文档内容
浙江省绍兴市 2023-2024 学年高二下学期 6 月期末数学试题
注意事项:
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项 是符合题目要求的.
= {x∣- 2 < x ≤ 2}, B = {x∣x < 2}
1. 已知集合A ，则 ( )
A. 2 ∈ B B. (C A) B = R C. A B D. A∩B ≠ ⑦
R
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交并补运算，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于 A ， 2 B ，故 A 错误，
对于 B ， C A = { x x ≤ -2 或x > 2 } ，所以 ( C A ) B = { x x ≠ 2 } ，故 B 错误，
R R
对于 C ， 2 B ，但 2 ∈ A，故 C 错误，
对于 D ， A∩B = {x∣- 2 < x < 2} ，故 D
正确， 故选：D
2. 若 z = 1+ 2i, z = 2 + i ，则 ）
1 2
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算即可化简求解.
故选：A
3. 若函数 f(x) = 2x2 + ax -b 在 x ∈[0, 1] 上有两个不同的零点，则下列说法正确的是 ( )
A. b2 +8a > 0 B. a -b ≥ -2
C. b < 0 D. -2 ≤ a ≤ 0
第 1页/共 19页【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的分布，即可列出不等式，结合选项即可求解.
【详解】 f(x) = 2x2 + ax -b 在 x ∈[0, 1] 上有两个不同的零点,则
[a -b ≥ -2
≤ 0
故 { ，故 B 正确，ACD 错误，
2
+ 8b > 0
l-4 < a <
0 故选：B
4. 已知向量 a - , b - 满 足 | - a |= 1 , - | b | = - 2 , ( a - - b ) 丄 - (3 a +b) ，则向-量 a 与b夹角的余弦值是 ( )
B. D.
【答案】A
【解析】
-
【分析】先求出 a . ，再根据夹角公式可求余弦值.
- - - -
【详解】因为 (a - ) 丄 (3a + ) ，所以 (a - ) . (3a + ) = 0 ，
从而 2 = 0 ，所以3 - 2 - 4 = 0即 ，
故选：A.
5. 已知 cos π , 则 cos 2α =
B. C. - D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角恒等变换求出 sin 2α , 再根据已知条件缩小α 范围，从而确定 cos 2α符号进而求
解即
第 2页/共 19页可.
2 2
【详解】 由已知 cosα — sin α =
平方得 2 = cos2 α + sin2 α — 2sinα cosα =
即1— sin 2α = 解得 sin 2α = —
又 < α < ， < α + < 2π , 且 cos( +α) > 0 ，
则 < 2π , 即 所以 < 2α
< 由 sin 2α < 0 ，得 3π < 2α < ，故 cos 2α < 0
，
故选：C
.
6. 将编号为 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的 6 个小球放入编号为 1 ，2 ，3 ，4 的 4 个盒子中，每个盒子至少放 1
个小
球，则不同的放法种数是 ( )
A. 2640 B. 2160 C. 1800 D. 1560
【答案】D
【解析】
【分析】分两类分别算出每一类下的方法种数，再按照分类加法计数原理相加即可求解.
【详解】分两类解决这个问题：
第一类，一个盒中 3 个球，另外三个盒中每个盒 1 个球，
3 4
共有 C6 . A4 = 480 种；
第二类，其中两个盒每个盒 2 个球，另外两个盒每个盒 1 个球，
共有 = 1080 种；
按照分类加法计数原理得，不同的方法种数共有 480 +1080 = 1560
种. 故选：D.
7. 设 A, B 为两个随机事件 则P(B ∣A) = ( )
第 3页/共 19页3 7 5 1
A. B. C. D.
4 12 12 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式可得 进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解.
【详解】 由条件概率可得 → P
P(A B)=P(A)+ P(B) - P(AB) = + - = ,
所以 P(AB) = 1- P(A B) = 1- = , P(A)=1-P(A)= ,
所以 P(B∣A)
故选：B
8. 已知函数f(x) 的定义域为[1, 2]，对定义域内任意的 f (x )-f (x ) < k x - ,
x , x ，当 x ≠ x 时， 1 2 1
1 2 1 2 x
2
则下列说法正确的是 ( )
A. 若f(x) = x2 + x ，则 k <10
B. 若 f kx2 - x ，则
C. 若f(1) = f(2) ，则 f (x )-f (x ) <
1 2
D. 函数y = f(x) 和 y = f(x) -kx 在[1, 2]上有相同的单调
性 【答案】C
【解析】
【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.
