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公众号:云儿和花
广东实验中学 2024-2025 学年（上）高二级期中考试
数学
本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 ，则复数 的虚部为（ ）
A.1 B. C. D.
2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（ ）
A.14 B.15 C.23 D.25
3.在四面体OABC中， ， ， ，G为三角形ABC的重心，P在OG上，且
，则 为（ ）
A. B. C. D.
4.已知随机事件A和B互斥，且 ， ，则 等于
A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.2
5.已知直线 过定点 ，且方向向量为 ，则点 到 的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.双曲线 与椭圆 有相同的焦点，一条渐近线的方程为 ，则双曲线 的标准方程为公众号:云儿和花
（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆E于A，B两点，若AB
的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，斜率为1的直线l过左焦点 ，交C于
A，B两点，且 的内切圆的面积是 ，若椭圆 的离心率的取值范围为 ，则线段AB的
长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在棱长为1的正方体 中，E，F分别是AB，BC中点，则（ ）
A. 平面
B.直线 与平面 所成的角为
C.平面 平面
D.点E到平面 的距离为
10.已知点P是左、右焦点为 ， 的椭圆 上的动点，则（ ）
A.若 ，则 的面积为
B.使 为直角三角形的点 有6个公众号:云儿和花
C. 的最大值为
D.若 ，则 的最大、最小值分别为 和
11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点 与到点 的距离之积为4，据
此判断，下列结论正确的是（ ）
A.点 在曲线C上
B.点 在C上，则
C.点Q在椭圆 上，若 ，则
D.过 作X轴的垂线交C于A，B两点，则
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点 在角 的终边上，则 ________.
13.若 为偶函数，则 _______.
14.如图，椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，
，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，点P为两曲线的一个公共点，且
，I为 的内心， ，I，G三点共线，且 ，x轴上点A，B满足
， ，则 的最小值为________； 的最小值为________.公众号:云儿和花
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线 上，且与直线 相切
于坐标原点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）经过点 的直线l被圆M截得的弦长为 ，求直线l的方程.
16.（15分）已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且
.
（1）若 ，求 ；
（2）点d在边BC上且AD平分 ，若 ，求三角形ABC的周长.
17.（15分）椭圆 过点 且离心率为 ，F为椭圆的右焦点，过F的直
线交椭圆C于M，N两点，定点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 面积为 ，求直线MN的方程.公众号:云儿和花
18.（17分）在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ，侧面 底面
ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点，
（1）证明： 平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为 ，
①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
②平面ADE将四棱锥 分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.
19.（17分）已知双曲线 的实轴长为4，渐近线方程为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）双曲线的左、右顶点分别为 ， ，过点 作与 轴不重合的直线l与C交于P，Q两点，直
线 与 交于点S，直线 与 交于点T.
（i）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，求 的值；
（ii）求 的面积的取值范围.公众号:云儿和花
广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试·数学
参考答案
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B
9.【答案】ACD 10.【答案】BCD 11.【答案】ACD
12. 13. 14. ；
9.【答案】ACD【解析】在棱长为1的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
对于A， ， ， ，显然 ，
即 平行于平面 ，而 平面 ，因此 平面 ，A正确；
对于B， ， ，即有 不垂直于DE，
而 平面 ，因此 不垂直于平面 ，B错误；
对于C， ， ，而 ，显然 ，
，即 ， ， ， ， 平面 ，
于是 平面 ，而 平面 ，因此平面 平面 ，C正确；
对于D， ， ，设平面 的一个法向量 ，公众号:云儿和花
则 ，令 ，得 ，又 ，
所以点E到平面 的距离 ，D正确.故选：ACD
10.【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程 ，所以 ， ，
所以 ，所以 的面积为 ，故A错误；
B选项：当 或 时 为直角三角形，这样的点P有4个，
设椭圆的上下顶点分别为S，T，则 ， ， ，同理 ，
知 ，所以当P位于椭圆的上、下顶点时 也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点P有6个，故B正确：
C选项：由于 ，
所以当 最小即 时， 取得最大值 ，故C正确；
D选项：因为 ，
又 ，则 的最大、最小值分别为 和 ，当点P
位于直线 与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD
11.【答案】ACD公众号:云儿和花
【解析】对选项A，因为 ，由定义知 ，故A正确；
对选项B，点 在 上，则 ，
化简得 ，所以 ， ，B错误；
对选项C，椭圆 上的焦点坐标恰好为 与 ，
则 ，又 ，所以 ，
故 ，所以 ，C正确；
对选项D，设 ，则 ，因为 ，则 ，又 ，
所以 ，化简得 ，故 ，所以 ，
故 ，所以 ，故D正确，故选ACD.
