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当 时， ，则下列结论中正确的个数是（ ）
2023—2024（上）江西省宜丰中学 11 月高三期中考试数学试卷
①当 时，
②函数 有3个零点
一、单选题（40分）
③ 的解集为
1．已知集合 ， ，则（ ）
④ ，都有
A． B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C． D．
二、多选题（20分）
2．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
9．已知直线 ，则（ ）
A．120 B．60 C．160 D．80
3．“ ”是“ ”的（ ） A．若 ，则 B．若 ，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．若 与坐标轴围成的三角形面积为1，则
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D．当 时， 不经过第一象限
4．若 ，双曲线 ： 与双曲线 ： 的离心率分别为 ， ，则 10．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了
400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分
（ ） 至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭
右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是
A． 的最小值为 B． 的最小值为
（ ）
C． 的最大值为 D． 的最大值为 A．在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学生有160
人
5．已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
B．图中 的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7
A． B． C． D． D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
11．已知 是偶函数，将函数 图像上所有点向右平移
6．已知双曲线C： 的左､右焦点分别为 ， ，M，N为双曲线一条渐近线上
个单位得到函数 的图像，则（ ）
的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线C的离心率为 A． 在 的值域为 B． 的图像关于直线 对称
（ ）
C． 在 有5个零点 D． 的图像关于点 对称
A． B． C． D．
12．过抛物线C： （ ）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点
7．如图，在四面体 中，截面 是正方形，则下列说法中错误的为（ ）
作抛物线C的两条切线 ， ，设 ， 的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三
A． B． 截面
角形AMB，下列说法正确的有（ ）
C． D．异面直线 与 所成的角为45°
A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线
8．已知函数 是定义在 上的奇函数，
C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为
1
学科网（北京）股份有限公司19．如图，四棱锥 中，底面ABCD为等腰梯形， ， ，且平面
三、填空题（20分）
平面ABCD， .
13．在 的二项展开式中， 的系数为 . (1)求证： ；
(2) 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
14．写出过点 且与圆 相切的直线方程 .
15．过点 向抛物线 引两条切线 ，切点分别为A，B，直线 恒过的定点为
.
16．今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的
20．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的
最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念这特殊的
创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业
一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚 的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜丰中学的某 月份t 1 2 3 4
角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码
订单数量y（万件） 5.2 5.3 5.7 5.8
隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（ ，则认为y与t
在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
的线性相关性较强， ，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
的图象中，过点 与曲线 相切的直线恰有三条，这三条切线勾
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数 的个数，这就是打开盒子的密
码： .
附：相关系数，
朱毛组合
四、解答题（70分）
17． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ，.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
21．已知函数 ．
18．已知数列 的前n项和 ． (1)讨论函数 的单调性；
(1)求 ；
(2)若 既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为 ．解不等式 ．
(2)令 ，若对于任意 ，数列 的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆 的离心率为 ，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两
2
学科网（北京）股份有限公司点，当l垂直于x轴时， ．
立 ，化为 ，得到 ， ．
(1)求C的方程；
(2)若点M满足 ，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记 ，
对于A， ， ，所以△AMB是直角三角形，故A正确；对于
（O为坐标原点）的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
B，由导数的几何意义可得 处的切线方程为： ，则 ，化简可
得： ，所以直线 的方程为： ，同理可得：直线 的方程为：
，所以 ，则 ，因为 ，解得：
高三期中考试数学参考答案：
，所以 ，所以 ，因为抛物线C： 的准线为
1．D 2．A 3．A 4．B 5．D
6．B 【详解】依题意，易得以 为直径的圆的方程为 ，设 , ，则 , ，又
，所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取 的中点 ，连接 ， 平行 轴，故B
由双曲线 易得双曲线 的渐近线为 ，如图，联立
正确；
对于C， ， ，所以 所以MF是△AMB的高
，解得 或 ， ， ，又 ，
线，故C正确；对于D，因为 平行 轴，
轴， 由得 ， ， ，即 ，
， ．
因为 ， ．
7．A解：因为截面 是正方形 ，所以 ，又 平面 ，所以 平
面 ，又 平面 ,平面 平面 ， 截面 ，故B 所以 ，
正确；同理可证 因为 ，所以 ，故C正确，又 ，所以
，
异面直线 与 所成的角为 ，故D正确 和 不一定相等，故A错误；故选：A.