【详解】对于 A： f (x) = x2 + x ，
2 2
f (x 1 )-f (x 2 ) = x 1 - x 2 + x 1 - x 2 = (x 1 - x 2 )(x 1 + x 2 +1) = x 1 - x 2 x 1 + x 2 +1 ，
因为 x , x ∈ [1, 2] ，所以 f (x )-f (x ) = x - x x + x +1 = x - x (x + x +1) < k x - x ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
因为x - x > 0 ，所以k > x + x +1恒成
1 2 1 2
立， 又因为 x , x 不相等，所以 k ≥ 5 ，A 选
1 2
项错误；
第 4页/共 19页k
2 2
对于 B ： if (x 1 )-f (x 2 ) i = x1 - x2 ) -( x 1 - x 2 ) = ( x 1 - x 2 ) ( x 1 + x 2 ) -1 = x 1 - x 2 2( x 1
+ x ) -1， 所以x - x x - x 恒成立，
2 1 2 1 2
所以k > 0 ，又因为 x 1 , x 2 不相等， x 1 , x 2 ∈ [1, 2] ，
所以
又 k < (x + x ) < × 4 = 2k ， k-1 < (x + x ) -1 < 2k-1 ，
1 2 1 2
k-1 ≤ k ， 2k-1 ≤ k ，
所以-k ≤ k-1≤ k, -k ≤ 2k-1≤ k ，
所以 ≤ k ，B 选项错误；
对于 C: 因为 x, x 不相等，不妨设1≤ x < x ≤ 2
1 2 1 2
， 因为 f (1) = f (2 ) ，
所以
2 f (x )-f (x ) = f (x )-f (1) + f (2)-f (x ) + f (x )-f (x )
1 2 1 2 1 2
≤ f (x )-f (1) + f (2)-f (x ) + f (x )-f (x ) < k (x -1) + k (2 - x ) + k (x - x ) = k ，
1 2 1 2 1 2 2 1
所以 f (x ) -f (x ) < ，C 选项正确，
1 2
对于 D ：不妨设 f (x )在 [1, 2] 上单调递增，任取 x , x ，满足1≤ x < x ≤
1 2 2 1
2 ， 则 f (x ) > f (x ) ，
1 2
因为 f (x ) -f (x ) < k x - x ，
1 2 1 2
所以 f (x )-f (x ) < k (x - x ) ，所以 f (x ) -kx < f (x )-
1 2 1 2 1 1 2
kx ， 所以 y = f (x )-kx 单调递减，D 选项错误.
2
故选：C.
【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符 合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
第 5页/共 19页9. 已知x, y 都是正实数，则下列结论正确的是 ( )
C. x + y ≥ 1 + xy D. x2 + y2 ≥ 2(x + y -1)
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一分析选项即可.
【详解】 x, y 都是正实数,
当且仅当 ，即x = y 时等号成立，故 A 正确；
+1≥ 2 + 2 当且仅当 ，即x = y 时等号成立，故 B 正确；
当 x = y = 2 时， x + y ≥ 1 + xy 不成立，故 C 错误；
x 2 + y 2 ≥ 当且仅当x = y 时等号成立，
令t = x + y ， t2 - 4t + 4 = 2 ≥ 0 ，即 t2 ≥ 4t - 4 ，即
， 即 ，所以 x2 + y2 ≥ 2
成立，故 D 正确.
故选： ACD.
10. 四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数. 四位同学的统计结果如
下，则可能出现点数 6 的是 ( )
A. 平均数为 3 ，中位数为 2 B. 平均数为 2 ，方差为 2.4
C. 中位数为 3 ，众数为 2 D. 中位数为 3 ，方差为 2.8
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，分别举例判断，即可求解.