12.【详解】由点 在角 的终边上可得， ，
则 .
13.[解析]设 ，易知 的定义域为 ，
且 ，所以 为奇函数.
若 为偶函数，则 也应为奇函数，所以 ，（在公共定义域内：奇
奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇）
14.解：①由题意得椭圆与双曲线的焦距为 ，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，
不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义： ，公众号:云儿和花
由椭圆的定义： ，可得： ， ，
又 ，由余弦定理得： ，
即 ，整理得： ，
所以： ，即 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立.
② 为 的内心，所以 为 的角平分线，则有 ，
同理： ， ， ，
即 ， ， 故 ，
为 的内心， ，I，G三点共线，
即 为 的角平分线，进而 是角 的平分线，
则有 ，又 ， ，
即 ， ， ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）解析：（1） 圆 的圆心在直线 上，设 ，
则 ，解得 ，即 ， 圆的半径为 .
圆 的标准方程为 ；公众号:云儿和花
（2）经过点 的直线l被圆M截得的弦长为 ，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，
此时直线l被圆M截得的弦长为 ，不符，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即 . .
解得 或 ， 直线l的方程为 或 .
（说明：这里少一种结果扣2分）
16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知 ，
.
， ，即 ，.
由余弦定理知 ，又 ， （不写范围扣1分）
由 ， 知 .又 为直角三角形，
， ，故 .
（2）点D在边BC上且AD平分 ，所以 ，
即 ，
即 ，即 .①
又由于 ，即 ，即 .②
①代入②得到 ，所以 或 （舍去），公众号:云儿和花
所以 的周长为 .
（说明：解答过程中从头到尾不写“正弦定理、余弦定理”扣1分）
17.
（1）由已知可得 解得 所以，椭圆C的标准方程为 .
（2）当直线MN与x轴重合时，不符合题意，设直线MN的方程为 ，
联立 ，可得 ， ，
设 ， 由韦达定理可得 ， ，
则 ，
则 ，
解得 ，所以直线MN的方程为 .
（说明：这里少一种结果扣2分）
18.【解答】（1）取PB中点M，连接AM，EM，
为PC的中点， ， ，
又 ， ，
， ， 四边形ADEM为平行四边形，
， 平面PAB， 平面PAB， 平面PAB；
（2）平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面ABCD，
， 平面PAB，公众号:云儿和花
取AB中点G，连接FG，则 ， 平面PAB，
， ， ， ，
又 ， ， ，
① 如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
， ， ，
， ，设平面PCD的一个法向量， ，
则 ，取 ，则 ，
平面PAB的一个法向量可取 ，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为 ，
，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 .
②如图， ，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，
又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥 体积 ，
又四棱锥 的体积为 ，所以五面体ABCDEM为 .公众号:云儿和花
19.（17分）解析：（1）由题意知： ， ，
解得 ， ，双曲线方程为 .
（2）因为直线l斜率不为0，设直线l方程为 ，
易知 ， ，设 ， ，
联立 ，得 ，
则 且 ，
（i）
；
（ii）由题可得： ， .
联立可得：
，即 ，同理 .公众号:云儿和花
故
且 ， .