8．C【详解】①错误， ②正确，③正确，对于④，当 时，由 ，得
代入可得： ，当 时，
，当 时， ，当 时， ，所以 在
，故D不正确.
上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取得最小值 ，且当
时， ，当 时， ，所以 当 时，由 13．-80 14． 或 15．
，得 ，所以当 时， ，当 时， ，所以
16．31【详解】由题意可得： ，且 ，设切点坐标为
在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取得最大值 ，当
，斜率 ，则切线方程
时， ，当 时， ，所以 ，所以 的值域为
，所以 ，都有 ，所以④正确，
，
9．BCD 10．ACD 11．BD
因为切线过点 ，则 ，
12．ABC【详解】设 ， ， ， ，由 可得： ， ，由导数的几何意
整理得 ，构建 ，
义知，直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 ，设直线 ，联
原题意等价于 与 有三个不同的交点，因为
3
学科网（北京）股份有限公司，
，所以二面角 余弦值为 .
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；则 在 上单调递增，
在 ， 上单调递减，且 ，若 与 有三个不同的交
20．1） ， ，
点，则 ，所以整数 的个数为31.答案为：31.
17．1）因为 ，所以由正弦定理可得 ．
，
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．又 ，所以 ， ． ， ，
（2） 的面积 ，则 ．由余弦定理：
， 订单数量y与月份t的线性相关性较强；
，得 ，所以 ，故 的周长为
．
（2） ， 线性回归方程为
18．解】（1）当 时， ，而 ，不满足上
式，所以 . ，令 ，则 （万件），即该企业5月份接到的订单数量预计
为6.05万件.
（2）由（1）知， ，当 时， ，
21．解】（1）定义域： ，
当 时，
1° 时 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
，而 ，又 恒成立，则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减；2° 时
所以实数m的取值范围为 . ①当 时，即 时，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
19．证明：取AB的中点 ，连接 ，则由题意知 为正三角形，所以 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增；②当 时，即 时，
由等腰梯形知 ，设 ，则 ，
，
恒成立，所以 在 上单调递增；③当 时，即 时，令 ，解得
故 ，即得 ，所以 ，
因为平面 平面 ， ，平面 平面
或 ；令 ，解得 ；所以 在 上单调递增， 上单调递减，
， 平面PAD，所以 平面 ，又 平面
，所以 ，因为 ， ， 平面 ，
上单调递增．
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在
（2）由（1）得 ， ， 两两垂直，则以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ，
， 轴建立空间直角坐标系，因为 平面 ，所以 平面 所成的角为 ，
上单调递增， 上单调递减， 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；
设 ，则 ， ，则 ， ， ，
， 当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
则 ， ， ，设平面PAB的法向量为 ，
（2）由（1）知： 且 ，且
则 ，即 ，取 ，则 ，设平面PBC的法向量为
即：解不等式 ；（ 且 ）等价于解不等式：
，则 ，即 ，取 ，则 ，所以
令 ， ，所以 在 单调递增，
4
学科网（北京）股份有限公司且 ，所以 ，即不等式的解集为 ．
22．（1）设 ，当 时， ， ， ，依题意得
，又 ， ，解得 ， ，所以C的方程为 .
（2）由（1）知， ，由题意可知，直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 ： ， ， ，因为 ，所以 为 的中点，
联立 ，消去 并整理得 ， 恒成
立，
， ，所以 ，
所以 ，则直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，令 ，得 ，即 ，
则 ， ，由题意得 与 相似，所以 ，
所以 ，所以
，
设 ，因为 ，所以 ，令 ， ，
，
所以 为 上的增函数，所以 ，
所以 的取值范围是 ..
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