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牡丹江二中 2025—2026 学年度第一学期期末试题
数学答案
1【答案】B
【详解】由数列 为等差数列，则 ，解得 ，
可得公差 ，所以 .故选：B.
2．【答案】C
【详解】因为数列 为等比数列， ，公比 ，
所以 ，
所以 ，当 时， 最大，即 ，解得： ，
所以当 时， 最大. 故选：C.
3． 【答案】C
【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，
结合图象可知，函数 在区间 的极大值点只有 .故选：C.
4． 【答案】D
【详解】令 ，则 ，
当 时， ， 的单调递减区间为 ， 故选:D.
5．【答案】A
【详解】因为直线 与 平行，
所以 ，即 ，得： ，
高二年级·数学·试题第 1页共 8页将 变形为： ，
则直线 与 之间的距离是 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 . 故选A.
6． 【答案】A
【详解】因为双曲线的焦点在 轴上，故可设双曲线方程为 （ ），
所以渐近线方程为 ，即 .
因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有 ，
化简解得 ，又离心率 ，所以 .
所以双曲线的标准方程为 . 故选：A.
7．【答案】D
【详解】依题意 ，
，
其中后1012对（ ）的和均为 ，故这1012对的和为
，由 得 . 故选：D
8． 【答案】B
【详解】由 表示动点 到定点 的距离，
表示动点 到定点 的距离，
且两点的距离为 ，
高二年级·数学·试题第 2页共 8页则动点 的轨迹为椭圆，易知 ， ，所以离心率 .故选：B.
9． 【答案】ACD
【详解】若 ，则满足 ，但 不是等比数列，故A错误；
，则当 时， ，
则 ，
又 满足上式，则 ，则 为等差数列，故B 正确；
若 ，则 ，
则 不是等比数列，故C错误；
若 ，则 ，则当 时， ，
此时 不是等比数列，故D错误.故选：ACD
10． 【答案】ABD
【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为 ，即 ，解得 ，故A正确；
对于B，所以抛物线 ，所以焦点为 ，设 ，
因为 为线段 的中点，
所以 ，即 ，所以 ，故B 正确；
对于C，因为 ，
所以 ，故C 错误；
高二年级·数学·试题第 3页共 8页对于D，如图，过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，
由 的坐标可知 ，
所以 的周长为 ，
当且仅当P为 与抛物线的交点时，等号成立，所以 周长的最小值为 ，D
正确. 故选：ABD.
11． 【答案】ABD
【详解】函数的定义域 为： ， ．
对于选项A，因为 ，所以 ，∴ 是增函数，故A正确；
对于选项B，因为 ，所以 有解，又 在 为增
函数，所以 在 上存在唯一的零点 ，所以 在 上为减函数，在
上为增函数，所以函数 在 上有唯一的极小值，亦是最小值 ，故B正
确；
对于选项C，当 时，当 时， ；当 时， ；
由A可知 是 上的增函数，所以函数 在 上存在唯一的零点 ，
所以当 时， ；故C 不正确；
对于选项D，由B 可知， 时，函数 存在最小值 ，且
，所以 ，所以 ，
所以存在 使最小值 小于 ，
又当 和 时， ，
所以存在 ，使得函数 有两个零点，故D正确．
高二年级·数学·试题第 4页共 8页故答案为：ABD．
12【答案】3
【详解】因为 ， ，所以 ，
因此可以判断该数列的周期为 ， ，
13．【答案】
【详解】解：由 ，得 ，
设切点为 ， ，则 ，消去 并整理，得 ，则 ．
． 故答案为： ．
14． 【答案】
【详解】设点 的坐标为 ，其中 ，则 ，
所以点 到点 的距离为 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，所以点 到点 距离的取值范围是 .
故答案为： .
15．【答案】(1)证明见解析(2) ，
【详解】（1）因为 ，即 ，
又 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）可得 ，所以 ，
所以
高二年级·数学·试题第 5页共 8页.
16． 【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意 .
所以数列 ，其前 项和为 .
当 时， ；
当 时， . 时，上式亦成立.
所以 ， .
（2） ，
所以 .
17． 【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1） ， ，
由题意可知， 对任意的 恒成立，
由于二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 ；
（2） ，由于 是函数 的极值点，则 ，解
得 ， ， .
令 ，得 或 ，列表如下：
高二年级·数学·试题第 6页共 8页极小值
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，且极小值为 .
又 ， ，则 ，
因此，函数 在区间 上的最大值为 .
18．【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然 ，所以 ；
当直线斜率不为0时，设直线 方程为 ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，
高二年级·数学·试题第 7页共 8页因为 ，
所以 .综上， 为定值0.
19． 【答案】（1） ；（2）极大值为 ，无极小值；（3） ．
【详解】解：（1） ，∴ ，
， ，
， ，
切线方程为 ,即 ,∴ ．
（2）由（1）知 ，函数定义域为 ，所以 ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值．
（3）令 ,
， ， ,
1．当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 符
合题意；
2．当 时，设 ，
①当 ， ， ，所以 在 上单调递增，
，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 符合题意；
高二年级·数学·试题第 8页共 8页②当 时， ， ，所以 在 上递增，
在 上递减， ，所以当 ， ，
所以 在 上单调递减， ，所以 ， ，舍去.
综上： .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范
围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据.
高二年级·数学·试题第 9页共 8页
