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高三数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1. 集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
3. 展开式中第6项 的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的x的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
5. 体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为
0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（ ）
A. 0.38 B. 0.24 C. 0.14 D. 0.5
6. 函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）A. 4 B.
C. D. 8
8. 已知函数 是R上的偶函数，对于 都有 成立，且 ，
当 ，且 时，都有 ．则给出下列命题：
① ；②函数 图象的一条对称轴为 ；
③函数 在 上为严格减函数；④方程 在 上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数有（ ）
.
A B.
C. D.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 单调递增
B. 有两个零点
C. 的最小值为
D. 在 点处切线为
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作
由抛物线 绕其顶点分别逆时针旋转 后所得三条曲线与 围成的（如图
阴影区域）， 为 与其中两条曲线的交点，若 ，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. |AB|=4
C. 直线 截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. __________.
13. 已知二次函数 满足 ，则 与 大的小关系是______．
的
14. 在棱长为 正方体 中，点 分别为棱 的中点. 点 为正方体表面上的
动点，满足 . 给出下列四个结论：
①线段 长度的最大值为 ；
②存在点 ，使得 ；
③存在点 ，使得 ；④ 是等腰三角形.
其中，所有正确结论的序号是________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形、 平面 分别为棱
的中点
（1）证明： 平面 ;
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
17. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的
列联表：
喜欢跑
不喜欢跑步 合计
步
男生 80女生 20
合计
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运
动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附： ，其中 ．
18. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
19. 已知双曲线 的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 与 的右支及渐近线的交点自上而下依次为 ，证明： ；
（3）求二元二次方程 的正整数解 ，可先找到初始解 ，其中
为所有解 中的最小值，因为 ，所以 ；因为
，所以 ；重复上述过程，因为
与 的展开式中，不含 的部分相等，含 的部分互为相反数，故可设，所以 ．若方程 的正整数解
为 ，且初始解 ，则 的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