【详解】对于 A ，当掷骰子出现的结果为 1 ，1 ，2 ，5 ，6 时，满足平均数为 3 ，中位数为 2 ，可以出现点
6， 所以 A 正确；
第 6页/共 19页对于 B，若平均数为 2，且出现点数 6 ，则方差 2 = 3.2 > 2.4 ，所以当平均数为 2 ，方差为
2.4
时，一定不会出现点数 6 ，所以B 错误；
对于 C ，当掷骰子出现的结果为 2 ，2 ，3 ，4 ，6 时，满足中位数为 3 ，众数为 2 ，可以出现点 6 ，所以
C 正 确；
对于 D ，当掷骰子出现的结果为 1 ，2 ，3 ，3 ，6 时，满足中位数为 3，
则平均数为
所以可以出现点 6 ，所以 D 正
确. 故选：ACD
11. 已知函数 f(x) = sin(πx) + esin x ，则下列说法正确的是 ( )
A. f(x) ≤ 1 + e 恒成立 B. f(x) 在[0, π] 上单调递增
C. f(x) 在[-π, 0] 上有 4 个零点 D. f(x) 是周期函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用三角函数的有界性，结合放缩法即可求解 A ，利用端点处的函数值比较，即可判断 B ，由导
数 求解函数的单调性，作出函数图象，即可求解 C ，利用三角函数的周期公式，即可求解 D.
【详解】对于 A, sin x ∈[1, 1], :f(x) = sin(πx) + esin x ≤ 1+ esin x ≤ 1+ e1 ,故 A 正
确， 对于 B ， 3π < π2 < 4π, :sin π2 < 0, 故f (π ) = sin π2 +1 < 1 = f(0) ，故 B 错
误，
对于 C,令 f(x) = sin(πx) + esin x = 0 → sin(πx) = -esin x ，
记h (x) = sin(πx), g (x) = -esin
x ， 则 g,(x) = - cos xesin x ，
当 , cos x 0, : g , 单调递增，
当 , cos x > 0, : g , < 0, g 单调递减，
且 = -1, g = -1 ，而h
第 7页/共 19页在同一直角坐标系中作出函数图象如下：故两函数图象有 4 个不同的交点，因此函数f(x) 在[—π, 0] 上有
4 个零点，C 正确，
对于 D ，由于 y = sin πx 为周期函数，且最小正周期为 = 2 ，而 y = esin x = esin 也为周期函数，
且最
小正周期为 2π ,
由于 2π 为无理数，而 2 为有理数，则不存在整数k , k 使得2k = 2πk ，
1 2 1 2
所以 f(x) = sin(πx) + esin x 不是周期函数，D 错
误， 故选：AC
【点睛】方法点睛： 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. (log 3)(log 5)(log 8) = .
2 3 5
【答案】3
【解析】
【分析】利用换底公式及其对数运算法则求解即可.
【详解】 (log 3)(log 5)(log 8)
2 3 5
= 3
故答案为： 3 .
13. 在棱长为 2 的正方体 ABCD — A B C D 中， E 为棱 BC 的中点，则四面体 EADD 的外接球的表
面积 1 1 1 1 1
是 .
第 8页/共 19页【答案】
【解析】
【分析】取 B C 中点F ，连接 A F , D F , EF ，将四面体 EADD 补为直三棱柱 A D F 一 ADE ，利用
1 1 1 1 1 1 1
正弦 定理求出 VADE 外接圆的半径 r ，再利用球的半径公式 r2+d2 及球的表面积公式求解即
可
.
【详解】取 B C 中点F ，连接 A F , D F , EF ，
1 1 1 1
因为在棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A B C D 中，所以三棱柱 A D F 一 ADE 是直三棱柱，
1 1 1 1 1 1
又因为D D 丄 平面 ADE ，所以四面体 EADD 的外接球即为直三棱柱 A D F 一 ADE 的外接
1 1 1 1
球， 因为 E 为棱 BC 的中点，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，所以 AE = ED =
22+1 =
在 VADE 中，cos 上AED = ，又上AED 是锐角，所以sin 上AED =
由正弦定理得 VADE 外接圆的半径为
2
所以直三棱柱 A D F 一 ADE 的外接球半径为 +1 =
1 1
所以四面体 EADD 的外接球的表面积为 S = 4πR2 =
1
故答案为： .
14. 在平面四边形 ABCD中， AB = AD = 3, 上ADC = ，记 △ABC 与 △ACD 的面积分别
为
S , S ，则 S 一 S 的值是 .
