可以推出 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，所以 ，得到 ，所以 推不出 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 若双曲线 ： 的一条渐近线的斜率为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出双曲线的渐近线方程为 ，结合条件得到 ，即可求解.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，由题知 ，
所以离心率 ，
故选：B.
4. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ，点 为 中点，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到 ，再利用向量的线性运算，
即可求解.
【详解】因为点 为 中点，所以 ，又 ， ，
所以
故选：C.
5. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 天的日销售量（单位：kg），将全部数据按
区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（ ）
A. 图中 的值为
B. 这 天中有 天的日销售量不低于 kg
C. 这 天销售量的中位数的估计值为 kg
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 地满足顾客的需要（在 天中，大约有 天可以满足顾客
的需求），则每天的苹果进货量应为 kg
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】选项A，利用频率分布直方图的性质，即可求解；选项B，利用频率分布直方图，得到不低于
kg的频率为 ，即可求解；选项C，设中位数为 ，根据条件，建立方程 ，即可求
解；选项D，将问题转化成求第 分位数，即可判断出正误.
【详解】对于选项A，由图知 ，解得 ，所以选项A正确，
对于选项B，由图知日销售量不低于 kg的频率为 ，由 ，所以选项B正确，
对于选项C，设中位数为 ，由 ，解得 ，所选项C正确，
对于选项D，设第 分位数为 ，则有 ，得到 ，所以选项D错误，
故选：D.
6. 函数 ， 的图象大致为（ ）
A B.
.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得到 为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合 与 在
上的正负值，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为定义域关于原点对称，又 ，
即 为奇函数，所以选项A和B错误，
又当 时， ，当 时， ，此时 ，
又易知当 时， ，所以 时， ，结合图象可知选项C错误，选项D正
确，
故选：D.
7. 已知正四棱锥 的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为 ，若正四棱锥 的
高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正四棱锥及球的特征、体积公式结合勾股定理计算即可.
【详解】
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥 的外接球球心在 上，
不妨设球半径 ，
该球的体积为 ，即 ，
又正四棱锥 的高与底面正方形的边长相等，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
即 .
故选：C
8. 已知 ，且满足 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数研究其单调性，结合二
倍角公式及余弦函数图象计算即可.
【详解】
令 ，
则 ，
所以f (x),g(x)均单调递增，
又 ，所以 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，即 为 的零点，
而 ，即 为 的零点，
作出 大致图象如上，易知 ，
因为 ，综上 .
故选：A
【点睛】方法点睛：对于比大小问题，通常利用构造函数的方法，利用导数研究其单调性，还可以通过数
形结合的方法比较大小.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 最的小正周期为 ，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 在 上单调递增
C. 的图象关于点 中心对称
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换
一一判定选项即可.
【详解】易知 ，其最小正周期为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，显然 ，故A正确；
令 ，
显然区间 不是区间 的子区间，故B错误；
令 ，则 是 的一个对称中心，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位得到
，
故D正确.
故选：ACD
10. 已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆相交于
两点，则（ ）
A.
B.
C. 当 不共线时， 的周长为
D. 设点 到直线 的距离为 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设P(x ,y )，结合两点间距离公式和点
0 0
在椭圆上可化简求得D正确.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
对于A，由题意知： ， ， ， ，A错误；
对于B， 为椭圆 的焦点弦， ，B正确；
对于C， ，
的周长为 ，C正确；
对于D，作 垂直于直线 ，垂足为 ，
设P(x ,y )，则 ，
0 0
，
，
， ，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极小值一定小于
B. 函数 有6个互不相同的零点
C. 若对于任意的x∈R， ，则 的值为
D. 过点 有且仅有1条直线与曲线y=f (x)相切
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A项，利用导数研究函数的单调性结合隐零点判定极小值点的范围，计算即可；对于B项，
利用数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，含参讨论结合端点效应计算即可；对于D项，利
用导数的几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.
【详解】对于A，易知 ，令 ，
易知 上 单调递减， 上 单调递增，
而 时 恒成立，
且 ， ，
所以 使得 ，
则在 上 单调递减，在 上 单调递增，
即 时， 取得极小值，极小值为 ，故A正确；
对于B，由上知在 上 单调递减，在 上 单调递增，
且 ， ，
则 ，使得 ，
又知
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学科网（北京）股份有限公司则 ，显然存在两个不同的根，且 也存在两个不同的根，
即函数 有4个互不相同 的零点，故B错误；
对于C，若对于任意的 ， ，
即 ，
令 ，
若 ，则 ，
根据上证 的性质知 ，使得 ，
即 上 单调递减，此时 ，不符合题意，
若 ，则有 在 上单调递减， 上单调递增，
即 ，符合题意，
若 ，此时 ，
则区间 上一定存在子区间使得 单调递增，
而 ，则 含有小于零的值，不符合题意，故C正确；
对于D，设过 与曲线 相切的切线切点为 ，
则 ，
整理得 ，
令 ，
可得 上 单调递减， 上 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司即 时 取得极大值 ，
，则 使得 ，且 的根唯一，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于A项，利用隐零点判定极小值点的范围，结合单调性即可判定；对于B项，利用
数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，利用端点效应含参讨论即可；对于D项，利用导数的
几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.本题需要多积累一些
常用函数的图象与性质可提高做题速度，
如： 型.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先计算 ，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
故答案为：
13. 已知数列{a }满足 ， ， ，设{a }的前 项和为 ，则
n n
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意 可得数列 为等差数列，设出公差及首项，再结合 与
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学科网（北京）股份有限公司，从而可求解.
