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普高联考 2023—2024 学年高三测评（三）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1． （ ）
A．1 B． C．2 D．
2．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则 外接圆的半径为（
）
A． B． C． D．
5．据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产
学科网（北京）股份有限公司生摩擦力 ，经研究发现摩擦力 与飞船速度 有关，且满足 ，其中 为飞船重力，
为飞船初速度．已知当 时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，
（ ）
A． B． C． D．
6．线段 的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段 外一点，且满足
，则 （ ）
A．36 B． C． D．8
7．已知函数 的零点分别为 ，则（
）
A． B． C． D．
8．已知 的图象与直线 在区间 上存在两个交点，则当 最大时，
曲线 的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司10．已知正数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 的导函数 的图象经过点 ，记 ，
则（ ）
A． 在 上单调递减 B．
C． 的图象在 内有5个对称轴 D．
12 ． 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 满 足 ， 且
，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若 ，则 在复平面内对应的点位于第________象限。
14．已知向量 ，若 ，则 与 夹角的余弦值为________．
15．若 ，则 ________．
16．过点 作曲线 的切线，则切线的条数为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在 中， 为 的中点， 为边 上靠近点 的三等分点．
学科网（北京）股份有限公司（1）分别用向量 表示向量 ；
（2）若点 满足 ，证明： 三点共线．
18．（12分）已知复数 ， 为 的共轭复数，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 是关于 的实系数一元二次方程 的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
19．（12分）在① ，② 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题
中，并作答．
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，已知________．
（1）求 ；
（2）若 的外接圆半径为2，且 ，求 ．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
20．（12分）我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家核电抗飞防爆
结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术
全面采用HRB500高强钢筋替代HRB4O0及以下钢筋．某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，
对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y（单位：
） 关 于 滚 道 径 向 方 位 角 （ 单 位 ： ） 的 函 数 近 似 地 满 足
，其图象的一部分如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于 且不高于 的钢筋，
学科网（北京）股份有限公司若这批钢筋由题中这种 型螺纹丝杠旋铣制作，求这种 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例．
21．（12 分）如图，在 中， ， 在 的外部，
．
（1）求 ；
（2）若 与 的延长线交于点 ，且 ，求 面积的最大值．
22．（12分）已知函数 ．
（1）判断是否存在 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（2）讨论 的单调性．
参考答案
普高联考 2023-2024 学年高三测评（三）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B B C D D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
题号 9 10 11 12
答案 AC BCD ABD BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
学科网（北京）股份有限公司13．四 14． 或 15． 16．2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）因为 为 的中点， 为边 上靠近点 的三等分点，所以 ，
则 ，
．
（2）因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 三点共线．
18．（1）因为 ，所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 是实系数一元二次方程 的一个根，
即 ，整理得 ，
所以 ，解得 ．
故一元二次方程为 ．
设 且 为该方程的另一复数根，
则 ，整理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
故另一复数根为 ．
（1）选择条件①：
学科网（北京）股份有限公司因为 ，在 中，
由余弦定理可得 ，
即 ，
则 ，
因为 ，所以 ．
选择条件②：
因为 ，在 中，
由正弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，则 ，
即 ，
又 ，
所以 ．
因为 的外接圆半径 ，
所以由正弦定理可得 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司20．（1）由题图可知
解得 ，
由 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
（2）令 ，得 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，
所以这种 型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为 ．
21．（1）因为 ，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，
所以 分别是 的中点，故 ．
在 中， ，
故 ．
由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立．
故 ，
所以 面积的最大值为 ．
22．（1）不存在，理由如下：
要证存在 ，使得 ，
即证存在 ，使得 ，
即证存在 ，使得 ，
令 ，
即证 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ，
所以不存在 ，使得 成立．
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，
所以存在 ，使得 ．
则在区间 上， ，在区间 上， ，其中 为 的实根．
因为 在区间 上单调递增，
所以对任意 ，存在唯一 ，使得 ，
即在区间 上， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司在区间 上， 单调递减，
其中 为 的实数根．
学科网（北京）股份有限公司