1 2 2 1
v 9
9 3
【答案】 ##
4 4
【解析】
第 9页/共 19页【分析】 由余弦定理可得 BC2 一 AC2 = 一3BC 一 9和 CD2 一 AC2 = 3CD 一 9 ，利用三角形的面积公
式，代
第 9页/共 19页入即可化简求解.
o
【详解】在 △ABC 中， 由余弦定理得： cos B = ，即 cos120 =
o
因为在 △ACD 中， 由余弦定理得： cos D = ，即 cos 60 =
o
又因为在 △ABC 中S = AB× BC× sin120 =
1
所以由②﹣①得： CD2 - AC2 - BC2 + AC2 = 3CD + 3BC
， 因为 CD + BC > 0 ，所以 CD - BC = 3
故答案为：
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 = sin + sin
2x .
第 10页/共 19页（2）求f(x) 的单调递增区间.
【答案】（1）
【解析】
【分析】（1）根据题意， 由三角恒等变换公式化简，即可得到函数 f (x )解析式，代入计算，即可求解；
（2）根据题意， 由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可求解.
【小问 1 详解】
2π) 1 · 3
因为 f(x) = sin (|2x + | + sin 2x = - sin 2x + cos 2x + sin 2x
( 3 , 2
1 、i3 π )
= sin 2x + cos 2x = sin (|2x + ，
|
2 2 (
【小问2 详解】
由 可知， f = sin
令 - + 2kπ ≤ 2x + ≤ + 2kπ,k ∈
Z ， 解得 - π + kπ ≤ x ≤ + kπ,k
∈ Z ，
所以f(x) 的单调递增区间为 , k ∈ Z
16. 有A 和B 两道谜语，张某猜对 A 谜语的概率为 0.8 ，猜对得奖金 10 元;猜对B 谜语的概率为 0.5 ，猜
对得 奖金 20 元.每次猜谜的结果相互独立.
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量 X ，求随机变量 X 的分布列与期望;
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更
多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语?
【答案】（1）分布列见解析， E (X ) =
1.3 （2）先猜 A
【解析】
第 11页/共 19页【分析】（1）根据题意，由条件可得 X 的可能取值为0, 1, 2 ，然后分别求得其对应概率，结合期望的定
义， 代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别求得先猜 A 谜语得到的奖金期望与先猜 B 谜语得到的奖金期望，比较大小，即可得
到 结果.
【小问 1 详解】
由题意可得， X 的可能取值为0, 1, 2
， P (X = 0) = (1- 0.8)× (1- 0.5)
= 0.1，
P (X = 1) = 0.8 × (1- 0.5) + (1- 0.8)×0.5 =
0.5 ， P (X = 2) = 0.8 × 0.5 = 0.4 ，
则分布列为
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0 .4
则 E(X) = 0 × 0. 1+1× 0.5 + 2× 0.4
= 1.3 . 【小问2 详解】
设选择先猜 A 谜语得到的奖金为 Y元，选择先猜 B 谜语得到的奖金为 Z
元， 则随机变量 Y 的可能取值为：0 ，10 ，30，
可得P(Y = 0) = 1 - 0.8 = 0.2 ， P(Y = 10) = 0.8 ×(1- 0.5) = 0.4 ，
P(Y = 30) = 0.8 × 0.5 = 0.4
， 所以随机变量 Y 的的分布
列为：
Y 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
所以期望 E(Y) = 10× 0.4 + 30× 0.4 = 16
； 又由随机变量 Z 的可能取值为：0 ，20
，30，
可得 P(Z = 0) = 0.5 ， P(Z = 20) = 0.5 ×(1- 0.8) = 0.1 ， P(Z = 30) = 0.5 × 0.8 =
0.4 ， 随机变量 Z 的分布列为：
第 12页/共 19页Z 0 20 30
P 0.5 0. 1 0.4
所以期望为 E(Z) = 20× 0. 1+ 30× 0.4 = 14
， ∴ E(Y) > E(Z ) ，所以小明应该先猜 A.
17. 如图 1 ，在四边形 ABCD 中， AD / /BC, AB 丄 AD, AB = 2, AD = 4 ，现将 △ABC 沿着 AC 进行翻
折， 得到三棱锥 P - ACD ，且平面 APD 丄 平面 ACD ，如图 2.