【详解】由 ，所以 ，所以数列 为等差数列，
并设其公差为 ，首项为 ，又因为 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
14. 条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到
日常生产生活中.定义：设 ， 是离散型随机变量，则 在给定事件 条件下的期望为
，其中 为 的所有可
能取值集合， 表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，
凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 ，某人在该商场消费了
1000元，共获得4次抽奖机会.设 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次
数.则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可知 可取 ，然后再分别算出相应的 概率值，再结合
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学科网（北京）股份有限公司从而可求解.
【详解】由题意可知 可取 ，
所以 ， ，
，
又因为 ，
所以
.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于本题主要是根据题中所给条件分别求出不同情况下的概率 ，然
后再结合定义中的公式求出其期望值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 的平分线交边 于点 ，且 ， ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理先计算 与 ，再根据三角形内角和计算 ，利用正弦定理得c，由面积公
式计算即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问2详解】
根据题意及余弦定理有 ，
所以 ，
则 ，
根据正弦定理有 ，
所以 .
16. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， .
（1）求证；平面 平面 ；
（2）若 ， ，三棱锥 的体积为100，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）由 平面 得到 ，再结合 ，可证明 平面 ，从而可
求解；
（2）由题意知求出 ，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解.
【小问1详解】
证明：由题意得 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
因为 ， ， ，所以 ，
又因为三棱锥 的体积为 ，即 ，得 ，
为
由题意可得以 原点，分别以平行于 ，及 ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如
图，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
设二面角 为 ，则 .
所以锐二面角 的余弦值为 .
17. 已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 在区间 上恒成立，构造函数 ，求得
其最大值，即可得到结果；
（2）根据题意要证 等价于证明 ，构造函数 ，利用
导数求出其最小值 ，从而可求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，
构造函数 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当x=1时 取得极大值也是最大值，即 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
【小问2详解】
由题意得 的定义域为 ，
当 时，要证 ，即证： ，等价于证明
构造函数 ，即证 ；
所以 ，令 ，
因为函数 的对称轴为 ，所以 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使 ，
所以当 时， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 有极小值也是最小值 ，
又因为 ，得 ，所以 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以即证 ，所以可证 .
18. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中
的概率为 ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投 个球，每投进
一个球记 分，未投进记 分.
（1）求甲在一轮投篮结束后的得分不大于 的概率；
（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为 .
①求 的分布列和数学期望；
②若 ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为 ，
当 为何值时， 的值最大？
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）①分布列见解析， ；② 或 或
【解析】
【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的
概率公式，即可求解；
（2）①由题知 可能取值为 ，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望
公式，即可求解；②根据条件，得到 ，再由 ，即可求解.
【小问1详解】
甲在一轮投篮结束后的得分不大于 ，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于 的概率为 .
【小问2详解】
①由题知 可能取值为 ，
， ，
，
， ，
所以 的分布列为
数学期望 .
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学科网（北京）股份有限公司②由①知 ，由题知 ，所以
，
由 ，
得到 且 ，
整理得到 ，即 ，
得到 ，所以 ，
由题有 ，所以 ，得到 ，又 ，所以 或 或 .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在第（2）中的②问，根据条件得到 ，从而得到
，再将问题转化成求解不等式 ，即可求解.
19. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于点 ， ， 面积的
最小值为 （ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 ： 的坐标为 ，直线 ，
与 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴的交点为 ，设点 的横坐标为 .
（1）求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 的通项公式；
（3）数列 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设直线 与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算
出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出 即可；
（2）利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出 ，然后找到两者关系，最后利用其
关系求得通项公式即可；
（3）利用等差中项的判断方式，判断数列 不可能存在连续三项是等差数列.
【小问1详解】
设直线 ，A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
联立 ，得 ，
得
由韦达定理可知：
由题可知：
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学科网（北京）股份有限公司因为面积的最小值为 ，且 ，
所以
【小问2详解】
设 ，
由题可知 ， ，两式求差可得
所以 ，
所以直线 方程为 ，整理得
同理： 方程为：
令 可得
可知， 方程为：
(1 )
因为 过焦点 ,0 ，所以有
2
方程为：
令 可得
由 ，可知
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
得
取对数可得
由题可知 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
所以有
解得
【小问3详解】
不存在，理由如下
假设存在，则一定有
因为 ，得
化简得
因为
显然
所以 在 无解；
故不存在连续的三项为等差数列.
【点睛】关键点点睛：第一问，可以利用常规的计算方式计算，也可以利用抛物线的焦点三角形的面积公
式 （ 为直线 倾斜角）判断即可，最好证明该二级结论；
第二问，主要是需要找到 关系，所以需要多建立直线方程，最好用相同的容易计算的方式，所以利
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学科网（北京）股份有限公司用中点弦定理，建立方程，比较容易计算，得到 ，此种数列，去对数求解即可;
第三问，判断 是否存在连续三项为等差数列，假设存在，然后直接用反证法证明即可.
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学科网（北京）股份有限公司
