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高三入学摸底测试数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一项是
符合题目要求的.
1. 命题 的否定为（ ）
A. x＞0，x2+x+1＞0 B. x＜0，x2+x+1＞0
C. ∀x＞0，x2+x+1＞0 D. ∀x≤0，x2+x+1＞0
∃ ∃
2. 设 ， ，若 ，则实数 的值的个数为（
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（ ）
A. 6 B. 15 C. D.
4. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取
一球，记第一次取出的球的数字是 ，第二次取出的球的数字是 ．若事件 “ 为偶数”，事件
“ ， 中有偶数且 ”，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 97. 过双曲线 左焦点 作圆 的切线，切点为 ，直线 交直
的
线 于点 ．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和 ，则甲组数据的线性相关性更强
C. 用 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的概率，若
，则
D. 已知随机变量 的分布列为 ，则
10. 已知函数 ，则下列说法正确 的有（ ）
A. 若 是 上的增函数，则
B. 当 时，函数 有两个极值C. 当 时，函数 有两零点
D. 当 时， 在点 处的切线与 只有唯一个公共点
11. 在正三棱柱 中， ，点P满足 ，其中
，则（ ）
A. 当 时， 最小值为
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 时，平面 平面
D. 若 ，则P的轨迹长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线 的准线方程是___________________.
13. 由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数.（用数字作答）.
14. 甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都
等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设 次传球
后球在甲手中的概率为 ，则 ______； ______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面
底面 且 ， 为 中点.（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值.
16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小
组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号 1 2 3 4 5
学习时间 3 6
40 50 70
x 0 0
数学成绩 6 9
78 85 108
y 5 9
（1）求数学成绩 与学习时间 的相关系数（精确到0.001）；
（2）请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 关于 的回
归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：
， 的方差为200）；
（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照
是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 列联表（表二）.依据表中数据及小概率
值 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220附：方差： 相关系数：
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ，
.
.
0.10 0.05 0.010 0005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 设数列{a }的前 项和为 ，且满足 .
n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设 ，数列{b }的前 项和为 ，若对任意的 恒成立，求 的取
n
值范围.
18. 已知椭圆 左焦点为 ，离心率为 ，以坐标原点 为圆心， 为半径
作圆使之与直线 相切.
（1）求 的方程；
（2）设点 ， ， 是椭圆上关于 轴对称 的两点， 交 于另一点 ，
①证明：直线 经过定点；
②求 的内切圆半径的范围.19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r
是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，若 在点 处的切线与 轴相交于点
，称 是r的一次近似值；用 替代 重复上面的过程，得到 ，称 是r的二次近似值；一直
重复，可得到一列数： ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 近
似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
（1）若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
的
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲” 数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在
点 处的切线，并证明： ；
（3）若 ，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明：
．