（1）若 AP 与平面 ACD 所成的角为 ，证明： AP 丄 CD ;
（2）若BC = 3 ，求平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过 P 作PE 丄AD 于E ，则由平面 APD 丄 平面 ACD ，可得 PE 丄平面 ACD ，所以 上
PAE
为 AP 与平面 ACD 所成的角，则 上PAE = 再结合已知的数据可证得 AP 丄 PD ，然后由线面垂直
的判
定定理可得 AP 丄平面 PCD ，则 AP 丄 CD ；
（2） 以 E 为原点， ED, EP 所在的直线分别为y, z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即
可. 【小问 1 详解】
证明：过 P 作PE 丄AD 于 E ，
因为平面 APD 丄 平面 ACD ，平面 APD∩ 平面 ACD = AD ， PE 平面
APD ， 所以 PE 丄 平面 ACD ，
所以 上PAE 为 AP 与平面 ACD 所成的角，
所以 上PAE = 所以 上APE = ，
因为 AP = AB = 2 ， 所以AE = 1 , PE = ·
,
所以DE = AD - AE = 4 -1 = 3 ，
第 13页/共 19页在 Rt△PDE 中， tan 上EPD = 所以 上EPD =
， 所以 上APD = 上APE + 上EPD = ，所以 AP
丄 PD
,
因为 AD / /BC, AB 丄 AD ，所以 AB 丄BC ，即 AP 丄 PC ，
因为 PC ∩ PD = P ， PC, PD 平面 PCD ，所以 AP 丄平面
PCD ， 因为 CD 平面 PCD ，所以AP 丄 CD ；
【小问2 详解】
过 P 作 PE 丄AD 于 E ，由（1）可知 PE 丄平面 ACD ，
所以以 E 为原点， ED, EP 所在的直线分别为y, z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
连接 PB, BE ，取 PB 的中点M ，连接 AM, CM ,
因为 AB = AP, CB = CP ，所以AM 丄 PB, CM 丄 PB ，
因为 AM ∩ CM = M ， AM , CM 平面 ACM ，所以PB 丄 平面
ACM ， 因为 AC 平面 ACM ，所以PB 丄 AC ，
因为 PE 丄平面 ACD ， AC 平面 ACD ，所以 PE 丄 AC ，
因为 PB ∩ PE = P ， PB, PE 平面 PBE ，所以 AC 丄平面 PBE ，
第 14页/共 19页因为 BE 平面 PBE ，所以 AC 丄 BE
， 所以 上EBC + 上ACB = 90。，
因为 上EBC + 上ABE = 90。，所以 上ABE = 上ACB ，
所以 tan 上ABE = tan 上ACB ，所以 所以 = ，得 AE =
， 所以 PA2 —AE2 =
-→
设平面 APC 的法向量为 m = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，
因为
= 0
所以 1 ，令 x = 3 ，则 = (3, —2, ) ，
1
→
设平面 PDC 的法向量为 n = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，
因为
所以平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值为 .
x
18. 已知函数 x — a .
（1）当a = e 时，求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程;
（2）当1 < a < 2 时，证明： f(x) > 0 在(0, a) 上恒成立.第 15页/共 19页【答案】（1） x + 2y 一 2 = 0 （2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）先求导函数并计算 f(1), f’(1) ，再通过点斜式求切线方程即可；
（2）通过求导函数 f’(x) ，证明存在 x ∈ (0, a) ，使得 f’(x ) = 0 ，则函数f(x) 在(0, x ) 单调递增，在
0 0 0
(x , a) 单调递减，再证明 f(a) > 0 即可.
0
【小问 1 详解】
当a = e 时，函数 f x 一 e x ，
则 一 ex ，
且 = 一
，
所以切线方程为 y 一 = 一 ，即 x + 2y 一 2 = 0 .
【小问2 详解】
由题意可知 一 a x ln a ，且1 < a < 2
， 令 h(x) = a 一 一 a x ln a ， 0 < x < a ，
则 h’(x) = 一ax (ln a)2 < 0 在 0 < x < a 恒
成立， 所以h(x) 在 0 < x < a 单调递减，
即 f’(x) 在 0 < x < a 单调递减，且 f’ 一 ln
a ， 令 m(a) = a 一 一 ln a ， 1 < a < 2 ，
所以 m’ (a ) = 1一 > 0 在1 < a < 2 恒成
立， 所以 a 在1 < a < 2
单调递增， 所以
由因为 f’(a) = a 一 一 aa ln a ， 1 < a
< 2 当a = 2 时， f’ 一 22 ln
2 < 0 ，
所以存在 x ∈ (0, a) ，有 f’(x ) = 0 ，
0 0
第 16页/共 19页所以函数f(x) 在(0, x ) 单调递增，在(x , a) 单调递减，
0 0
又因为 f(0) = 0 = 1 + a2 一 一 a a
， 且1 一 > 0, a2 > a a ，
所以 = 1 + a 2 一 一 a a > 0
所以函数 f(x) > 0 在(0, a) 恒成立.
19. 已知集合 S = {X∣X = (x ,x , … ,x ),x ∈ R,i = 1, 2, … ,n } (n ≥ 2) ，对于 A = (a , a , … , a
n 1 2 n i 1 2 n
)
，
B = (b ,b , … ,b ) ∈ S ，定义A 与B 之间的距离为 a 一 b
1 2 n n i i
（1）若 A = (1, 1), B = (x, y) ∈ S ，求所有满足d (A, B) = 2 的点(x, y) 所围成的图形的面积;
2
A, B ∈ S , ∈ S
（2）当 x ∈ {0, 1}(i = 1, 2, … , n) 时， n n ，并且d = p
i
≤ n ，
求d (A, B) 的最大值（用p 表示);
（3）当 x ∈ {0, 1, 2}(i = 1, 2, … , n) 时，求集合 S 中任意两个元素之间的距离的和.
i n
=
max
（3） 4n × 9n一1
【解析】
【分析】（1）根据d (A, B) = 2 可 x 一+ y 一 = 2 ，即可分类去掉绝对值求解，
得
1 1
（2）分两种情况n ≥ 2p,n < p ，结合绝对值不等式的性质放缩即可求解；
2
（3）对M , N, C 第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3× C3 个 (0, a , … , a ) ，可得 2× 3n
n一1 2 n
一1 × 3n一1 个 (1, b , … , b ) ，可得3n一1 × 3n一1个 (2, c , … , c ) , 即可求解和.
2 n 2 n
【小问 1 详解】
由 A = (1, 1), B = (x, y) ∈ S 可得 d(A, B) = x 一1 + y 一
2
1 = 2 ， 当 x ≥ 1, y ≥ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x + y =
4 ，
当 x ≤ 1, y ≤ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x + y = 0 ，
第 17页/共 19页当 x ≥ 1, y ≤ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2 → x 一 y
= 2 ， 当 x ≤ 1, y ≥ 1 时， x 一1 + y 一1 = 2
→ y 一 x = 2 ，
故围成的图形为正方形MNPQ , 其中M(1, 3), N(3, 1), P(1, 一1), Q (一1, 1) ,如下：
故面积为
【小问2 详解】
设 A = (a , a , … , a ) ， B = (b , b , … , b ) ，
1 2 n 1 2 n
所以 a + a + …+ a = p ， b + b +…+ b
1 2 n 1 2 n
= p ， 当n < 2p ，
当n ≥ 2p 时， d a 一 b
i i
综上所述 =
max
【小问 3 详解】
x ∈ {0, 1, 2}(i = 1, 2, … ,
i
n) ， 设
M = {X∣X = (0, x , … , x ) , x ∈R , i = 2, … , n } , N = {X∣X = ( 1, y , … , y ) , y
2 n i 2 n i
∈R , i = 2, … , n } , C = { X∣X = (2, z , … , z ), z ∈ R, i = 2, … , n }
2 n i
其中M , N, C 中均有 3n一1 个元素， S =M N C ,
n
2
S n 共有 3 n 个不同的元素，从 S n 的3 n 个不同的元素任取 2 个不同的元素共有C3 n 种选法，
第 18页/共 19页2
从M , N, C 中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得3× C3 个 (0, a , … , a )
n-1 2 n
，可 得 2 × 3n-1 × 3n-1 个 (1, b , … , b ) ， 可 得 3n-1 × 3n-1 个 (2, c , … , c ) ， 其 中 a, b, c
2 n 2 n i i i
∈ {±2, ±1, 0} 个 (1, a , … , a ) ，
2 n
2
所以 S
n
中所有元素的第一位的数字之和为2× 3n-1 × 3n-1 + 2× 3n-1 × 3n-1 + 3C3n-1 × 0 = 4 × 9n-1 ，
对于 S 中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为 4× 9n-1
n
， 故集合 S 中任意两个元素之间的距离的和 4n ×9n -1 ，
n
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和
转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者
函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
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